Биссектриса параллелограмма – определение, теоремы и задачи

Параллелограмм: свойства и признаки

О чем эта статья:

Определение параллелограмма

Параллелограмм — это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. Как выглядит параллелограмм:

Частные случаи параллелограмма: ромб, прямоугольник, квадрат.

Диагонали — отрезки, которые соединяют противоположные вершины.

Свойства диагоналей параллелограмма:

  1. В параллелограмме точка пересечения диагоналей делит их пополам.
  2. Любая диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника.
  3. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов его двух смежных сторон.

Биссектриса параллелограмма — это отрезок, который соединяет вершину с точкой на одной из двух противоположных сторон и делит угол при вершине пополам.

Свойства биссектрисы параллелограмма:

  1. Биссектриса параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник.
  2. Биссектрисы смежных углов параллелограмма пересекаются под прямым углом.
  3. Отрезки биссектрис противоположных углов равны и параллельны.

Как найти площадь параллелограмма:

  1. S = a * h, где a — сторона, h — высота.
  2. S = a * b * sinα, где a и b — две стороны, sinα — синус угла между ними.
  3. S = 0,5 * (d1 * d2), где d1,d2 — две диагонали.

Периметр параллелограмма — сумма длины и ширины, умноженная на два.

P = 2 * (a + b), где a — ширина, b — высота.

У нас есть отличные дополнительные занятия по математике! Для учеников с 1 по 11 классы!

Свойства параллелограмма

Геометрическая фигура — это любое множество точек. У каждой фигуры есть свои свойства, которые отличают их между собой и помогают решать задачи по геометрии в 8 классе.

Рассмотрим основные свойства диагоналей и углов параллелограмма, узнаем чему равна сумма углов параллелограмма и другие особенности этой фигуры. Вот они:

  1. Противоположные стороны параллелограмма ABCD равны: AB = DC, BC = AD.
  2. Противоположные углы параллелограмма ABCD равны:∠A = ∠C, ∠B = ∠D.
  3. Диагонали параллелограмма ABCD равны и точкой пересечения делятся пополам: BO = OD, AO = OC.
  4. Диагональ делит параллелограмм ABCD на два равных треугольника: △ABC = △CDA.
  5. Сумма углов в параллелограмме ABCD, прилежащих к одной стороне, равна 180 градусам: ∠A + ∠D = 180°.
  6. В параллелограмме ABCD накрест лежащие углы при диагонали равны: ∠BAC = ∠ACD, ∠BCA = ∠CAD.
  7. В параллелограмме ABCD сумма всех углов равна 360° градусам.
  8. Точка пересечения диагоналей является центром симметрии параллелограмма ABCD.
  9. В параллелограмме диагонали d1, d2 и стороны a, b связаны следующим соотношением: d12 + d22 = 2 * (a2 + b2 ).
  10. Биссектриса отсекает от параллелограмма ABCD равнобедренный треугольник.

А сейчас докажем теорему, которая основана на первых двух свойствах.

Теорема 1. В параллелограмме противоположные стороны и противоположные углы равны.

В любом выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются. Все, что мы знаем о точке их пересечения — это то, что она лежит внутри четырехугольника.

Если мы проведем обе диагонали в параллелограмме, точка пересечения разделит их пополам. Убедимся, так ли это:

  1. Как противоположные стороны параллелограмма: AB = CD
  2. Как внутренние накрест лежащие равны пары углов: ∠1 = ∠2, ∠3 = ∠4.
  3. Следовательно, треугольник AOB равен треугольнику COD, из чего следует:
    • CO = OA
    • BO = DO

Теорема доказана. Наше предположение верно.

Признаки параллелограмма

Признаки параллелограмма помогают распознать эту фигуру среди других четырехугольников. Сформулируем три основных признака.

Первый признак параллелограмма. Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Докажем 1 признак параллелограмма:

Шаг 1. Пусть в четырехугольнике ABCD:

  • AB || CD
  • AB = CD

Чтобы назвать этот четырехугольник параллелограммом, нужно внимательно рассмотреть его стороны.

Сейчас мы видим одну пару параллельных сторон. Нужно доказать, что вторая пара сторон тоже параллельна.

Шаг 2. Проведем диагональ. Получились два треугольника ABC и CDA, которые равны по первому признаку равенства, то есть по по двум сторонам и углу между ними:

  1. AC — общая сторона;
  2. По условию AB = CD;
  3. ∠1 = ∠2, как внутренние накрест лежащие углы для параллельных прямых.

Шаг 3. Из равенства треугольников также следует:

Эти углы тоже являются внутренними накрест лежащими для прямых CB и AD. А это как раз и есть признак параллельности прямых. Значит, CB || AD и ABCD — параллелограмм.

Вот так быстро мы доказали первый признак.

Второй признак параллелограмма. Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Докажем 2 признак параллелограмма:

Шаг 1. Пусть в четырехугольнике ABCD:

  • AB = CD
  • BC = AD

Шаг 2. Рассмотрим треугольники ABC и ADC:

  • AC — общая сторона;
  • B = CD по условию;
  • BC = AD по условию.

Из этого следует, что треугольники ABC и ADC равны по третьему признаку, а именно по трем сторонам.

Шаг 3. Из равенства треугольников следует:

А так как эти углы накрест лежащие при верхней и нижней сторонах и секущей диагонали, значит верхняя и нижняя стороны параллельны.

Эти углы накрест лежащие при боковых сторонах и секущей диагонали. Поэтому боковые стороны четырёхугольника тоже параллельны. Значит четырёхугольник ABCD — параллелограмм, ЧТД.

Доказали второй признак.

Третий признак параллелограмма. Если в четырехугольнике диагонали точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Докажем 3 признак параллелограмма:

Шаг 1. Если диагонали четырехугольника ABCD делятся пополам точкой O, то треугольник AOB равен треугольнику COD по двум сторонам и углу между ними:

  • CO = OA;
  • DO = BO;
  • углы между ними равны, как вертикальные.

Шаг 2. Из равенства треугольников следует, что CD = AB.

Эти стороны параллельны CD || AB, по равенству накрест лежащиз углов ∠1 = ∠2.

Значит, ABCD является параллелограммом по первому признаку, который мы доказали ранее. Что и требовалось доказать.

Теперь мы знаем свойства параллелограмма и то, что выделяет его среди других четырехугольников — признаки. Так как они совпадают, эти формулировки можно использовать для определения параллелограмма. Но самое распространенное определение все таки связано с параллельностью противоположных сторон.

Параллелограмм. Свойства и признаки параллелограмма

Определение параллелограмма

Параллелограмм – четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

Свойства параллелограмма

1. Противоположные стороны параллелограмма попарно равны

2. Противоположные углы параллелограмма попарно равны

3. Сумма смежных (соседних) углов параллелограмма равна 180 градусов

4. Сумма всех углов равна 360°

5. Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам

6. Точка пересечения диагоналей является центром симметрии параллелограмма

7. Диагонали параллелограмма и стороны
связаны следующим соотношением:

8. Биссектриса отсекает от параллелограмма равнобедренный треугольник

Признаки параллелограмма

Четырехугольник является параллелограммом, если выполняется хотя бы одно из следующих условий:

1. Противоположные стороны попарно равны:

2. Противоположные углы попарно равны:

3. Диагонали пересекаются и в точке пересечения делятся пополам

4. Противоположные стороны равны и параллельны:

5.

Небольшой видеоролик о свойствах параллелограмма (в том числе ромба, прямоугольника, квадрата) и о том, как эти свойства применяются в задачах:


Формулы площади параллелограмма смотрите здесь.

Хорошую подборку задач на нахождение углов и длин в параллелограмме смотрите здесь.

Свойства биссектрис параллелограмма (геометрия, 8-й класс)

Класс: 8

Цель: доказать свойства биссектрис параллелограмма и рассмотреть их применение к решению задач.

I. Повторение (устно)

1. Сформулируйте определение параллелограмма.

2. Сформулируйте свойства параллелограмма.

3. Сформулируйте признаки параллелограмма.

4. Сформулируйте свойства параллельных прямых.

5. Решите задачу:

Дано: a || b , МЕ – секущая, МО и ЕО – биссектрисы. Найти: MOE.

6. Решите задачу:

Дано: ABCD – параллелограмм, AK – биссектриса, AKB = 15 o . Найти: BAD.

II. Изучение нового материала

Учащиеся самостоятельно по парам решают задачи на доказательство (3-5 мин) с последующей проверкой на доске и формулируют свойства биссектрис параллелограмма (каждый ряд решает по одной задаче). Оформление доказательств к задачам записывает учитель на доске под диктовку учеников.

Задача № 1. Биссектриса угла параллелограмма пересекает противоположную сторону. Определите вид полученного треугольника.

Задача № 2. Найдите угол образованный биссектрисами углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне.

Задача № 3. Определите взаимное расположение прямых на которых лежат биссектрисы противоположных углов.

Свойства биссектрис параллелограмма:

1). Биссектриса параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник.

2). Биссектрисы углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, перпендикулярны.

3). Биссектрисы противоположных углов параллелограмма параллельны или лежат на одной прямой.

III. Закрепление изученного материала

Учащиеся решают задачи на применение свойств биссектрис параллелограмма. (Тексты задач и чертежи к ним выдаются каждому ученику.) Оформление решений к задачам записывают ученики на доске.

  1. Биссектрисы углов А и B параллелограмма ABCD пересекаются в точке K. Найдите длину BK, если B = 120 o , AB = 19 см.
  2. Биссектрисы углов А и D параллелограмма ABCD пересекаются в точке, лежащей на стороне ВС. Найдите периметр параллелограмма, если ВС = 34 см.
  3. Впараллелограмме ABCD биссектрисы углов В и D пересекают диагональ АС в точках К и Р соответственно. Доказать, что четырёхугольник BРDК – параллелограмм.
  4. Докажите, что при пересечении биссектрис параллелограмма образуется прямоугольник.

IV. Итог урока (ученики формулируют изученные свойства)

V. Домашнее задание

Конспект (свойства биссектрис параллелограмма), задачи:

1. Дано: TPLK – параллелограмм, РТ = РL, TF – биссектриса LTK, TFL= 120 o . Найти углы параллелограмма.

2. Дано: ABCD – параллелограмм, AM – биссектриса BAD, AM : MC = 5 : 3, POBC > POCD на 6 см. Найти стороны и периметр параллелограмма.

Приложения к уроку. Раздаточный материал.

СВОЙСТВА БИССЕКТРИС ПАРАЛЛЕЛОГРАММА

Задача № 1. Биссектриса угла параллелограмма пересекает противоположную сторону. Определите вид полученного треугольника.

Задача № 2.Найдите угол образованный биссектрисами углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне.

Задача № 3.Определите взаимное расположение прямых на которых лежат биссектрисы противоположных углов.

ПРИМЕНЕНИЕ СВОЙСТВ БИССЕКТРИС ПАРАЛЛЕЛОГРАММА

Биссектрисы углов А и B параллелограмма ABCD пересекаются в точке K. Найдите длину BK, если B, AB = 19 см.

Биссектрисы углов А и D параллелограмма ABCD пересекаются в точке, лежащей на стороне ВС. Найдите периметр параллелограмма, если ВС = 34 см.

Впараллелограмме ABCD биссектрисы углов В и D пересекают диагональ АС в точках К и Р соответственно. Доказать, что четырёхугольник BРDК – параллелограмм.

Докажите, что при пересечении биссектрис параллелограмма образуется прямоугольник.

V. Домашнее задание.

Конспект (свойства биссектрис параллелограмма), задачи:

3. Дано: TPLK – параллелограмм, РТ = РL, TF – биссектриса LTK, TFL= 120 o . Найти углы параллелограмма.

4. Дано: ABCD – параллелограмм, AM – биссектриса BAD, AM : MC = 5 : 3, POBC > POCD на 6 см. Найти стороны и периметр параллелограмма.

Параллелограмм: свойство его биссектрисы

Биссектриса параллелограмма — это отрезок, соединяющий вершину параллелограмма с точкой на одной из двух противоположных сторон и делящий угол при вершине пополам.

(bullet) Биссектриса параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник.

(bullet) Биссектрисы соседних углов параллелограмма взаимно перпендикулярны: (BLperp AN) .

(bullet) Биссектрисы противоположных углов параллелограмма параллельны: (ANparallel CP) .

Биссектрисы углов (B) и (C) параллелограмма (ABCD) пересекаются на стороне (AD) . Найдите (BC) , если (AB=4) .

По свойству биссектрисы параллелограмма (triangle ABK) и (triangle CDK) – равнобедренные ( (AB=AK) , (CD=DK) ). Следовательно, [BC=AD=AK+DK=AB+CD=2AB=8.]

В параллелограмме (ABCD) проведены биссектрисы (AN) и (BM) , (angle ABM = 58^) . Найдите (angle BAN) . Ответ дайте в градусах.

Сумма односторонних углов при параллельных прямых и секущей равна (180^) , тогда (angle DAB + angle ABC = 180^) .

Так как (AN) и (BM) – биссектрисы, то (angle BAN + angle ABM = 0,5(angle DAB + angle ABC) = 90^) .

(angle ABM = 58^) , тогда (angle BAN = 90^ – 58^ = 32^) .

В параллелограмме (ABCD) проведена биссектриса (AN) , точка (N) лежит на стороне (BC) , причём (NC = 3) , (AB = 5) . Найдите периметр параллелограмма (ABCD) .

Так как внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых и секущей равны, то (angle BNA = angle NAD) .

Так как (AN) – биссектриса, то (angle NAD = angle BAN) , откуда получаем (angle BNA = angle BAN) .

Таким образом, треугольник (ABN) – равнобедренный, (BN = AB) , тогда (BC = BN + NC = 5 + 3 = 8) . В итоге, периметр параллелограмма (ABCD) равен (8 + 8 + 5 + 5 = 26) .

В параллелограмме (ABCD) на стороне (BC) выбрана точка (N) так, что (AB = BN) , (angle B = 150^) . Найдите (angle NAD) . Ответ дайте в градусах.

Так как в равнобедренном треугольнике углы при основании равны, то (angle BAN = angle BNA) .

Так как сумма углов в треугольнике равна (180^) , то (angle BAN = angle BNA = 15^) .

Так как внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых и секущей равны, то (angle NAD = angle BNA = 15^) .

В параллелограмме (ABCD) биссектриса, выходящая из вершины (B) , пересекает (AD) в точке (K) и равна 6. (angle BAD = 60^circ) , (AK:KD = 3:2) . Найдите периметр параллелограмма (ABCD) .

(angle ABK = angle KBC) т.к. (BK) – биссектриса (angle ABC) . (angle KBC = angle BKA) , т.к. это накрест лежащие углы при параллельных прямых. Тогда:

[angle ABK=angle BKA =frac<1><2>(180^circ-angle BAD)=frac<1><2>(180^circ-60^circ)=60^circ]
(triangle ABK) равносторонний, значит (AB = BK = AK = 6) . Тогда (AK:KD = 6:KD = 3:2 Rightarrow KD = 4) . (AD = AK + KD = 10) , тогда:
[P_ = 2cdot6 + 2cdot10 = 32]

В параллелограмме (ABCD) биссектриса (angle BAD) пересекает сторону (BC) в точке (K) и делит ее пополам, а также пересекает продолжение стороны (DC) в точке (L) . Найдите периметр параллелограмма, если (CL = 3) .

(triangle CKL = triangle BKA) и являются равнобедренными. [AB = CL = 3, ,,, BC = BK + KC = 2cdot CK = 2cdot CL = 2cdot 3 = 6.] Тогда (P_ = 2cdot3 + 2cdot6 = 18) .

В параллелограмме (ABCD) : точка (K) лежит на стороне (AD) , (BK = 3) – биссектриса (angle ABC) , (BC = 5) , (angle BKA = 60^circ) . Найдите периметр параллелограмма.

(angle ABK = angle BKA = 60^circ) (Rightarrow) (angle BAD = 60^circ) (Rightarrow) (triangle ABK) – равносторонний, тогда (AB = BK = 3) (Rightarrow) (P_ = 2cdot3 + 2cdot5 = 16) .

Выпускники, которые рассчитывают успешно сдать ЕГЭ, в обязательном порядке должны повторить тему «Свойства биссектрисы параллелограмма». Как показывает статистика, при прохождении аттестационного испытания задачи по данному разделу планиметрии вызывают сложности у большого количества учащихся. При этом задания, в которых необходимо применить свойства биссектрисы угла параллелограмма, встречаются в ЕГЭ ежегодно. Таким образом, справляться с ними должны все учащиеся.

Образовательный портал «Школково» предлагает выстроить процесс подготовки к прохождению аттестационного испытания по-новому. Занимаясь вместе с нашим ресурсом, выпускники смогут определить наиболее сложные для себя темы и ликвидировать пробелы в знаниях.

Чтобы задания ЕГЭ не вызывали трудностей, рекомендуем вначале повторить основные понятия и свойства биссектрисы параллелограмма. Найти этот материал учащиеся смогут в разделе «Теоретическая справка».

Для того чтобы окончательно понять принцип решения задач по данному разделу планиметрии, мы рекомендуем выполнить соответствующие упражнения. Большая подборка заданий различного уровня сложности представлена в разделе «Каталог». Для каждого упражнения на сайте приведен алгоритм решения и дан правильный ответ. Последовательно выполняя их, учащиеся смогут понять, как правильно применять свойства биссектрисы внутреннего угла параллелограмма.

Получать новые знания и оттачивать собственные навыки по данной теме или, например, в решении задач на тему «Прямоугольник» в ЕГЭ учащиеся могут в онлайн-режиме, находясь в Москве или любом другом российском городе. При необходимости задание можно сохранить в разделе «Избранное». Благодаря этому вы сможете быстро найти интересующие примеры и обсудить алгоритмы нахождения правильного ответа с преподавателем.

Параллелограмм. Формулы, признаки и свойства параллелограмма

Рис.1 Рис.2

Признаки параллелограмма

AB||CD, AB = CD (или BC||AD, BC = AD)

∠DAB = ∠BCD, ∠ABC = ∠CDA

∠ABC + ∠BCD = ∠BCD + ∠CDA = ∠CDA + ∠DAB = ∠DAB + ∠DAB = 180°

AC 2 + BD 2 = AB 2 + BC 2 + CD 2 + AD 2

Основные свойства параллелограмма

∠ABC = ∠CDA, ∠BCD = ∠DAB

∠ABC + ∠BCD + ∠CDA + ∠DAB = 360°

∠ABC + ∠BCD = ∠BCD + ∠CDA = ∠CDA + ∠DAB = ∠DAB + ∠DAB = 180°

8. Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делят друг друга пополам:

AO = CO = d 1
2
BO = DO = d 2
2

AC 2 + BD 2 = 2AB 2 + 2BC 2

Стороны параллелограмма

Формулы определения длин сторон параллелограмма:

1. Формула сторон параллелограмма через диагонали и угол между ними:

2. Формула сторон параллелограмма через диагонали и другую сторону:

a = √ 2 d 1 2 + 2 d 2 2 – 4 b 2
2
b = √ 2 d 1 2 + 2 d 2 2 – 4 a 2
2

3. Формула сторон параллелограмма через высоту и синус угла:

a = h b
sin α
b = h a
sin α

4. Формула сторон параллелограмма через площадь и высоту:

a = S
ha
b = S
hb

Диагонали параллелограмма

Формулы определения длины диагонали параллелограмма:

d 1 = √ a 2 + b 2 – 2 ab·cosβ

d 2 = √ a 2 + b 2 + 2 ab·cosβ

d 1 = √ a 2 + b 2 + 2 ab·cosα

d 2 = √ a 2 + b 2 – 2 ab·cosα

d 1 = √ 2 a 2 + 2 b 2 – d 2 2

d 2 = √ 2 a 2 + 2 b 2 – d 1 2

4. Формула диагонали параллелограмма через площадь, известную диагональ и угол между диагоналями:

d 1 = 2S = 2S
d 2· sinγ d 2· sinδ
d 2 = 2S = 2S
d 1· sinγ d 1· sinδ

Периметр параллелограмма

Формулы определения длины периметра параллелограмма:

P = 2 a + 2 b = 2( a + b )

P = 2 a + √ 2 d 1 2 + 2 d 2 2 – 4 a 2

P = 2 b + √ 2 d 1 2 + 2 d 2 2 – 4 b 2

3. Формула периметра параллелограмма через одну сторону, высоту и синус угла:

P = 2( b + h b )
sin α
P = 2( a + h a )
sin α

Площадь параллелограмма

Формулы определения площади параллелограмма:

3. Формула площади параллелограмма через две диагонали и синус угла между ними:

S = 1 d 1 d 2 sin γ
2
S = 1 d 1 d 2 sin δ
2

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Биссектриса параллелограмма
презентация к уроку по геометрии (7 класс) по теме

Формулировка и доказательство свойств биссектрис параллелограмма

Скачать:

Вложение Размер
Биссектриса параллелограмма 1.41 МБ

Предварительный просмотр:

Биссектрисы параллелограмма. Исследовательский проект

1.1. Все ли мы узнали о четырехугольниках?

Изучая тему “Четырехугольники”, мы познакомились с их различными видами, узнали свойства и признаки, научились решать задачи. Особенно богат своими удивительными свойствами квадрат. Знакомый нам с детского сада, он, оказывается, объединил в себе свойства прямоугольника, ромба, да и параллелограмма. Решая задачи, мы учились применять полученные знания. Казалось, я знаю все: задачи мне были подвластны, трудностей нет. Однако одна из задач не то, чтобы вызвала у меня затруднения, но очень меня заинтересовала.

№425 (“Геометрия 7-9” Л.С.Атанасян)

Периметр параллелограмма АВСД равен 46см, АВ=14см. какую сторону параллелограмма пересекает биссектриса угла А? Найдите отрезки, которые образуются при этом пересечении.

1.2 Немного из истории.

Термин “ПАРАЛЛЕЛОГРАММ” греческого происхождения и был введен Евклидом. Понятие параллелограмма и некоторые его свойства были известны ещё пифагорейцам.

В “Началах” Евклида доказывается теорема о том, что в параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны, а диагональ разделяет его пополам. Евклид не упоминает о том, что точка пересечения диагоналей делит их пополам. Он не рассматривает ни прямоугольника, ни ромба. Полная теория параллелограммов была разработана к концу средних веков и появилась в учебниках лишь в XVII веке. Все теоремы о параллелограммах основываются непосредственно или косвенно на аксиоме параллельности Евклида.

“ТРАПЕЦИЯ” – слово греческое, означавшее в древности “столик” (по-гречески “трапедзион” означает столик, обеденный столик). В “Началах” термин “трапеция” применяется не в современном, а в другом смысле: любой четырёхугольник (не параллелограмм). “Трапеция” в нашем смысле встречается впервые у древнегреческого математика Посидония. Лишь в XVIII веке это слово приобретает современный смысл.

Предположение о том, что средняя линия трапеции равна полусумме её оснований, было известно древним египтянам, оно содержится в папирусе- Ахмеса и фигурирует в виде инскрипции на стенах храма Эдфу в Верхнем Египте. Это предложение было также известно вавилонским землемерам, оно содержится и в трудах Герона Александрийского.

Термин “КВАДРАТ” происходит от латинского “квадратум” (“Квадрате” – сделать четырёхугольным). Первый четырёхугольник, с которым познакомилась геометрия, был квадрат.

Вычислением площадей фигур занимались ещё в древности. Ещё 4-5 тыс. лет назад вавилоняне умели определять площадь прямоугольника и трапеции в квадратных единицах. Квадрат издавна служил эталоном при измерении площадей благодаря многим своим замечательным свойствам: равные стороны, равные и прямые углы, симметричность и общее совершенство формы. А в древнем Китае мерой площади был прямоугольник.

Древние египтяне пользовались почти теми же приемами, что и мы, для измерения площади прямоугольника и трапеции: для трапеций сумма параллельных сторон делилась пополам и умножалась на высоту. Для вычисления площади четырёхугольника со сторонами а, b, с, d (рис.1)

применялась формула , т.е. умножались полусуммы противоположных сторон. Эта формула верна только для прямоугольника. С её помощью можно вычислить приближённо площадь таких четырёхугольников, у которых углы близки к прямым.

В своих “Началах” Евклид не употреблял слово “площадь”, так как он под самим словом “фигура” понимал часть плоскости, ограниченную той или иной замкнутой линией. Евклид не выражал результат измерения площади числом, а сравнивал площади разных фигур между собой.

Слово “РОМБ”, как и параллелограмм, греческого происхождения, оно означает вращающееся тело. В “Началах” Евклида термин “ромб” встречается только один раз в определениях, свойства ромба вообще не изучаются. Ромб также имел смысл бубна, который в древности был не круглым, а четырёхугольным.

В полученных мною сведениях нигде не встретилось упоминания о биссектрисах параллелограмма.

II. Основная часть

2.1 Формулировка и доказательство свойств биссектрис параллелограмма

Я попыталась подойти к этому вопросу практически. Изображая различные параллелограммы, при помощи транспортира проводила в них биссектрисы, анализировала рисунки и пыталась сделать выводы. Так же я использовала бумажные модели параллелограммов. Проведенная работа позволила мне сформулировать и доказать свойства биссектрис параллелограмма, а так же придумать способ проведения биссектрисы параллелограмма без транспортира.

Свойства биссектрис параллелограмма.

Биссектриса угла параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник.

Биссектрисы смежных углов параллелограмма пересекаются под прямым углом

Биссектрисы соседних углов параллелограмма пересекаются на большей стороне параллелограмма, если она в два раза больше меньшей стороны.

Биссектрисы соседних углов параллелограмма пересекаются внутри параллелограмма, если меньшая сторона больше половины большей стороны

Биссектрисы соседних углов параллелограмма пересекаются вне параллелограмма, если меньшая сторона меньше половины большей стороны

Биссектрисы соседних углов параллелограмма могут пересекать противоположную сторону или ее продолжение

Биссектрисы соседних углов параллелограмма равны и параллельны

Биссектрисы параллелограмма, пересекаясь, образуют прямоугольник.

Доказательства этих свойств я оформила в виде презентации, чтобы затем познакомить с ними других учащихся (Приложение. Презентация)

Изучая школьные учебники по геометрии авторов А.В. Погорелова, Л.С. Атанасяна, И.Ф. Шарыгина, я увидела, что как теоретический материал свойства биссектрис параллелограмма не встречаются, а даются как задачи на доказательство.

А это приводит к тому, что учащиеся не помнят сформулированные в них факты, так как повторяют пройденный материал по выделенным в учебнике формулировкам теорем, свойств геометрических фигур. А знание их очень полезно, так как значительно сокращает время, необходимое для решения задачи.

Формулировки некоторых из этих свойств я встретила позднее в сборниках олимпиадных задач, сборниках задач для подготовки к ЕГЭ, итоговой аттестации в 9 классе.

В книге И.Шарыгина “Математика для поступающих в ВУЗы” я познакомилась еще с одним свойством и его доказательством (стр.176):

Площадь четырехугольника, ограниченного биссектрисами параллелограмма, со сторонами a и b и углом ? , равна 1/2 (a-b)2sin ?.

Так же я встретилась с понятием “биссектриса внешнего угла параллелограмма” и свойства этих биссектрис. Они сформулированы в виде задач и приведены в разделе “Задачи”.

III. Практическая часть.

При рассмотрении данной темы меня постоянно мучил один вопрос: почему в учебниках геометрии так мало задач на применение свойств биссектрис параллелограмма, а в сборниках для подготовки к экзаменам их довольно много? За разъяснениями я обратилась к учителю математики Никитиной Г.И.

Введение в школьный курс новой формы экзамена, в форме ЕГЭ, приводит к тому , что у учащихся должно формироваться целостное представление о математике. Применить свои знания учащимся необходимо по двум предметам: алгебре и началам анализа и геометрии. Однако при подготовке к экзамену в форме ЕГЭ очень ярко видны пробелы изучения геометрии в школе. На экзаменах по математике задачи по геометрии являются самыми трудными заданиями. Задачи по геометрии требуют применения сведений из разных разделов курса планиметрии и стереометрии. Таким образом, для их решения нужно ориентироваться во всей совокупности знаний о свойствах рассматриваемой фигуры, которые могли изучаться в разных классах основной и старшей школы. Решение задач требует комплексного применения 2 – 3 геометрических фактов , свойств из разных разделов курса.

Кроме того задания, которые используются и на ЕГЭ и на вступительных экзаменах в вузы, состоят из задач в которых ситуация применения геометрических фактов не является для учащихся привычной и отработанной в ходе обучения. Проанализировав решение задач ЕГЭ, можно сказать, что в школе очень многое изучается как бы вскользь, чуть затрагивая свойство или теорему. Анализ решений задач привел к необходимости анализа школьных учебников и по такому аспекту, как построение теоретического материала. Работая и изучая школьные учебники по геометрии авторов А.В. Погорелова, Л.С. Атанасяна, И.Ф. Шарыгина, можно сказать, что в них к теоретическим фактам (теоремам) отнесены в основном только те утверждения, которые необходимы для построения теории. При этом многие утверждения, весьма полезные для решения большого числа задач, даются как задачи на доказательство. К таким теоретическим фактам (не приведенным в учебниках) можно отнести, например, свойства биссектрисы угла параллелограмма.

Биссектриса угла параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник.

В параллелограмме биссектрисы углов, прилежащих к одной стороне, перпендикулярны.

Так в учебнике под редакцией Л.С. Атанасяна приведена задача на выявление 1 свойства: Найдите периметр параллелограмма, если биссектриса одного из его углов делит сторону параллелограмма на отрезки 7 см и 14 см.

Аналогичная задача приведена в учебнике под редакцией А.В. Погорелова.

На формулировку 2 свойства в учебнике под ред. Л.С. Атанасяна приведена задача на доказательство: в параллелограмме, смежные стороны которого не равны, проведены биссектрисы углов. Докажите, что при их пересечении образуется прямоугольник.

В учебнике под редакцией А.В. Погорелова не приводятся задачи на применение этого свойства.

Аналогичная ситуация складывается и при подготовке к экзамену по геометрии в новой форме в 9 классе. Задачи на применение свойств биссектрисы параллелограмма в основном предлагаются во второй части работы.

Учитывая эти слова, я сделала следующее:

составила ряд несложных заданий для устного решения, которые предложила своим одноклассникам;

самостоятельно составила тестовую работу по теме “Биссектрисы параллелограмма”;

сделала подборку задач по данной теме из различных сборников для подготовки к экзаменам и сборников олимпиадных заданий;

решила самостоятельно те задачи, которые смогла, а более трудные попросила решить учеников 11 класса: им это тоже необходимо при подготовке к ЕГЭ.

Далее я провела эксперимент. Предложила ряд задач ученикам 9 класса. В основном они затруднились в решении их, так как не владели данными знаниями, а пытались каждый раз сначала доказать очевидные для меня теперь свойства. Я познакомила их с содержанием теоретической части моей работы и

несколько задач мы решили вместе. Затем я предложила им выполнить тестовую работу, которую составила сама. Результаты ее выполнения следующие:

выполнили полностью правильно – 7 чел. (63%)

сделали 8 заданий из 11 правильно – 3 чел. (27%)

сделали 5 заданий правильно – 1 чел. (9%).

Проделанная работа убедила меня в необходимости изучения данного вопроса более глубоко, чем это предложено в учебнике .

Рассмотрение вопроса о свойствах биссектрис параллелограмма позволило мне приобрести новые знания. Я увидела необходимость этих свойств для решения большого количества задач. В своей работе я не только сама сформулировала, доказала свойства, но и попыталась применить их к решению задач. Я думаю, что на следующий год этот материал будет необходим мне при подготовке к экзамену по геометрии. Буду рада, если другие ребята воспользуются им.

Атанасян Л.С. Геометрия 7-9 Учебник для общеобразоват.учреждений М..2002.

Безрукова Г.К. Геометрия. Тематические тренировочные задания ГИА 2009 М.,2009.

Глейзер Г.И. История математики в школе. М.,1983.

Денищева Л.О. ЕГЭ Универсальные материалы для подготовки учащихся М.2009.

Лысенко Ф.Ф. Математика ЕГЭ – 2009 Изд-во “Легион” 2009.

Свечников А. Путешествие в историю математики М., 1995.

Шарыгин И. Математика для поступающих в ВУЗы 1995.

Сборники олимпиадных заданий.

Приложение. Биссектрисы параллелограмма. Исследовательский проект

Параллелограмм

Определение 1. Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противоположные стороны параллельны.

На Рис.1 изображен параллелограмм поскольку ( small AB || CD, ;; AD || BC .)

Свойства параллелограмма

Свойство 1. В параллелограмме противоположные углы равны и противоположные стороны равны.

Доказательство. Рассмотрим параллелограмм ABCD (Рис.2).

Диагональ AC разделяют параллелограмм на два треугольника ACB и ACD. ( small angle 1=angle 2 ) поскольку эти углы накрест лежащие, при рассмотрении параллельных прямых AB и CD пересеченные секущей AC (см. теорему 1 статьи Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей). Аналогично ( small angle 3=angle 4 ), если рассмотреть параллельные прямые AD и BC пересеченные секущей AC. Тогда треугольники ACB и ACD равны по одной стороне и двум прилежащим углам: AC общая, ( small angle 1=angle 2 ), ( small angle 3=angle 4 ) (см. статью Треугольники. Признаки равенства треугольников). Поэтому ( small AB=CD, ;; AD=BC, ;; angle B=angle D. )

Из рисунка Рис.2 имеем: ( small angle A=angle 1+angle 3, ;; angle C=angle 2+angle 4. ) Учитывая, что ( small angle 1=angle 2 ) и ( small angle 3=angle 4 ), получим: ( small angle A=angle C. )

Свойство 2. Диагонали параллелограмма точкой пересечения разделяются пополам.

Доказательство. Рассмотрим параллелограмм ABCD (Рис.3) и пусть O точка пересечения диагоналей AC и BD. ( small angle 1=angle 2 ) поскольку эти углы накрест лежащие, при рассмотрении параллельных прямых AB и CD пересеченные секущей AC. ( small angle 3=angle 4 ), если рассмотреть параллельные прямые AB и CD пересеченные секущей BD. Поскольку в параллелограмме противоположные стороны равны: AB=CD (Свойство 1), то треугольники ABO и CDO равны по стороне и прилежашим двум углам. Тогда AO=OC и BO=OD.

Признаки параллелограмма

Признак 1. Если в четырехугольнике две стороны параллельны и равны, то этот четырехугольник является параллелограммом.

Доказательство. Рассмотрим параллелограмм ABCD. Пусть AB=CD и AB || CD. Проведем диагональ AC (Рис.4). Поскольку AB || CD, то ( small angle 1=angle 2 ) как накрест лежащие углы − при рассмотрении параллельных прямых AB и CD пересеченных секущей AC. Тогда треугольники ACB и ACD равны, по двум сторонам и углу между ними. Действительно, AB=CD, AC− общая сторона ( small angle 1=angle 2 ). Но тогда ( small angle 3=angle 4. ) Рассмотрим прямые AD и BC, пересеченные секущей AC. Поскольку ( small angle 3 ) и ( small angle 4 ) являются накрест лежашими углами, то по теореме 1 статьи Параллельные прямые. Признаки параллельности прямых, эти прямые параллельны. Таким образом, в четырехугольнике противоположные стороны попарно параллельны (AB || CD, AD || BC) и, значит, данный четырехугольник параллелограмм.

Признак 2. Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник является параллелограммом.

Доказательство. Рассмотрим параллелограмм ABCD (Рис.4). Проведем диагональ AC (Рис.4). Рассмотрим треугольники ACB и ACD. Эти треугольники равны по трем сторонам (см. статью Треугольники. Признаки равенства треугольников). Действительно. AC − общая для этих треугольников и по условию AB = CD, AD = BC. Тогда ( small angle 1=angle 2 ). Отсюда следует AB || CD. Имеем, AB = CD, AB || CD и по признаку 1 четырехугольник ABCD является параллелограммом.

Признак 3. Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения разделяются пополам, то данный четырехугольник − параллелограмм.

Доказательство. Рассмотрим четырехугольник ABCD (Рис.5). Пусть диагонали четырехугольника пересекаются в точке O и точкой пересечения делятся пополам:

Углы AOB и COD вертикальные, следовательно ( small angle AOB=angle COD ). Тогда треугольники AOB и COD равны по двум сторонам и углу меду ними:

,

Тогда AB = CD и ( small angle 1=angle 2 ). Но по признаку параллельности прямых следует, что AB || CD (теорема 1 статьи Параллельные прямые. Признаки параллельности прямых). Получили:

и, по признаку 1 четырехугольник ABCD − параллелограмм.

Читайте также:
Как построить высоту треугольника циркулем и угольником - алгоритм
Рейтинг
( Пока оценок нет )
Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Добавить комментарий

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: