Маркетинговая среда – макро- и микросреды организации, их анализ

Среда маркетинга: макро- и микросреда

Маркетинговая среда содержит как возможности, так и угрозы для деятельности банка. Маркетологи банка несут главную ответственность за отслеживание значительных изменений среды. Именно они должны следить за новыми тенденциями и искать благоприятные возможности. Менеджеры банка, конечно, тоже контролируют состояние маркетинговой среды, но маркетологи могут решать эту задачу более эффсктивно, поскольку имеют в своем распоряжении специальные инструменты: маркетинговое мышление и маркетинговые исследования. Кроме того, маркетологи должны проводить много времени среди клиентов и конкурентов.

Среда маркетинга — это совокупность субъектов, действующих за пределами организации, и отношений, складывающихся между ними и организацией и воздействующих на деятельность ее руководства в плане установления отношений с клиентами.

Маркетологи не всегда могут повлиять на факторы, определяющие внешнюю маркетинговую среду. Во многих случаях они вынуждены просто наблюдать за средой и реагировать на ее изменения, но когда это возможно, маркетологи должны занимать активную, а не пассивную позицию по отношению к маркетинговой среде. Активная позиция может проявляться:

• • в организации законного лоббирования интересов банка при принятии законодательных актов;
• • проведении специальных мероприятий для представителей средств массовой информации, чтобы заручиться их поддержкой;
• • спонсировании газет и журналов, чтобы те в редакционных материалах давали положительные отзывы о деятельности банка, формируя тем самым общественное мнение.

Систематически изучая окружение, маркетологи могут корректировать и адаптировать маркетинговую стратегию как компоненту стратегии развития банка к новым требованиям маркетинговой среды.

Среда маркетинга делится на микро- и макросреду.

Микросреда — это совокупность отношений, складывающихся внутри самой организации, между ней и поставщиками, посредниками, конкурентами, клиентами и контактными аудиториями.

Отношения, складывающиеся в микросреде, представлены на рисунке 4.7.

Внешняя маркетинговая среда включает все объекты, факторы и явления, находящиеся за пределами банка, которые оказывают непосредственное влияние на его деятельность.

Рис. 4.7. Отношения в микросреде

Внутренняя среда характеризует потенциал банка, его производственные и маркетинговые возможности.

Внутрибанковские отношения зависят от организационной структуры банка. Четкая организационная структура банка и слаженная работа коллектива банка формируют соответствующую атмосферу деловой активности. Важность здоровых отношений внутри самой организации трудно переоценить, так как они создают условия для проявления разумной инициативы и творческого подхода к делу всех служащих. Если правление банка не прислушивается к мнению контролируемых служб, клиентов, то это может привести к нежелательным последствиям, поэтому маркетинг при изучении микросреды должен принимать это во внимание. Следовательно, комплекс внутрибанковских отношений должен постоянно анализироваться и при необходимости корректироваться.

Для банка отношения с поставщиками не имеют существенного значения, так как банк не требует постоянных поставок, а ограничивается лишь приобретением банковского оборудования, оргтехники, канцелярских принадлежностей и т. д. Но вместе с тем создание надлежащего интерьера — довольно значительный фактор успеха банка.

К посредникам в банковской деятельности могут относиться организации, оказывающие маркетинговые услуги.

В Республике Беларусь такие организации только развиваются. Основным направлением их работы является оказание услуг по рекламе. Более крупные банки могут создавать собственные отделы маркетинга или обращаться к маркетинговым службам за помощью в отдельной области (например, исследование рынка услуг, страхование операций, посредничество по сделкам с ценными бумагами и иностранной валютой).

Основная часть банков действует в условиях жесткой конкуренции. Анализ конкурентов и выработка тактики действия банка в отношении главных соперников приносит больше плодов, чем даже существенный реальный рост в данном сегменте рынка.

Эта деятельность сводится к определению, какого конкурента атаковать или от кого, где, когда и как защищаться, и позволяет принимать важные тактические решения, образующие основной элемент стратегического планирования.

Анализ конкурентов позволяет:

• • выработать стратегию максимально возможной нейтрализации сильных сторон конкурентов;
• • сконцентрировать усилия на тех услугах, где банк имеет сравнительно прочные позиции (например, кредитование, банковские вклады (депозиты) и др.);
• • выделить наиболее перспективных клиентов;
• • оказать помощь потенциальным клиентам в реальной оценке преимуществ услуг банка в сравнении с услугами, предоставляемыми конкурентами;
• • убедительно доказать, почему клиент должен выбрать именно ваш банк, а не банк конкурента;
• • чувствовать себя более уверенно после четкого уяснения сильных и слабых сторон услуг, предоставляемых банком.

Проводя анализ конкурентов, необходимо выделить тех ключевых соперников, которые оказывают или вероятно окажут значительное влияние на осуществление собственной стратегии банка. Обычно это означает выделение из множества банков тех, которые являются прямыми конкурентами.

Для банка важно определить приоритетное направление обслуживания клиентов: будут это розничные клиенты (частные лица, ИП) или оптовые организации. Отношения с каждой из этих групп строятся на своих принципах, которые определяют дальнейшее направление работы и организации своего круга клиентов.

Принято выделять пять групп контактных аудиторий:

• • небанковские кредитно-финансовые организации;
• • средства массовой информации;
• • государственные учреждения;
• • общественность;
• • собственные служащие банка.

Макросреда — это совокупность факторов, на которые руководство банка повлиять не может и должно учитывать их для того, чтобы устанавливать и поддерживать с клиентами отношения сотрудничества.

Понятие макросреды банка слагается из более широкого спектра отношений организации с силами, составляющими ее внешнее окружение. Это обеспечивается за счет учета основных факторов демографического, экономического порядка, а также природных, научно-технических, политических факторов и факторов культурного уклада.

• • политические факторы характеризуют уровень стабильности политической обстановки, защиту государством интересов предпринимателей, его отношение к различным формам собственности и др.;
• • социально-экономические факторы характеризуют жизненный уровень населения, покупательную способность отдельных слоев населения и организаций, демографические процессы, стабильность финансовой системы, инфляционные процессы и др.;
• • правовые факторы характеризуют законодательную систему, включая нормативные документы по защите окружающей природной среды, стандарты в области производства и потребления продукции. Сюда же относятся законодательные акты, направленные на защиту прав потребителей; законодательные ограничения на проведение рекламы, на упаковку; различные стандарты, влияющие на характеристики выпускаемых продуктов и материалы, из которых они изготавливаются;
• • научно-технические факторы дают преимущества тем организациям, которые быстро берут на вооружение достижения научно-технического прогресса;
• • культурные факторы оказывают порой главное влияние на маркетинг. Предпочтения, отдаваемые потребителями одному продукту, могут основываться только на культурных традициях, на которые влияют также исторические и географические факторы;
• • природные факторы характеризуют наличие природных ресурсов и состояние окружающей природной среды, которые как сама организация, так и субъекты должны учитывать в своей хозяйственной и маркетинговой деятельности, так как они оказывают непосредственное влияние на условия и возможности ведения этой деятельности.

Даже если руководству организации такие условия внешней среды, как, например, политическая нестабильность и отсутствие проработанной правовой базы, не нравятся, изменить их непосредственным образом оно не может, а должно в своей маркетинговой деятельности приспосабливаться к этим условиям. Взаимосвязь факторов макро- и микросреды представлена на рисунке 4.8.

Рисунок 4.8 наглядно иллюстрирует сложность взаимосвязи факторов макроокружения и непосредственного окружения банка. Глобальные факторы макросреды оказывают влияние не только на работу самого банка, но и на его ближнее окружение. В то же время банк находится во взаимодействии с факторами непосредственного окружения, на которые макросреда может оказывать обратное влияние. При этом важно подчеркнуть, что степень влияния каждого фактора на банк зависит от его специфических особенностей, черт (например, сфера деятельности, категория предлагаемых банковских услуг и др.). При проведении анализа внешней среды данные моменты следует учесть.

Отношения, складывающиеся между субъектами внешней среды и банком, разнообразны, со стороны банка они могут быть контролируемыми и неконтролируемыми.

Например, банк не может напрямую контролировать конкурентов, государство и т. п., поэтому задачей руководства банка является снижение до минимума неконтролируемых факторов среды и выявление возможности опосредованного влияния на них.

Оценка имеющихся возможностей банка обусловлена необходимостью обеспечения их баланса с рыночными запросами, выработки обоснованных программ развития и по ведения банка на рынке, создания адекватной основы для принятия правильных управленческих решений. Анализ внутренних условий деятельности банка строится на оценке его финансово-экономического положения и стратегического поведения на рынке, анализе перечня услуг, состояния планирования, уровня технической оснащенности, квалификации персонала, изучении информационной обеспеченности и качества маркетинговой деятельности, а также на анализе организации системы управления (ОСУ) банка.

Рис. 4.8. Взаимосвязь макро- и микросреды

Маркетинговые возможности — это направление деятельности банка на рынке (участках рынка) для получения прибыли.

Анализ маркетинговых возможностей является необходимой процедурой для принятия маркетинговых решений и планирования действий по их реализации на практике. Используются следующие методы для анализа маркетинговых возможностей банка:

• • ситуационный анализ;
• • STEP-анализ;
• • SWOT-анализ;
• • GAP-анализ.

Сущность методики ситуационного анализа заключается в рассмотрении (по выбранному кругу) элементов внешней и внутренней среды маркетинга и оценке их влияния на маркетинговые возможности банка (рис. 4.9).

Что такое маркетинговая среда: все просто

Узнайте, как маркетинговая среда может влиять на ваш бизнес и научитесь подстраиваться под обстоятельства

1. Главная
2. Поддержка
3. Глоссарий
4. Маркетинговая среда

Маркетинговая среда — это совокупность окружающих компанию явлений и сил, которые влияют на ее способность вести прибыльную деятельность.

Содержание

Компании занимаются бизнесом не в вакууме, а под влиянием множества внешних и внутренних факторов. Одна из ключевых задач бизнеса — уметь быстро приспосабливаться к меняющимся условиям маркетинговой среды, предугадывать изменения на целевом рынке и следить за трендами.

Давайте узнаем, на какие виды делится маркетинговая среда.

Виды маркетинговой среды

Существует два основных вида: внешняя и внутренняя.

Внешняя маркетинговая среда

Это совокупность факторов, которые влияют на компанию извне. Внешняя маркетинговая среда делится на подвиды: макро- и микросреда.

• Макросреда. Влияет на расстановку сил в бизнесе всего города, страны, региона независимо от формы собственности, видов товаров и услуг или размера бизнеса: прокат катамаранов, школа иностранного языка, производитель компьютеров — все подвержены влиянию экономической, политической и социальной обстановки в стране и мире.
• Микросреда. Это ситуация, которая складывается на целевом рынке компании и включает поведение всех его участников. Микросреда может непосредственно влиять на успешность предприятия. Отдельные предприятия могут сами опосредованно влиять на микросреду, особенно в низкоконкурентных нишах. Для этого они повышают конкурентоспособность, расширяют ассортимент, увеличивают узнаваемость бренда, выбирают корректное позиционирование и ценовую политику.

В целом внешняя маркетинговая среда очень подвижна и масштабна, поэтому компании зачастую не в силах активно повлиять на нее.

Внутренняя маркетинговая среда

Это все, что касается самой компании, ее устройство и факторы, влияющие на развитие бизнеса изнутри. Компании могут влиять на внутреннюю маркетинговую среду, более того, они должны ее формировать таким образом, чтобы быть как можно сильнее и стабильнее перед влияниями внешней среды.

Давайте рассмотрим, какие факторы маркетинговой среды существуют.

Факторы маркетинговой среды

Если представить себе схему маркетинговой среды, то компания находится в центре со своей внутренней средой. Ее окружают непосредственно близкие факторы микросреды, а на всю совокупность этих факторов влияют всеобъемлющие факторы макросреды. Давайте перечислим все факторы маркетинговой среды.

Факторы внутренней среды

• Организационная структура компании. Ее владельцы, бенефициары, акционеры. Управленческая структура компании. Принципы, по которым выстроена иерархия отношений и управления персоналом.
• Сотрудники организации. Их компетенции, обязанности, мотивированность и эффективность.
• Маркетинговые возможности компании. То, как компания продвигает свои продукты и услуги и соперничает с конкурентами.
• Производственные возможности организации. Количество и качество выпускаемой продукции.
• Сбытовой потенциал организации. Способность сбыть необходимое количество продукции за определенный период.
• Материальные и финансовые возможности организации. Ее бюджет, кредиты, бухгалтерия, зарплаты, расходы, доходы и прочее.

Факторы микросреды

• покупатели, поведение целевой аудитории, ее желания и потребности, а также финансовые возможности;
• конкуренты, их преимущества и недостатки, маркетинговые акции, доля рынка и поведение на рынке;
• посредники и поставщики, их эффективность и надежность, а также финансовые запросы.

Факторы макросреды

• Политическая ситуация. Участие в военных конфликтах, членство в международных организациях, отношения с другими государствами и внутренние противостояния между политическими силами.
• Экономическая ситуация. Уровень ВВП, бюджет страны, приватизация и национализация тех или иных отраслей, объем иностранных инвестиций.
• Законодательство. Правовые и юридические нюансы, влияющие на деятельность бизнеса, например, налогообложение, льготы, кредитование и т.д.
• Демографическая ситуация. Уровень безработицы, платежеспособность, потребности населения.
• Культурная сфера. Традиции, влияние мировых трендов.
• Природные и географические условия. Расположение предприятия, которое влияет на логистику и инфраструктуру, а также климатические условия и природные катаклизмы.
• Научно-технический прогресс. Развитие тех или иных отраслей, поиск новых технологических решений, возникновение новых типов продуктов, удешевление технологий прошлого поколения и т.д.

Многие из этих факторов могут влиять на ваш бизнес, поэтому важно понимать, как именно это происходит и гибко подстраивать свою маркетинговую стратегию под обстоятельства.

Поздравляем, теперь вы знаете, что такое маркетинговая среда и какие факторы могут влиять на успешность вашего бизнеса.

Математика

Матема́тика (от др.-греч. μάθημα — изучение, наука) — наука о структурах, порядке и отношениях, которая исторически сложилась на основе операций подсчёта, измерения и описания форм реальных объектов [1] . Математические объекты создаются путём идеализации свойств реальных или других математических объектов и записи этих свойств на формальном языке. Математика не относится к естественным наукам, но широко используется в них как для точной формулировки их содержания, так и для получения новых результатов [2] . Математика — фундаментальная наука, предоставляющая (общие) языковые средства другим наукам; тем самым она выявляет их структурную взаимосвязь и способствует нахождению самых общих законов природы [3] .

Содержание

Основные сведения

Идеализированные свойства исследуемых объектов либо формулируются в виде аксиом, либо перечисляются в определении соответствующих математических объектов. Затем по строгим правилам логического вывода из этих свойств выводятся другие истинные свойства (теоремы). Эта теория в совокупности образует математическую модель исследуемого объекта. Таким образом первоначально, исходя из пространственных и количественных соотношений, математика получает более абстрактные соотношения, изучение которых также является предметом современной математики.

Традиционно математика делится на теоретическую, выполняющую углублённый анализ внутриматематических структур, и прикладную, предоставляющую свои модели другим наукам и инженерным дисциплинам, причём некоторые из них занимают пограничное с математикой положение. В частности, формальная логика может рассматриваться и как часть философских наук, и как часть математических наук; механика — и физика, и математика; информатика, компьютерные технологии и алгоритмика относятся как к инженерии, так и к математическим наукам и т. д. В литературе было предложено много различных определений математики (см. ниже).

Этимология

Слово «математика» произошло от др.-греч. μάθημα (máthēma), что означает изучение, знание, наука, и др.-греч. μαθηματικός (mathēmatikós), первоначально означающего восприимчивый, успевающий [4] , позднее относящийся к изучению, впоследствии относящийся к математике. В частности, μαθηματικὴ τέχνη (mathēmatikḗ tékhnē), на латыни ars mathematica, означает искусство математики.

В текстах на русском языке слово «математика» или «мафематика» встречается по крайней мере с XVII века, например, у Николая Спафария в «Книге избранной вкратце о девяти мусах и о седмих свободных художествах» (1672 год) [5]

Определения

Одно из первых определений предмета математики дал Декарт [6] :

К области математики относятся только те науки, в которых рассматривается либо порядок, либо мера и совершенно не существенно, будут ли это числа, фигуры, звёзды, звуки или что-нибудь другое, в чём отыскивается эта мера. Таким образом, должна существовать некая общая наука, объясняющая всё относящееся к порядку и мере, не входя в исследование никаких частных предметов, и эта наука должна называться не иностранным, но старым, уже вошедшим в употребление именем Всеобщей математики.

В советское время классическим считалось определение из БСЭ [7] , данное А. Н. Колмогоровым:

Математика… наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира.

Это определение Энгельса [8] ; правда, далее Колмогоров поясняет, что все использованные термины надо понимать в самом расширенном и абстрактном смысле.

Сущность математики… представляется теперь как учение об отношениях между объектами, о которых ничего не известно, кроме описывающих их некоторых свойств,— именно тех, которые в качестве аксиом положены в основание теории… Математика есть набор абстрактных форм — математических структур.

Приведём ещё несколько современных определений.

Современная теоретическая («чистая») математика — это наука о математических структурах, математических инвариантах различных систем и процессов [10] .

Математика — наука, предоставляющая возможность исчисления моделей, приводимых к стандартному (каноническому) виду. Наука о нахождении решений аналитических моделей (анализ) средствами формальных преобразований [11] .

Герман Вейль пессимистически оценил возможность дать общепринятое определение предмета математики:

Вопрос об основаниях математики и о том, что представляет собой в конечном счёте математика, остаётся открытым. Мы не знаем какого-то направления, которое позволит в конце концов найти окончательный ответ на этот вопрос, и можно ли вообще ожидать, что подобный «окончательный» ответ будет когда-нибудь получен и признан всеми математиками.

«Математизирование» может остаться одним из проявлений творческой деятельности человека, подобно музицированию или литературному творчеству, ярким и самобытным, но прогнозирование его исторических судеб не поддаётся рационализации и не может быть объективным [12] .

Разделы математики

1. Математика как учебная дисциплина подразделяется в Российской Федерации на элементарную математику, изучаемую в средней школе и образованную дисциплинами:

• арифметика,
• элементарная алгебра
• элементарная геометрия: планиметрия и стереометрия
• теория элементарных функций и элементы анализа

и высшую математику, изучаемую на нематематических специальностях вузов. Дисциплины, входящие в состав высшей математики, варьируются в зависимости от специальности.

Программа обучения по специальности математика [13] образована следующими учебными дисциплинами:

2. Математика как специальность научных работников Министерством образования и науки Российской Федерации [14] подразделяется на специальности:

3. Для систематизации научных работ используется раздел «Математика» [15] универсальной десятичной классификации (УДК).

4. Американское математическое общество (AMS) выработало свой стандарт для классификации разделов математики. Он называется Mathematics Subject Classification. Этот стандарт периодически обновляется. Текущая версия — это MSC 2010. Предыдущая версия — MSC 2000.

Обозначения

Вследствие того, что математика работает с чрезвычайно разнообразными и довольно сложными структурами, система обозначений также очень сложна. Современная система записи формул сформировалась на основе европейской алгебраической традиции, а также математического анализа (понятия функции, производной и т. д.). Геометрия испокон века пользовалась наглядным (геометрическим же) представлением. В современной математике распространены также сложные графические системы записи (например, коммутативные диаграммы), нередко также применяются обозначения на основе графов.

Краткая история

Академиком А. Н. Колмогоровым предложена такая структура истории математики:

1. Период зарождения математики, на протяжении которого был накоплен достаточно большой фактический материал;
2. Период элементарной математики, начинающийся в VI—V веках до н. э. и завершающийся в конце XVI века («Запас понятий, с которыми имела дело математика до начала XVII века, составляет и до настоящего времени основу „элементарной математики“, преподаваемой в начальной и средней школе»);
3. Период математики переменных величин, охватывающий XVII—XVIII века, «который можно условно назвать также периодом „высшей математики“»;
4. Период современной математики — математики XIX—XX века, в ходе которого математикам пришлось «отнестись к процессу расширения предмета математических исследований сознательно, поставив перед собой задачу систематического изучения с достаточно общей точки зрения возможных типов количественных отношений и пространственных форм».

Развитие математики началось вместе с тем, как человек стал использовать абстракции сколько-нибудь высокого уровня. Простая абстракция — числа; осмысление того, что два яблока и два апельсина, несмотря на все их различия, имеют что-то общее, а именно занимают обе руки одного человека, — качественное достижение мышления человека. Кроме того, что древние люди узнали, как считать конкретные объекты, они также поняли, как вычислять и абстрактные количества, такие, как время: дни, сезоны, года. Из элементарного счёта естественным образом начала развиваться арифметика: сложение, вычитание, умножение и деление чисел.

Развитие математики опирается на письменность и умение записывать числа. Наверно, древние люди сначала выражали количество путём рисования чёрточек на земле или выцарапывали их на древесине. Древние инки, не имея иной системы письменности, представляли и сохраняли числовые данные, используя сложную систему верёвочных узлов, так называемые кипу. Существовало множество различных систем счисления. Первые известные записи чисел были найдены в папирусе Ахмеса, созданном египтянами Среднего царства. Индская цивилизация разработала современную десятичную систему счисления, включающую концепцию нуля.

Исторически основные математические дисциплины появились под воздействием необходимости вести расчёты в коммерческой сфере, при измерении земель и для предсказания астрономических явлений и, позже, для решения новых физических задач. Каждая из этих сфер играет большую роль в широком развитии математики, заключающемся в изучении структур, пространств и изменений.

Философия математики

Цели и методы

Математика изучает воображаемые, идеальные объекты и соотношения между ними, используя формальный язык. В общем случае математические понятия и теоремы не обязательно имеют соответствие чему-либо в физическом мире. Главная задача прикладного раздела математики — создать математическую модель, достаточно адекватную исследуемому реальному объекту. Задача математика-теоретика — обеспечить достаточный набор удобных средств для достижения этой цели.

Содержание математики можно определить как систему математических моделей и инструментов для их создания. Модель объекта учитывает не все его черты, а только самые необходимые для целей изучения (идеализированные). Например, изучая физические свойства апельсина, мы можем абстрагироваться от его цвета и вкуса и представить его (пусть не идеально точно) шаром. Если же нам надо понять, сколько апельсинов получится, если мы сложим вместе два и три, — то можно абстрагироваться и от формы, оставив у модели только одну характеристику — количество. Абстракция и установление связей между объектами в самом общем виде — одно из главных направлений математического творчества.

Другое направление, наряду с абстрагированием — обобщение. Например, обобщая понятие «пространство» до пространства n-измерений. «Пространство , при 3″ border=”0″ /> является математической выдумкой. Впрочем, весьма гениальной выдумкой, которая помогает математически разбираться в сложных явлениях». [16]

Изучение внутриматематических объектов, как правило, происходит при помощи аксиоматического метода: сначала для исследуемых объектов формулируются список основных понятий и аксиом, а затем из аксиом с помощью правил вывода получают содержательные теоремы, в совокупности образующие математическую модель.

Основания

Вопрос сущности и оснований математики обсуждался со времён Платона. Начиная с XX века наблюдается сравнительное согласие в вопросе, что надлежит считать строгим математическим доказательством, однако отсутствует согласие в понимании того, что в математике считать изначально истинным. Отсюда вытекают разногласия как в вопросах аксиоматики и взаимосвязи отраслей математики, так и в выборе логических систем, которыми следует при доказательствах пользоваться.

Помимо скептического, известны нижеперечисленные подходы к данному вопросу.

Теоретико-множественный подход

Предлагается рассматривать все математические объекты в рамках теории множеств, чаще всего с аксиоматикой Цермело — Френкеля (хотя существует множество других, равносильных ей). Данный подход считается с середины XX века преобладающим, однако в действительности большинство математических работ не ставят задач перевести свои утверждения строго на язык теории множеств, а оперируют понятиями и фактами, установленными в некоторых областях математики. Таким образом, если в теории множеств будет обнаружено противоречие, это не повлечёт за собой обесценивание большинства результатов.

Логицизм

Данный подход предполагает строгую типизацию математических объектов. Многие парадоксы, избегаемые в теории множеств лишь путём специальных уловок, оказываются невозможными в принципе.

Формализм

Данный подход предполагает изучение формальных систем на основе классической логики.

Интуиционизм

Интуиционизм предполагает в основании математики интуиционистскую логику, более ограниченную в средствах доказательства (но, как считается, и более надёжную). Интуиционизм отвергает доказательство от противного, многие неконструктивные доказательства становятся невозможными, а многие проблемы теории множеств — бессмысленными (неформализуемыми).

Конструктивная математика

Конструктивная математика — близкое к интуиционизму течение в математике, изучающее конструктивные построения [прояснить] . Согласно критерию конструктивности — «существовать — значит быть построенным». [17] Критерий конструктивности — более сильное требование, чем критерий непротиворечивости. [18]

Основные темы

Числа

Понятие «число» первоначально относилось к натуральным числам. В дальнейшем оно было постепенно распространено на целые, рациональные, действительные, комплексные и другие числа.

Числовые системы
Счётные множества	Натуральные числа () • Целые () • Рациональные () • Алгебраические () • Периоды • Вычислимые • Арифметические
Вещественные числа и их расширения	Вещественные () • Комплексные () • Кватернионы () • Числа Кэли (октавы, октонионы) () • Седенионы () • Альтернионы • Процедура Кэли — Диксона • Дуальные • Гиперкомплексные • Суперреальные • Гиперреальные • Surreal number (англ.)
Другие числовые системы	Кардинальные числа • Порядковые числа (трансфинитные, ординал) • p-адические • Супернатуральные числа
См. также	Двойные числа • Иррациональные числа • Трансцендентные • Числовой луч • Бикватернион

Преобразования

Арифметика	Дифференциальное и интегральное исчисление	Векторный анализ	Анализ
Дифференциальные уравнения	Динамические системы	Теория хаоса

Структуры

Пространственные отношения

Более наглядные подходы в математике.

Дискретная математика

Дискретная математика включает средства, которые применяются над объектами, способными принимать только отдельные, не непрерывные значения.

Математическая логика	Теория вычислимости	Криптография	Теория графов

Коды в системах классификации знаний

• УДК 51
• Государственный рубрикатор научно-технической информации (ГРНТИ) (по состоянию на 2001 год): 27 [19]

Онлайновые сервисы

Существует большое число сайтов, предоставляющих сервис для математических расчётов. Большинство из них англоязычные. [20] Из русскоязычных можно отметить сервис математических запросов поисковой системы Nigma.

Математика как наука: предмет, методы, понятия

Число — важнейшее понятие математики. Содержание его меня­лось на протяжении веков. В связи со счетом возникло понятие о целых положительных числах (натуральных), а затем Евклид и Ар­химед (III в. до н.э.) ввели понятие бесконечности натурального ряда чисел. Индийцы изобрели цифры для записи натурального числа при помощи десяти знаков.

Задачи измерения длин, площадей, где предполагалось выде­ление долей, привели к понятию рационального (дробного) чис­ла — числа вида т/п, где тип — целые числа и п * 0. Понятие отри­цательного числа возникло у индийцев в VI—XI вв. Потребность в точном выражении отношений величин (например, отношение диагонали квадрата к его стороне) привела к введению иррацио­нальных чисел. В Древней Греции были зафиксированы иррацио­нальные отношения (отношения несоизмеримости), но они еще не имели статуса чисел. Иррациональные числа представлены бесконечными непериодическими десятичными дробями и выра­жаются через рациональные приближенно.

В связи с решением квадратных и кубических уравнений в XVI в. были введены комплексные числа вида х + />, где х и у — дей­ствительные числа, /— мнимая единица. Вместе с ними возникло понятие мнимого числа. Для многих крупных ученых XVII в. алгеб-

раическая и геометрическая сущность мнимых величин представ­лялась неясной, загадочной и даже мистической. Г. Лейбницу принадлежит фраза: «Мнимые числа – это прекрасное и чудесное убежище божественного духа, почти что амфибия бытия с небы­тием». В физике закономерности микромира описываются ком­плексными величинами. Математический язык благодаря боль­шой емкости, точности и гибкости позволяет выражать отноше­ния, выходящие за рамки наглядных представлений.

о высокой степенью абстрактности ее понятий (точки без размеров, линии без толщины, множества любых предметов);

0 высокой степенью их общности (например, в алгебре буква обо­значает любое число, в математической логике рассматриваются произвольные высказывания и т.д.).

Абстрактность и общность понятий математики позволяют один и тот же математический аппарат применять в различных науках.

Предметом математики являются системы математических объектов. При этом под системой понимается множество объек­тов с множеством отношений, существующих между этими объек­тами.

Математическими объектами называются абстрактные идеа­лизированные объекты. Математические объекты играют важную роль в формировании математических теорий.

Абстрактный объект — это объект, наделенный теми свойства­ми, которые содержатся в его определении. Математика исследует формы и отношения, полностью отвлеченные от содержания, со­храняя в них лишь то, что содержится в их определениях. В связи с этим результаты в математике получаются путем логических вы­водов из самих этих определений, так что чистая математика име­ет дедуктивный умозрительный характер.

Математические объекты не просто абстрактные объекты, но еще и идеализированные объекты (т.е. определены посредством признаков, доведенных «до предела»). Доведение определенных признаков «до предела», «до абсолюта» называется идеализацией. В математике идеализация состоит в доведении количественных характеристик реальных объектов до нуля или до бесконечности.

Предмет математики в действительном мире представляет со­бой пространственные формы и количественные отношения дей­ствительного мира. Отсюда возникает вопрос: каким способом выделить количественные отношения в чистом виде, т.е. как опи­сать их так, чтобы это описание не зависело от содержания объек­тов. Примеры количественных отношений действительного мира общеизвестны.

В истории развития математики постепенно формировались ее основные методы — анализ и синтез, индукция и дедукция, обобщение и абстрагирование, аналогия и различные типы аксио­матик (содержательная, полуформальная и формальная).

Методы выделения формы в чистом виде весьма разнообраз­ны. Для этого применяются логико-математические языки. При этом существенное значение имеет аксиоматический метод.

Аксиоматический метод предполагает описание количествен­ных отношений без учета специфики объектов, между которыми эти отношения имеют место. Существенной чертой этого метода является то, что в аксиоматической теории все термины разделя­ются на исходные и производные, а предложения на недоказуе­мые (аксиомы) и доказуемые (теоремы). Доказательство теорем основывается на формальнологической дедукции, или выводе их из аксиом с помощью правил логики. В зависимости от подразде­ления аксиом математических теорий и их логик на содержатель­ные и формальные выделяют три вида аксиоматик – содержа­тельные, которые имеют содержательные аксиомы математиче­ской теории и неформализованную логику (например, евклидова геометрия в изложении самого Евклида), полуформальные, кото­рые имеют формальные аксиомы и неформализуемую интуитив­ную логику (например, евклидова геометрия в том виде, как ее представил Д. Гильберт в книге «Основания геометрии»), и пол­ностью формальные, содержащие формальные аксиомы как собст­венно математической теории, так и логики.

Хотя математика является единой системой знаний, она под­разделяется на теоретическую (чистую) и прикладную. В рамках теоретической математики принято различать содержательное и формальное знание. К содержательной математике относятся теории, изучающие системы абстрактных математических объек­тов (числовые системы, алгебраические системы, системы гео­метрических фигур и т.д.). К формальной математике принадле­жат формальные теории (исчисление), предложения и термины которых не обязательно связаны с интерпретацией, т.е. с их зави­симостью от эмпирических или абстрактных систем объектов.

В истолковании предмета математики выделяют три аспек­та – синтаксический, семантический и прагматический. Фунда­ментальной характеристикой математического познания являет­ся доказательство.

Итак, возрастание роли математики и ее методов является од­ной из важнейших характеристик науки XX и XXI вв. Логика при этом выступает и как метод математики, и как математическая теория [2].

1. Математика // Энциклопедия книжного клуба XXI века. М., 2002. Т. И.

2. Перминов В.Я. Философия и основания математики. М., 2002.

Математика

План урока:

Что такое математика?

Часто можно услышать высказывание «Математика-царица наук». А существует ли история математики, и что же это за наука? Так ли она необходима в современном мире?

Любой из нас ежедневно выполняет множество действий, которые неразрывно связаны с математикой, но даже не догадывается об этом. Посмотрите вокруг – компьютеры, телефоны, кондиционеры, телевизоры, но для правильного использования домашней техники необходимы знания, связанные с математикой. Идем дальше – магазины, спортивные секции, танцевальные занятия, увлечение литературой также нельзя представить без использования математики. Математические знания облегчают жизнь и делают её насыщенной.

Давайте разберемся, что такое математика:

Дословный перевод с греческого утверждает, что математика – это наука или изучение. Более точное определение поясняет, что это наука, изучающая величины, числовые отношения и формы.

В школьном курсе изучения представлены такие разделы математики:

В основе изучения математики лежит ряд математических понятий и действий, без понимания которых невозможно выполнять простейшие вычисления.

Понятие числа. Виды чисел

В понятие числа входит обозначение количественного состава чего-либо.Это одно из главных определений в математике. Каждый вид числа появлялся в результате необходимости выполнения человеком тех или иных расчетов. В связи с необходимостью владеть информацией о количестве предметов, появилось понятие натурального числа и бесконечности ряда натуральных чисел. Необходимость измерения площадей, длин, объемов – породила рациональное число. Для решения сложных уравнений ввели комплексные числа.

• Натуральные числа – это числа, получаемые при определении количества 1,2,3. Множество таких чисел принято обозначать буквой N. Например: 1,2,3 …..
• Целые числа. Определение понятия формулируется так: множество натуральных, отрицательных чисел и нуль. Их принято обозначать буквой Z. Например: -2,-1,0,1,2,3,4…..
• Рациональные числа. В понятие рационального числа входят дроби m/n, где n≠0, при этом m – целое число, а n – натуральное. Обозначаются буквой Q. Например: 2/3, -4/5
• Действительные. В понятие действительного числа включены рациональные и иррациональные числа, которые могут записываться в виде обычной и десятичной конечной и бесконечной дробей, а также нуль. Обозначаются буквой R. Например: 1245, 5⅔, -648,35
• Простыми называют натуральные числа, которые можно представить в виде двух множителей – единицы и самого этого числа. Обозначается буквой Р. Например: 1,3,7,11….
• Также существуют Иррациональные числа – это числа, не являющиеся рациональными, то есть нельзя представить в виде дроби m/n, где n≠0, при этом m – целое число, а n – натуральное. Например, число пи=3,1415926535, число e=2.718281828, квадратный корень из 3 и так далее.

Классы и разряды чисел

Если число представлено в виде одной цифры (5,9), то оно называется однозначным, в виде двух (24,31), трех (211,984) цифр – двузначным, трехзначным, а далее (1893,100561) просто многозначными.

Все существующие цифры сгруппированы по классам и разрядам натуральных чисел. Место цифры в записи числа называют разрядом. Самый маленький разряд – разряд единиц, за ним следует разряд десятков, сотен, тысяч.

При этом число разрядов в классе равняется 3. Самым большим числом класса единиц является 9, а самым большим числом класса тысяч 999999.

Математические действия

Существование математики невозможно без выполнения математических действий. Всего существует 4 вида арифметических действий:

Порядок выполнения математических действий в выражениях со скобками и без скобок

Так же имеется определенный порядок математических действий, запомнив который с легкостью можно решать задания любой сложности. Этот порядок зависит от наличия скобок и предложенных действий:

При отсутствии скобок, действия выполняются в обычном порядке. Вот правильный порядок математических действий в примере без скобок:

1 действие: 24+16=40

2 действие: 40-5=35

В любом выражении первыми необходимо выполнить умножение или деление в порядке очереди. Вот правильный порядок арифметических действий без скобок:

1 действие: 4×5=20

2 действие: 40-20=20

3 действие: 20+50=70

Когда выражение содержит скобки, первыми вычисляются действия в скобках, а потом по порядку все остальные. Вот необходимый порядок математических действий в примере со скобками:

2 действие: 10_2=5

3 действие: 5+5=10

Все очень просто. Если сразу запомнить не получается, то можно пользоваться этим уроком, как шпаргалкой!

Следующий интересный момент заключается в том, что любой компонент математического действия имеет свое название:

Правила нахождения неизвестного компонента при выполнении математических действий

Для того, чтобы максимально упростить решение задач и уравнений, существуют специальные правила нахождения неизвестного компонента:

– для нахождения одного из слагаемых необходимо от суммы отнять второе слагаемое:

-для нахождения уменьшаемого достаточно найти сумму разности и вычитаемого:

-для нахождения вычитаемого, нужно от уменьшаемого отнять разность

– для нахождения множителя, необходимо найти частное произведения и второго множителя

– для нахождения неизвестного делимого, необходимо найти произведение делителя и частного

– для нахождения неизвестного делителя, необходимо делимое разделить на частное

Основные законы выполнения действий (перместительный, сочетательный, распределительный)

Чтобы правильно и быстро выполнять любые арифметические действия всегда нужно помнить их основные законы, которые упрощают даже самый сложный процесс вычислений:

Переместительный закон для действий сложения и умножения.

Сформулируем переместительный закон сложения: при перестановке слагаемых сумма остается прежней.

Запишем равенство, выражающее переместительный закон сложения a+b=b+a

21+39=60 или 39+21=6015×3=45 или 3×15=45

Использование переместительного закона умножения.

Давайте сформулируем переместительный закон умножения: в случае перестановки множителей произведение остается прежним.

Запишем равенство, выражающее переместительный закон умножения a*b=b*a

11×8=88 или 8×11=88

Применение сочетательного закона в сложении.

Давайте сформулируем сочетательный закон сложения: чтобы сложить число и сумму чисел достаточно найти сумму этого числа и любого слагаемого, и к ней прибавить второе слагаемое.

Запишем равенство, выражающее сочетательный закон сложения a+(b+c)=(a+b)+c=a+b+c

Примеры сочетательного закона сложения:

20+(60+10)=90 или 20+(60+10)=90 или 20+(60+10)=20+60+10=90

1 действие: 60+10=70 1 действие: 20+60=80

2 действие: 20+70=90 2 действие: 80+10=90

Использование сочетательного закона умножения.

Этот закон также распространяется и на действие умножение. Давайте сформулируем сочетательный закон умножения: если необходимо, выполнить умножение числа на произведение чисел, то можно любые два множителя заменить их произведением a×(b×c)=(a×b)×c=a×b×c

Применение распределительного закона.

Давайте разберемся, что такое распределительный закон и как он формулируется. Вот формулировка распределительного закона сложения: для умножения числа на сумму, необходимо найти произведения этого числа с одними вторым слагаемыми, а результаты сложить.

Запишем равенство, выражающее распределительный закон a×(b+c)=ab+ac

В случае, когда вычитаемое меньше или равно уменьшаемому, можно использовать распределительный закон для нахождения произведения числа и разности чисел. Для умножения числа на разность, необходимо сначала умножить на уменьшаемое, после на вычитаемое и найти разность полученных произведений. В буквенном виде записывается так: a×(b-c)=a×b-a×c, если b≥c

Достаточно понять или запомнить эти простые законы и тогда любые задачи или уравнения будут казаться очень простыми и интересными, а уроки математики станут любимыми.

Интересные сведения из истории возникновения математики

Откуда же взялась математика? Куда же уходит корнями история развития математики? Самым первым источником появления простейшей математики ученые считают пальцы на руках и ногах, а также различные части тела. Об этом свидетельствует множество наскальных рисунков, дошедших до нашего времени. Учеными установлено, что 6 тысяч лет назад древние вавилоняне уже использовали простые математические действия: для бытовых нужд, учета скота, подсчета количества урожая, размера прибыли и расходов, при совершении купли или продажи различных товаров. Позже они же первые упоминают о решении математических задач и уравнений повышенной сложности. К самым первым математическим открытиям относят возникновение математических действий, которые известны нам как сложение, вычитание, умножение и деление.

Ученые-историки до сих пор спорят о точной дате появления этой науки и о месте, где впервые она появилась. Конкурентами в этом споре выступают древний Вавилон и Египет. Самые первые подтверждения математической деятельности принадлежат Свазиленду. Там найдены кости бабуинов с нанесенными черточками, которые явно говорят о первых математических операциях, выполненных 40000 лет назад.

А когда же появились дроби? Упоминания о дробях возникли гораздо позже, но уже достоверно известно, что жители древнего Египта совершали операции с дробями, у которых числителем являлась единица.

А вот представление о десятичных дробях появилось всего лишь пять столетий назад, а в Европу попало только через 200 лет после появления.

Невероятные факты, связанные с математикой:

• Всю математическую науку возможно записать в сто тысяч томов;
• Центилион – самое большое известное число, содержащее шестьсот нулей;
• Наименьшее число используется только в астрономии. Названия не имеет. Записывается дробью; после запятой имеет сто миллионов триллионов нулей, а в конце единицу;
• Самая магическая цифра, которая таит множество суеверий – 666. В Европейской палате все время пустует только одно кресло под номером 666. Во всем мире люди стараются не использовать это число. Такой номер не присваивается телефонным кодам, автобусам,трассам или поездам;
• В Китае самым суеверным числом считают число 4. При этом, такой номер не присваивается домам, квартирам, нет даже 4 этажа.

Математика очень дружна со всеми существующими науками, видами деятельности и профессиями. Одно мудрое выражение гласит «Математика-язык других наук». Поспорить с этим очень сложно, ведь она является основой для развития таких дисциплин:

• Химия;
• Физика;
• Астрономия;
• Биология;
• История;
• Экономика;
• География;
• Информатика;
• Политология;
• Музыка;
• Литература.

Теперь мы можем с уверенностью сказать, что знание математики – залог вашей успешности и развития не только в будущем, а уже сегодня!

Предмет математики

Предмет математики нельзя ни подменять формальными логическими схемами, ни низводить до уровня коллекции разрозненных фактов. Математика есть учение об общих формах, свойственных реальному бытию, она создает постоянно развивающиеся теории, пригодные для самых различных запросов естествознания и техники. Именно это позволяет применять математические методы, разработанные при решении задач одной области науки, к совершенно непохожим на них задачам, относящимся к совсем иным областям знания.

Известны два подхода к определению предмета математики. Одно определение дано Ф.Энгельсом, другое – коллективом французских математиков под общим псевдонимом Н.Бурбаки.

Согласно Ф. Энгельсу, «чистая математика имеет своим объектом пространственные формы и количественные отношения действительного мира, стало быть, – весьма реальный материал. Тот факт, что этот материал принимает чрезвычайно абстрактную форму, может лишь слабо затушевывать его происхождение из внешнего мира». Хотя это предложение нельзя считать полным определением математики, поскольку оно не указывает метод, цели изучения математики, но отражает то, что объект изучения создан умом человека не произвольно, а в связи с реальным миром.

Второй подход отражает методологические установки Н. Бурбаки, которые также определяют не математику, а только объекты, которые она исследует. Прежде чем привести их определение, отметим, что новый подход к объектам исследования в математике связан с «революцией в аксиоматике». Суть ее состоит в переходе от конкретной содержательной аксиоматики к аксиоматике сначала абстрактной, а затем полностью формализованной.

В конкретной содержательной аксиоматике, подобной аксиоматике Евклида, исходные понятия и аксиомы в качестве интерпретации имеют единственную систему хотя и идеализированных, но конкретных объектов. В противоположность этому абстрактная аксиоматика допускает бесчисленное множество интерпретаций. Формализованная аксиоматика возникает на основе абстрактной и отличается, во-первых, точным заданием правил вывода, во-вторых, вместо содержательных рассуждений использует язык символов и формул, в результате чего содержательные рассуждения сводятся к преобразованию одних формул в другие, т. е. к особого рода исчислениям. В соответствии с этим одни и те же аксиомы могут описывать свойства и отношения различных по своему конкретному содержанию объектов.

Эта фундаментальная идея лежит в основе понятия абстрактной структуры. Н.Бурбаки выделяют три основных типа структур, которые играют важную роль при построении ими современной математики.

Алгебраические структуры.Примерами таких структур являются группы, кольца и поля. Основные характеристики алгебраической структуры: задание на некотором множестве А конечного числа операций с соответствующими свойствами, описываемых системой аксиом. В качестве элементов множества А могут выступать как математические объекты (числа, матрицы, перемещения, векторы), так и нематематические.

Структуры порядкахарактеризуются тем, что на рассматриваемом множестве задается отношение порядка (сравнение на числовых множествах), для которого выполняются следующие свойства: рефлексивность, симметричность, транзитивность.

Топологические структуры.Множество М обладает топологической структурой, если каждому его элементу тем или иным способом отнесено семейство подмножеств из М, называемых окрестностями этого элемента, причем эти окрестности должны удовлетворять определенным аксиомам (аксиомам топологических структур). С помощью топологических структур точно определяются такие понятия, как «окрестность», «предел», «непрерывность».

Кроме основных трех типов структур (порождающих), в математике приходится рассматривать сложные структуры, где порождающие структуры органически связываются с помощью объединяющей системы аксиом. Например, множество действительных чисел является сложной структурой, в которую одновременно входят три основные порождающие структуры.

Общей чертой различных понятий, объединенных родовым названием «математическая структура», является то, что они применимы ко множеству элементов, природа которых не определена. Построить аксиоматическую теорию структуры – значит вывести логические следствия из аксиом структуры, отказавшись от каких-либо других предложений относительно рассматриваемых элементов, от всяких гипотез относительно их «природы».

На основе сказанного Н.Бурбаки делают вывод: «В своей аксиоматической форме математика представляется скоплением абстрактных форм – математических структур, и оказывается (хотя по существу и неизвестно почему), что некоторые аспекты экспериментальной действительности как будто в результате предопределения укладываются в некоторые из этих форм».

Итак, по Н.Бурбаки, математика – это «скопление математических структур», не имеющих к действительности никакого отношения. Следует сказать, что этот взгляд на математику разделялся многими учеными, которые считали, что определение Ф. Энгельса устарело.

Накопленный в XVII и XVIII вв. огромный фактический материал привел к необходимости углубленного логического анализа и объединения его с новых точек зрения. Связь математики с естествознанием приобретает все более сложные формы. Новые теории стали возникать не только в результате непосредственных запросов практики, естествознания и техники, но также из внутренних потребностей самой математики. Наиболее важные из них: развитие теории функций, теории групп, связанной с исследованием проблемы разрешимости алгебраических уравнений в радикалах, создание неевклидовых геометрий.

Вторая особенность этого периода развития математики связана со значительным расширением области ее приложений. Если до этого математика применялась в таких разделах физики, как механика и оптика, то теперь ее результаты находят приложение в электродинамике, теории магнетизма, термодинамике. Резко возросли потребности техники в математике: баллистика, машиностроение и др.

Третья особенность математики XIX в. обусловлена усиленным вниманием к вопросам обоснования, критического пересмотра исходных положений (аксиом), построению строгой системы определений и доказательств, а также к критическому рассмотрению логических приемов, употребляемых при этих доказательствах. Г. Рузавин так пишет о математике этого периода: «Если раньше основным предметом ее изучения были метрические количественные отношения между величинами и пространственными формами, то, начиная с середины XIX в. она все больше и больше обращается к анализу взаимосвязей неметрической природы». Такое расширение области исследования математики сопровождалось возрастанием абстрактности ее понятий и теорий.

Революционный переворот во взглядах на математику был связан как раз с ее обоснованием, новым пониманием аксиоматического метода. Открытие в 1826 г. Н.Лобачевским того, что замена пятого постулата Евклида о параллельных его отрицанием («Через точку вне прямой проходит более одной прямой, не пересекающей данную»), и выводы из системы аксиом абсолютной геометрии (где выполняются все аксиомы Евклида, кроме аксиомы параллельности) и аксиомы параллельности Лобачевского не привели к логическим погрешностям.

Это развило столь же стройную и богатую содержанием геометрию, как и геометрия Евклида, послужило толчком в изменении взглядов на математику. Сразу встал вопрос о необходимости обоснования новой геометрии, исследовании ее непротиворечивости (из данной системы аксиом нельзя получить двух взаимоисключающих выводов). В этой связи получает дальнейшее развитие аксиоматический метод: 1) решается проблема непротиворечивости, полноты и независимости системы аксиом; 2) появляется новый взгляд на аксиоматическую теорию как бессодержательную, формально-логическую систему. Решение этих проблем было предложено Д. Гильбертом.

Новый взгляд на аксиоматический метод в корне изменил прежние представления о геометрии как полуэмпирической науке. Из открытий неевклидовых геометрий и построения их интерпретаций следовало, что евклидова и неевклидовы геометрии не представляют непосредственное описание эмпирических свойств реального физического пространства, а являются абстрактными системами утверждений, истинность которых может быть проверена после соответствующей конкретной интерпретации.

Таким образом, подход Н.Бурбаки к определению математики как «скоплению абстрактных, бессодержательных, математических структур» был предопределен новым пониманием аксиоматического метода.

Однако подход Н.Бурбаки встретил и негативное отношение, поскольку они не считали нужным выяснять отношение рассматриваемых структур к действительному миру. Не имея возможности описать различные оценки философов и математиков и позиции Н.Бурбаки, остановимся на точке зрения ведущих отечественных математиков – А.Колмогорова, А.Александрова, В.Гнеденко. Они считают, что во времена Энгельса математика изучала количественные отношения между величинами и пространственными формами. Теперь она поднялась до изучения абстрактных структур и категорий. Но на этом основании нельзя считать, что объект изучения математики стал иным, что вместо количественного аспекта действительного мира математика стала исследовать нечто принципиально иное, что современный этап ее развития не связан с предшествующими этапами.

В действительности дело заключается в том, что качественные изменения, происшедшие в математике, дают ей возможность исследовать количественные отношения глубже и шире. А.Колмогоров приходит к выводу, что круг количественных отношений и пространственных форм, изучаемых математикой, чрезвычайно расширяется: в него входят отношения, существующие между элементами произвольной группы, векторами, операторами в функциональных пространствах, все разнообразие форм пространств любого числа измерений и т.п. При таком широком понимании терминов «количественные отношения» и «пространственные формы» определение математики как науки о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира применимо и на современном этапе ее развития.

Эту позицию разделяет и А.Александров: в математике рассматриваются не только формы и отношения, непосредственно абстрагированные из действительности, но и логически возможные, определяемые на основе уже известных форм и отношений. Б. Гнеденко обращает внимание на то, что, хотя любая ветвь современной математики действительно изучает математические структуры, данное Н.Бурбаки определение отнюдь не находится в антагонистических отношениях с определением Ф.Энгельса, а лишь с определенных позиций его дополняет.

Подводя итог сказанному, можно заключить, что подход к определению математики через математические структуры представляет собой выражение определенного этапа математического познания. Математика была и остается определенным «инструментом» познания мира, его пространственных форм и количественных отношений. В настоящее время, как уже отмечалось, этот «инструмент» проникает в изучение все более сложных процессов и явлений, в том числе и неметрической природы. Без осознания этого фундаментального философского, методологического положения не может быть сформировано целостное представление об общей картине мира.

Математика претендует на статус «особой» науки, изначально превышающей все прочие по уровню точности, истинности и непротиворечивости своих фундаментальных положений. В сфере конечных величин математика действительно относительно точна и непротиворечива; этого достаточно для более или менее адекватного количественного моделирования самых различных конечных по размерности предметных областей. Что же касается сферы бесконечного, то здесь у современной математики есть свои противоречия, которые могут быть преодолены лишь совместными усилиями математиков, философов и логиков.

Предмет, содержание, цели, задачи методики преподавания математики

Слово методика в переводе с древнегреческого означает способ познания, путь исследования. Существуют разные точки зрения на содержание понятия методика. Приведем несколько из них:

Определение 1: Методика преподавания математики – наука о математике, как учебном предмете и закономерностях процесса обучения математики учащихся различных возрастных групп и способностей.

Определение 2: Методика обучения математики – это педагогическая наука о задачах, содержании и методах обучения математики, она изучает и исследует процесс обучения математике, на определённом уровне её развития, в целях повышения её эффективности и качества. Методика обучения математике рассматривает вопрос о том, как надо преподавать математику.

Определение 3: Методика преподавания математики – раздел педагогики, исследующий закономерности обучения на определённом уровне её развития с целью обучения подрастающего поколения. Методика обучения математике призвана исследовать проблемы математического образования, обучения математике и математического воспитания.

В практике обучения математике находят свое отражение особенности

многовековой истории ее развития – от глубокой древности до наших дней. Для понимания методических закономерностей необходимо знать историю развития методики преподавания математики.

Методика преподавания математики начала разрабатываться чешским ученым Я.А.Коменским. Как самостоятельная дисциплина она впервые была выделена в книге швейцарского ученого И.Г.Песталоцци «Наглядное учение о числе» .

В России, в 1831г., первым пособием по методики преподавания математики стала книга Боссе – «Руководство преподавания арифметики для учителей». Создателем русской методики преподавания арифметики, для народной школы, считается Гурьев.

Цель методики преподавания математики заключается в исследовании основных компонентов системы обучения математики в школе и связи между ними. Под основными компонентами понимают цели содержания, методы, формы и средства обучения математики. Предметом методики преподавания математики являются цели и содержания математического образования, методы, средства и формы обучения математики.

Основные цели обучения математике (в широком смысле):

• 1) овладение всеми учащимися элементами мышления и деятельности, которые наиболее ярко проявляются и которые необходимы каждому для полноценного развития в современном мире.
• 2) создание условий для зарождения интереса к математике и развития математических способностей школьников.

Основные цели обучения математике (в узком смысле):

• 1) общеобразовательная – овладение учащимися системой математических знаний, умений и навыков, дающее представление о предмете математики, о математических приёмах и методов познания применяемых в математике.
• 2) воспитательная – воспитание активности, самостоятельности, ответственности, нравственности, культуры общения, эстетической культуры, графической культуры.
• 3) развивающая – формирование мировоззрения учащихся, логическое и эвристическое составляющих мышление, алгоритмическое мышление, развитие пространственного воображения.

Основные задачи:

• 1. Определение конкретных целей изучения математики по классам, темам, урокам.
• 2. Отбор содержания учебного предмета в соответствии с целями и познавательными возможностями учащихся.
• 3. Разработка наиболее рациональных методов и организационных форм обучения, направленных на достижение поставленных целей.
• 4. Выбор необходимых средств обучения и разработки методики их применения в практике методики преподавания математике.

Содержание математического образования.

Содержание математического образования отражается в: учебниках, учебных планах, учебных программах, методических пособиях. Базисный учебный план является обязательным для всех учебных заведений дающих среднее образование. Это основной документ для разработки учебных программ по математике. Включая перечень тем изучаемого материала, рекомендаций по количеству времени на каждую тему. Перечень знаний, умений и навыков по предмету.

Существует 3 варианта расположения математического материала в учебной программе:

• 1) Линейное – материал располагается последовательно.
• 2) Концентричное – некоторые разделы изучаются с повтором.
• 3) Специальное – материал располагается последовательно по циклам.

Из этих учебных планов вытекают учебные программы.

Составными частями содержания образования являются: знания, умения и навыки. Знания – это понимание, сохранение в памяти и умение воспроизводить и применять на практике основные научные факты и теоретические общения. Любые знания выражаются в понятиях, категориях, принципах, законах, закономерностях, фактах, идеях, теориях, гипотезах. Умения – владения способами, приёмами, применения усвоенных знаний на практике. Умения включают знания и навыки, формирование знаний, знаний, умений и навыков, зависит от способностей человека. Навыки – элементы умения, т.е. автоматизированные действия, доведённые до высокой степени совершенства. Содержание образования строится с учётом фактов, доминирующих на современном этапе развития общества:

• 1) Соответствие логики математики как науки.
• 2) Соответствие таким принципам обучения, как научность, последовательность, системность и др.
• 3) Учёт психологических возможностей и возрастных особенностей школьников, разных ступеней обучения.
• 4) Адекватность потребности личности в образовании (дифференциация обучения, коррекционное обучение).
• 5) Формирование профессиональной направленности школьников.

Структура методики преподавания математики

• *общая (например, методы преподавания математики);
• *специальная (например, учение о функции в школьном курсе математики);
• *конкретная (например, методика преподавание темы «Векторы»).

Методика преподавания математики призвана дать ответы на вопросы:

• 1) Зачем надо учить математику?
• 2)Что надо изучать?
• 3)Как надо обучать математике?