Эквивалентные функции – формулы, примеры нахождения пределов

Применение эквивалентных функций при решении пределов

Метод решения

Применение эквивалентных функций позволяет упростить вычисление пределов. Если нам нужно вычислить предел дроби, то мы можем заменить множители в числителе и знаменателе эквивалентными функциями и вычислять предел от более простого выражения. Подчеркнем, что речь идет именно о множителях в дробях и произведениях. Замена эквивалентными функциями в других выражениях, например в суммах, может привести к неправильному результату. Однако, ошибки не будет, если выразить любую функцию в виде суммы эквивалентной ей функции и о малого (см. пример ⇓).

Все связанные с этим определения и теоремы приводятся на странице «О большое и о малое. Сравнение функций». Напомним некоторые из них.

Применяемые определения и теоремы

Определение эквивалентных функций
Функции f и g называются эквивалентными (асимптотически равными) при :
при ,
если на некоторой проколотой окрестности точки ,
при , причем
.

Если при , то ;
если , то .
При этом функцию называют главной частью при . См. теорему о связи эквивалентных функций с о малым

Теорема о замене функций эквивалентными в пределе частного
Если, при , и и существует предел
, то существует и предел
.
Доказательство

Отметим часто применяемое следствие этой теоремы. Пусть мы имеем частное, составленное из конечного произведения функций: . Тогда, при вычислении предела, эти функции можно заменить на эквивалентные:
,
где . Знак равенства означает, что если существует один из этих пределов, то существует и равный ему второй. Если не существует один из пределов, то не существует и второй.

Таблица эквивалентных функций

Далее приводится таблица функций, эквивалентных при . Здесь t может быть как переменной, так и бесконечно малой функцией при : ; .

Эквивалентность при Равенство при

Предостережение

Как указывалось в самом начале, производить замену функций эквивалентными можно только в множителях дробей и произведений, предел которых мы хотим найти. В других выражениях, например в суммах, делать такую замену нельзя.

В качестве примера рассмотрим следующий предел:
.
При . Но если заменить в числителе на x , то получим ошибку:
.
Ошибки не будет, если выразить синус через эквивалентную функцию и о малое, :
.
Поскольку и , то мы снова получили неопределенность 0/0 . Это указывает на то, что для вычисления этого предела применение эквивалентной функции не достаточно. Нужно применить другой метод.

Примеры

Все примеры Далее мы приводим подробные решения следующих пределов, упрощая вычисления с помощью эквивалентных функций.
⇓, ⇓, ⇓, ⇓.

Читайте также:
Как провести перпендикуляр к прямой - примеры чертежей

Пример 1

Из таблицы эквивалентных функций ⇑ имеем:
. Поскольку исходная функция является дробью и каждая из этих функций входит в нее в виде множителя в числителе или знаменателе, то заменим их на эквивалентные.
.

Пример 2

Из таблицы эквивалентных функций ⇑ находим:
.
Преобразуем квадрат логарифма:
.
Поскольку исходная функция является дробью и каждая из этих функций входит в нее в виде множителя в числителе или знаменателе, то заменим их на эквивалентные.
.

Пример 3

Здесь мы имеем неопределенность вида один в степени бесконечность. Приводим ее к неопределенности вида 0/0 . Для этого воспользуемся тем, что экспонента и натуральный логарифм являются взаимно обратными функциями.
.
Теперь в показателе экспоненты у нас неопределенность вида 0/0 .

Вычисляем предел:
.
Поскольку у нас дробь, то заменим некоторые множители в числителе и знаменателе эквивалентными функциями, пользуясь приведенной выше таблицей ⇑.
;
;

.

Поскольку экспонента непрерывна для всех значений аргумента, то по теореме о пределе непрерывной функции от функции имеем:
.

Пример 4

При . Выясним, к чему стремится . Поскольку здесь дробь, то заменим логарифм эквивалентной функцией: . Тогда
. Таким образом, мы имеем неопределенность вида ∞–∞ .

Преобразуем ее к неопределенности вида 0/0 . Для этого приводим дроби к общему знаменателю.
.
Здесь мы также воспользовались формулой . После преобразований, наш предел принимает следующий вид:
.

В знаменателе мы сразу можем заменить натуральный логарифм эквивалентной функцией, как это сделали выше:
.

В числителе имеется произведение двух множителей, каждый из которых тоже можно заменить эквивалентной функцией и, таким образом, упростить вычисления. В качестве эквивалентных, попробуем найти степенные функции:
.
Тогда . Считаем, что . Раскрываем неопределенность по правилу Лопиталя.
.
Если положить , то . Тогда
.
Тот же результат можно получить, применяя разложение в ряд Тейлора при :
.
Отсюда .

Найдем эквивалентную функцию для второго множителя, используя разложение в ряд Тейлора при :
.
Отсюда .

Теперь заменим множители эквивалентными функциями:
.

Примечание. Заметим, что делать замену функций на эквивалентные можно, только если функция, от которой ищется предел, является дробью или произведением. Тогда часть множителей в числителе или знаменателе можно заменить эквивалентными функциями. Так, если бы мы с самого начала заменили ln (1+x) на x, то получили бы ошибку.

Читайте также:
Число в нулевой степени - что это и как его вычислять

Использованная литература:
Л.Д. Кудрявцев, А.Д. Кутасов, В.И. Чехлов, М.И. Шабунин. Сборник задач по математическому анализу. Том 1. Москва, 2003.

Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 10-05-2019

Эквивалентные бесконечно малые, применение к нахождению пределов

Функции вида α ( x ) и β ( x ) называются бесконечно малыми, если значение x → x 0 , а lim x → x 0 α ( x ) = 0 и lim x → x 0 β ( x ) = 0 .

Функции вида α ( x ) и β ( x ) называются эквивалентно бесконечно малыми, если значение x → x 0 , а lim x → x 0 α ( x ) β ( x ) = 1 .

Для нахождения пределов используют замены эквивалентных бесконечно малых. Их проводят, основываясь на данных таблицы.

Таблица эквивалентных бесконечно малых

Когда имеем α ( x ) как бесконечно малую функцию со значением x → x 0 .

sin ( α ( x ) ) эквивалентна α ( x )
t g ( α ( x ) ) эквивалентна α ( x )
a r c sin ( α ( x ) ) эквивалентна α ( x )
a r c t g ( α ( x ) ) эквивалентна α ( x )
1 – cos ( α ( x ) ) эквивалентна α ( x ) 2 2
ln ( 1 + α ( x ) ) эквивалентна α ( x )
α α ( x ) – 1 эквивалентна α ( x ) ln α
1 + α ( x ) p – 1 эквивалентна p α ( x )
1 + α ( x ) 1 p – 1 эквивалентна α ( x ) p

Для доказательства эквивалентности основываются на равенстве lim x → x 0 α ( x ) β ( x ) = 1 .

Доказать эквивалентность бесконечно малых величин ln ( 1 + α ( x ) ) и α ( x ) .

Необходимо вычислить предел отношения данных величин lim x → x 0 ln ( 1 + α ( x ) ) α ( x ) .

При использовании одно свойства логарифмов, получаем, что

lim x → x 0 ln ( 1 + α ( x ) ) α ( x ) = 1 α ( x ) ln ( 1 + α ( x ) ) = ln ( 1 + α ( x ) ) 1 α ( x )

Запишем предел вида

lim x → x 0 ln ( 1 + α ( x ) ) α ( x ) = ln ( 1 + α ( x ) ) 1 α ( x )

Логарифмическая функция считается непрерывной на своей области определения, тогда необходимо применять свойство предела непрерывных функций, причем сменить знак перед предельным переходом и логарифмом. Получаем, что

lim x → x 0 ln ( 1 + α ( x ) ) α ( x ) = ln ( 1 + α ( x ) ) 1 α ( x ) = ln lim x → x 0 1 + α ( x ) 1 a ( x )

Необходимо произвести замену переменных t = α ( x ) . Имеем, что α ( x ) является бесконечно малой функцией с x → x 0 , тогда lim x → x 0 a ( x ) = 0 . Отсюда следует, что t → 0 .

Предел принимает вид

lim x → x 0 ln ( 1 + α ( x ) ) α ( x ) = ln ( 1 + α ( x ) ) 1 α ( x ) = ln lim x → x 0 1 + α ( x ) 1 a ( x ) = = ln lim t → 0 ( 1 + t ) 1 t = ln ( e ) = 1

Ответ: lim x → x 0 ln ( 1 + α ( x ) ) α ( x ) = 1

Получение 1 говорит о том, что заданные бесконечно малые функции эквивалентны. При последнем переходе применяли второй замечательный предел.

Таблица эквивалентных бесконечно малых необходима для ускорения процесса вычисления.

Вычислить предел функции lim x → 0 1 – cos 4 x 2 16 x 4 .

Производится подстановка значений

lim x → 0 1 – cos 4 x 2 16 x 4 = 1 – cos ( 4 · 0 2 ) 16 · 0 4 = ” open=” 0 0

Полученная неопределенность говорит о том, что функция бесконечно малая и для ее разрешения необходимо обратиться к таблице эквивалентных бесконечно малых. Тогда получаем, что функция 1 – cos α ( x ) является эквивалентной α ( x ) 2 2 , тогда имеем, что 1 – cos ( 4 x 2 ) является эквивалентной 4 x 2 2 2 .

Читайте также:
Как перевести десятичную дробь в обыкновенную - правило и примеры

После того, как была произведена замена бесконечно малой функции на ее эквивалентную, предел запишется так:

lim x → 0 1 – cos 4 x 2 16 x 4 = ” open=” 0 0 = lim x → 0 ( 4 x 2 ) 2 2 16 x 4 = lim x → 0 16 x 4 32 x 4 = 1 2

Без таблицы эквивалентных бесконечно малых не имели бы возможность воспользоваться правилом Лопиталя. Получаем, что

lim x → 0 1 – cos 4 x 2 16 x 4 = ” open=” 0 0 = lim x → 0 1 – cos ( 4 x 2 ) ‘ 16 x 4 ‘ = lim x → 0 8 x sin ( 4 x 2 ) 64 x 3 = = lim x → 0 sin ( 4 x 2 ) 8 x 2 = ” open=” 0 0 = lim x → 0 sin 4 x 2 ‘ 8 x 2 ‘ = lim x → 0 8 x cos ( 4 x 2 ) 16 x = 1 2 lim x → 0 cos ( 4 x 2 ) = 1 2

Можно было произвести преобразование функции с применением тригонометрических формул с применением первого замечательного предела. Запишем, что

lim x → 0 1 – cos ( 4 x 2 ) 16 x 4 = ” open=” 0 0 = lim x → 0 2 sin 2 ( 2 x 2 ) 16 x 4 = = lim x → 0 1 2 · sin ( 2 x 2 ) 2 x 2 · sin ( 2 x 2 ) 2 x 2 = 1 2 lim x → 0 sin ( 2 x 2 ) 2 x 2 · lim x → 0 sin ( 2 x 2 ) 2 x 2 = = п у с т ь t = 2 x 2 , t → 0 п р и x → 0 = 1 2 lim t → 0 sin ( t ) t · lim t → 0 sin ( t ) t = 1 2 · 1 · 1 = 1 2

Эквивалентные функции

  • Что такое эквивалентные функции
  • Эквивалентные функции и их применение к нахождению пределов
    • Свойства функций
    • Применяемые определения
    • Применяемые теоремы
  • Сравнение функций
    • Сравнение бесконечно малых функций
    • Сравнение бесконечно больших функций
  • Примеры решения пределов с помощью эквивалентных функций

Что такое эквивалентные функции

Эквивалентность — равнозначность в каком-либо отношении.

Эквивалентные функции позволяют облегчить процесс вычисления пределов с помощью замены множителей в примерах с дробями и произведениями.

Функции α(x) и β(x) называются эквивалентными при x→α, если ( lim_frac=1.)

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Данное определение применимо к бесконечно большим и малым функциям.

Эквивалентность обозначается знаком ∼, т.е. чтобы показать, что функции α(x) и β(x) эквивалентны, нужно оформить запись следующим образом: α(x)∼β(x)

Для удобства следует использовать специальную таблицу.

Эквивалентные функции и их применение к нахождению пределов

Свойства функций

Основные свойства бесконечно малых функций:

  1. (alphasimalpha,;(lim_)fracalphaalpha=1.)
  2. Если (alphasimbeta и betasimgamma, то alphasimgamma,;(lim_fracalphagamma=lim_(fracalphabetatimesfracbetagamma)=1times1=1).)
  3. Если (alphasimbeta и betasimgamma и betasimgamma, то (lim_fracbetaalpha=lim_frac1=1).)
  4. Если (alphasimalpha_1 и betasimbeta и lim_fracalphabeta=kappa, то и lim_frac=kappa или lim_fracalphabeta=lim_frac.)

Основные свойства эквивалентных бесконечно больших функций:

Применяемые определения

  1. Функции (alpha(x) и beta(x)) бесконечно малы при (xrightarrowalpha.)
  2. Если есть (lim_frac=Cneq0,;infty, то alpha(x) и beta(x)) бесконечно малые одного и того же порядка при (xrightarrowalpha )
  3. Если есть (lim_frac=0) , то (alpha(x)) — величина более высокого порядка малости, чем (beta(x)) при (xrightarrowalpha.)
  4. Если (notnilim_frac) , то бесконечно малые (alpha(x) и beta(x)) несравнимы при (xrightarrowalpha.)
  5. Суммой двух бесконечно больших функций при (xrightarrowalpha) является неопределенность.
  6. Произведением бесконечно большой функции и функции, имеющей в точке α конечный ненулевой предел, является бесконечно большая функция при (xrightarrowalpha.)

Данных определений будет достаточно для решения пределов с применением понятия эквивалентности.

Применяемые теоремы

Теорема 1 (о замене эквивалентными в произведении и отношении):

Если (alpha_1(x),;alpha_2(x),;beta_1(x),;beta_2(x)) являются бесконечно малыми при (xrightarrowalpha и alpha_1(x)simbeta_1(x),;alpha_2(x)simbeta_2(x)) при (xrightarrowalpha) , то

Теорема 2:

Для того чтобы бесконечно малые функции α(x) и β(x) были эквивалентными при (xrightarrowalpha) , нужно, чтобы при (xrightarrowalpha) выполнялось любое из равенств:

  • (alpha(x)-beta(x)=circ(alpha(x));)
  • (alpha(x)-beta(x)=circ(beta(x)).)
Теорема 3:

Разность двух эквивалентных бесконечно малых функций есть бесконечно малая функция более высокого порядка, чем каждая из них.

Верно и обратное утверждение.

Теорема 4:

Сумма конечного числа бесконечно малых функций разных порядков эквивалентна слагаемому низшего порядка.

Теорема 5 (о замене эквивалентных функций в пределах частного):

Сравнение функций

Сравнение бесконечно малых функций

  1. Если (lim_frac) есть конечное ненулевое число, то (alpha(x)) и (beta(x)) называются бесконечно малыми одного и того же порядка.
  2. Если (lim_frac) есть ноль, то (alpha(x)) по сравнению с (beta(x)) является бесконечно малой более высокого порядка при (xrightarrowalpha) , а (beta(x)) по сравнению с (alpha(x) ) — бесконечно малой меньшего порядка.
  3. Если (lim_frac) есть бесконечность, то (beta(x)) по сравнению с (alpha(x)) является бесконечно малой более высокого порядка при (xrightarrowalpha) , а (alpha(x)) по сравнению с (beta(x)) — бесконечно малой меньшего порядка.

Сравнение бесконечно больших функций

  1. Если (lim_frac) больше нуля и меньше бесконечности, то (alpha(x)) и (beta(x)) называются бесконечно большими одного и того же порядка.
  2. Если (lim_frac) есть бесконечность, то (alpha(x)) по сравнению с (beta(x)) является бесконечно большой более высокого порядка, при (xrightarrowalpha) . При этом (beta(x)) имеет меньший порядок роста.
  3. Если (lim_frac) есть ноль, то (beta(x)) по сравнению с (alpha(x)) является бесконечно большой более высокого порядка при (xrightarrowalpha.)
  4. Если (alpha(x) и beta^n(x)) являются бесконечно большими функциями одного и того же порядка, то функция (alpha(x)) по сравнению с (beta^n(x)) называется бесконечно большой n-ного порядка.

Примеры решения пределов с помощью эквивалентных функций

Воспользуемся таблицей эквивалентных функций.

Воспользуемся таблицей эквивалентных функций.

Произведем замену переменной

((x-mathrmpi)=y, где yrightarrow0, если xrightarrowmathrmpi)

Применим формулу приведения:

Воспользуемся таблицей эквивалентных функций.

09.5. Эквивалентные функции

В тех случаях, когда функциональная зависимость имеет довольно сложный вид, возникают большие трудности при изучении ее свойств. Простой просчет значений функции на ЭВМ порой может оказаться неосуществимым, так как даже современные ЭВМ допускают значительные погрешности в расчетах с очень большими или же малыми числами. Мы рассмотрим весьма интересный подход к изучению функциональных зависимостей, основанный на их замене более простыми функциями в окрестности некоторых предельных точек.

Будем говорить, что функции и ЭКВИВАЛЕНТНЫ в окрестности предельной точки (конечной или бесконечной), если найдется такая функция в окрестности этой предельной точки, что

,

Очевидно, новое определение обобщает данное ранее для бесконечно малых функций.

Данное условие не является необходимым. Проиллюстрируйте это примером.

Докажите эту теорему.

Теорема. Для эквивалентности функций и при достаточно, чтобы предел их отношения при был равен единице:

Рассмотрим пример. Пусть

То в качестве функции, эквивалентной данной при , может быть взята

Действительно .

Найдем, для каких x эквивалентная функция будет отличаться от данной менее чем на :

(9. 35)

Можно провести вычислительный эксперимент и достаточно точно определить, с каких x более сложную функцию

Допустимо заменить более простой

Сделаем приближенную оценку этих значений x, усиливая рассматриваемое неравенство (9.35):

Значения x, соответствующие неравенству

Тем более будет удовлетворять неравенству (9.35).

Поэтому искомые значения х определяются неравенством:

Положим, к примеру, что . Тогда

Что такое предел функции

В данной публикации мы рассмотрим одно из главных понятий математического анализа – предел функции: его определение, а также различные способы решения с практическими примерами.

  • Определение предела функции
  • Решение пределов
    • С заданным числом
    • С бесконечностью
    • С неопределенностью (икс стремится к бесконечности)
    • С неопределенностью (икс стремится к конкретному числу)

Определение предела функции

Предел функции – величина, к которой стремится значение данной функции при стремлении ее аргумента к предельной для области определения точке.

Запись предела:

  • предел обозначается значком lim;
  • под ним добавляется, к какому значению стремится аргумент (переменная) функции. Обычно, это x , но не обязательно, например: “ x →1″;

Таким образом, финальная запись предела выглядит выглядит так (в нашем случае):

Читается как “предел функции при икс, стремящемся к единице”.

x →1 – это значит, что “икс” последовательно принимает значения, которые бесконечно приближаются к единице, но никогда с ней не совпадут (ее не достигнут).

Решение пределов

С заданным числом

Давайте решим рассмотренный выше предел. Для этого просто подставляем единицу в функцию (т.к. x →1):

Таким образом, чтобы решить предел, сперва пробуем просто подставить заданное число в функцию под ним (если икс стремится к конкретному числу).

С бесконечностью

В данному случае аргумент функции бесконечно возрастает, то есть “икс” стремится к бесконечности (∞). Например:

Если x →∞, то заданная функция стремится к минус бесконечности (-∞), т.к.:

  • 3 – 1 = 2
  • 3 – 10 = -7
  • 3 – 100 = -97
  • 3 – 1000 – 997 и т.д.

Другой более сложный пример

Для того, чтобы решить этот предел, также, просто увеличиваем значения x и смотрим на “поведение” функции при этом.

Таким образом при “икс”, стремящемся к бесконечности, функция неограниченно растет.

С неопределенностью (икс стремится к бесконечности)

В данном случае речь идет про пределы, когда функция – это дробь, числитель и знаменатель которой представляют собой многочлены. При этом “икс” стремится к бесконечности.

Пример: давайте вычислим предел ниже.

Выражения и в числителе, и а знаменателе стремятся к бесконечности. Можно предположить, что в таком случае решение будет таким:

Однако не все так просто. Чтобы решить предел нам нужно сделать следующее:

1. Находим x в старшей степени для числителя (в нашем случае – это два).

2. Аналогичным образом определяем x в старшей степени для знаменателя (тоже равняется двум).

3. Теперь делим и числитель, и знаменатель на x в старшей степени. В нашем случае в обоих случаях – во второй, но если бы они были разные, следовало бы взять наибольшую степень.

4. В получившемся результате все дроби стремятся к нулю, следовательно ответ равен 1/2.

С неопределенностью (икс стремится к конкретному числу)

И в числителе, и в знаменателе представлены многочлены, однако, “икс” стремится к конкретному числу, а не к бесконечности.

В данном случае условно закрываем глаза на то, что в знаменателе стоит ноль.

Пример: Найдем предел функции ниже.

1. Для начала подставим в функцию число 1, к которому стремится “икс”. Получаем неопределенность рассматриваемого нами вида.

2. Далее раскладываем числитель и знаменатель на множители. Для этого можно воспользоваться формулами сокращенного умножения, если они подходят, или решить квадратное уравнение.

В нашем случаем корнями выражения в числителе () являются числа 1 и 1,5. Следовательно его можно представить в виде: .

Знаменатель () изначально является простым.

3. Получаем вот такой видоизмененный предел:

4. Дробь можно сократить на ():

5. Остается только подставить число 1 в выражение, получившееся под пределом:

Предел функции.

Предел функции – число a будет пределом некоторой изменяемой величины, если в процессе своего изменения эта переменная величина неограниченно приближается к a.

Или другими словами, число A является пределом функции y = f (x) в точке x, если для всякой последовательности точек из области определения функции, не равных x, и которая сходится к точке x (lim xn = x0), последовательность соответствующих значений функции сходится к числу A.

График функции, предел которой при аргументе, который стремится к бесконечности, равен L:

Предел функции по Гейне.

Значение А является пределом (предельным значением) функции f (x) в точке x в случае, если для всякой последовательности точек , которая сходится к x, но которая не содержит x как один из своих элементов (т.е. в проколотой окрестности x), последовательность значений функции сходится к A.

Предел функции по Коши.

Значение A будет являться пределом функции f (x) в точке x в случае, если для всякого вперёд взятого неотрицательного числа ε будет найдено соответствующее ему неотрицательно число δ = δ(ε) такое, что для каждого аргумента x, удовлетворяющего условию 0 3 , выносим в числителе и знаменателе его за скобки и далее сокращаем на него:

Ответ

Необходимо рассчитать предел

Первым шагом в нахождении этого предела, подставим значение 1 вместо x, в результате чего имеем неопределенность . Для её решения разложим числитель на множители, сделаем это методом нахождения корней квадратного уравнения x 2 + 2x – 3:

Таким образом, числитель будет таким:

Далее сокращаем числитель и знаменатель на (x – 1):

Ответ

Решение пределов функции.

Решение пределов функции – это определение его конкретного значения или определенной области, куда попадает функция, которая ограничена пределом.

Чтобы решить пределы, следуйте правилам:

  1. Пробуем подставить в функцию число, результат решения и будет ответом.
  2. Если х стремится не к числу, например в пределах вида или , то такие пределы решаются сразу, так как число, деленное на бесконечность, всегда дает 0, а деленное на нуль это и есть . Если вам сложно понять саму суть бесконечности и нуля в пределах, то подставляйте вместо – бесконечно большое число – к примеру 1000 000, либо вместо нуля – бесконечно малое – например 0,000001 и после этого можете предположить к чему стремится ответ.
  3. Существует группа пределов, в которых и в числитель, и в знаменатель при подстановке получаем либо нуль либо . Это т.н. пределы с неопределенностью, часть из которых замечательные.

Разобравшись в сути и основных правилах решения предела, вы получите базовое понятие о том, как их решать.

Формулы. Равенство функций и эквивалентность формул. Основные эквивалентности

Формулы. Равенство функций и эквивалентность формул. Основные эквивалентности
  1. Услуги проектирования
  2. Алгебра логики [Г.И. Просветов, Е.А. Фоминых, Ф.Г. Кораблёв]
  3. Формулы. Равенство функций и эквивалентность формул. Основные эквивалентности

Формулы. Равенство функций и эквивалентность формул. Основные эквивалентности

Формулы. Как и в анализе, исходя из элементарных функций, можно строить формулы.

Определение. Пусть $F$ — некоторое < не обязательно конечное >подмножество функций из $P_2$

а) Базис индукции. Каждая функция $f(x_1, x_2. x_n)$ из $F$ называется формулой над $F$.

б) Индуктивный переход. Пусть $f_0(x_1, . x_n)$ — функция из $F$ и $A1. An$ — выражения, являющиеся либо формулами над $F$, либо символами переменных из алфавита $U$. Тогда выражение $f_0(A_1, . A_n)$ называется формулой над $F$.

Замечание. В дальнейшем будем обозначать формулы заглавными готическими буквами (mathfrak < M >, mathfrak < N >), а системы функций — заглавными каллиграфическими буквами $(A, B, F)$.

Пример 1.1. Пусть $F$ — множество элементарных функций. Следующие выражения являются формулами над $F$:

1) $((x_1x_2) + x_1) rightarrow x_2$;

2) $ bar < x_1 >(x_2 vee x_3)$;

Сопоставим теперь каждой формуле $mathfrak < M >$ над $F$ функцию из $P_2$, опираясь на индуктивное определение формул.

а) Базис индукции. Если $mathfrak < M >= f(x_1 . x_n)$, где $f in F$, то формуле $mathfrak < M >$ сопоставим функцию $f(x_1 . x_n)$.

б) Индуктивный переход. Пусть $mathfrak < M >= f_0(A_1 . A_n)$, гдe $A_1 . A_n$ — выражения, являющиеся либо формулами над $F$, либо символами переменных из алфавита $U$. Тогда по предположению индукции каждому $A_i$ сопоставлена либо функция $f_i$ из $P_2$, либо тождественная функция $f_i = x_s$. Сопоставим формуле $mathfrak < M >$ функцию $f(x_1 . x_n) = f_0(f_1 . f_n)$.

Пример 1.2. Формула $((x_1x_2) + x_1)rightarrow x_2$, строится за три шага. Мы имеем следующие подформулы:

$((x_1x_2) + x_1, ((x_1x_2) + x_1)rightarrow x_2$

$x_1$ $x_2$ $x_1x_2$ $(x_1x_2)+x_1$ $((x_1x_2)+x_1)rightarrow x_2$
1
1 1
1 1
1 1 1 1

Таблица 4. Построение таблицы функции, заданной формулой $((x_1x_2) + x_1)rightarrow x_2$

Равенство функций и эквивалентность формул

Введенное понятие функции не позволяет рассматривать функции от меньшего числа аргументов как функции от большего числа аргументов.

Определение. Функция $f(x_1. x_ < i—1 >,x_i,x_ < i+1 >. ,x_n)$ из $P_2$ существенно зависит от переменной $x_i$, если существуют такие значения $alpha ,1. alpha_ < i—1 >, alpha_ < i+1 >. alpha_n$ переменных $x_1. x_ < i—1 >, x_ < i+1 >. x_n$, что

$f(alpha_1. alpha_ < i-1 >,0,alpha_ < i+1 >. alpha_n) neq f(alpha_1. alpha_ < i-1 >,1,alpha_ < i+1 >. alpha_n)$.

В этом случае переменная $x_i$ называется существенной. Если $x_i$ не является существенной переменной, то она называется фиктивной.

Пусть для функции $f(x_1. x_n)$ перемениая $x_i$ является фиктивной. По таблице функции $f(x_1. ,x_n)$ построим новую таблицу, вычеркивая все строки вида $(alpha_1. alpha_ < i-1 >,1,alpha_ < i+1 >. alpha_n)$ и вычеркивая столбец переменной $x_i$. Полученная таблица определяет некоторую функцию $g(x_1. x_ < i—1 >,x_ < i+1 >. x_n)$. Будем говорить, что функция $g$ получена из $f$ путем удаления фиктивной переменной $x_i$ а также, что функция $f$ получается из $g$ путем введения фиктивной переменной $x_i$.

Определение. Функции $f_1$ и $f_2$ называются равными, если функцию $f_2$ можно получить из $f_1$ путем введения и удаления фиктивных переменных.

Напомним, что каждой формуле над $F$ соответствует функция алгебры логики, причем различным формулам могут соответствовать равные функции.

Определение. Формулы $mathfrak < M >$ и $mathfrak < N >$ над $F$ называются эквивалентными, если соответствующие им функции равны. Записи $mathfrak < M >$ = $mathfrak < N >$ будет означатв, что формулы $mathfrak < M >$ и $mathfrak < N >$ эквивалентны.

Пример 1.3. $xbar < x >= 0$

Приведем список основных эквивалентностей, характеризующих некоторые свойства элементарных функций. Обозначим через $x_icirc x_2$ любую из функций $x_1wedge x_2$, $x_1vee x_2$, $x_1 + x_2$.

  1. Ассоциативность. $(x_1circ x_2)circ x_3 = x_1circ (x_2circ x_3)$.
  2. Коммутативность. $x_1circ x_2 = x_2circ x_1$.
  3. Дистрибутивность. $x_1wedge(x_2vee x_3) = (x_1wedge x_2) vee (x_1wedge x_3)$, $x_1vee (x_2 wedge x_3) = (x_1 vee x_2) wedge (x_1 vee x_3)$, $x_1 wedge (x_2 + x_3) = (x_1 wedge x_2) + (x_1 wedge x_3)$.
  4. Правила де Моргана. $overline < x_1 wedge x_2 >= bar < x_1 >vee bar < x_2 >$, $overline < x_1 vee x_2 >= bar < x_1 >wedge bar < x_2 >$.
  5. $0 = x wedge bar < x >= x wedge 0 = x + x$, $1 = x vee bar < x >= x vee 1 = x sim x$, $x = bar < bar < x >> = x wedge x = x vee x = x wedge 1 = x vee 0$, $bar < x >= x + 1, x_1 sim x_2 = overline < x_1 + x_2 >$, $x_1 rightarrow x_2 = bar < x_1 >vee x_2$.

Замечание. С целью упрощения записи формул мы условимся, что конъюнкция сильнее других элементарных функций. Более того, знак конъюнкции можно не писать. Например, записи $x_1x_2 vee x_3$ означает $(x_1 wedge x_2) vee x_3$.

Замечание. Очевидно, что если $mathfrak < M >$ — подформула формулы $mathfrak < M >$ и если заменитв любое из ее вхождений на эквивалентную формулу $mathfrak < N >$, то формула $mathfrak < M >$ перейдет в формулу $mathfrak < N >$, которая будет эквивалентна $mathfrak < M >$.

Пример 1.4. $x_1 vee x_1 x_2 = x_1 wedge 1 vee x_1x_2 = x_1(1 vee x_2) = x_1 wedge 1 = x_1$.

Далее:

Теорема о предполных классах

Несобственные интегралы от неограниченной функции

Криволинейный интеграл первого рода

Полином Жегалкина. Теорема о представлении в виде полинома Жегалкина

Вычисление объёмов

Равносильные формулы алгебры высказываний

Скалярное поле, производная по направлению, градиент

Вычисление поверхностного интеграла второго рода

Полином Жегалкина. Пример.

Вычисление площади поверхности

Поверхностный интеграл первого рода и его свойства

Критерий полноты <формулировка>. Лемма о нелинейной функции

Инвариантное определение дивергенции

Механические приложения двойного интеграла

Несобственные интегралы по неограниченной области

Огравление $Rightarrow $

Рейтинг
( Пока оценок нет )
Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Добавить комментарий

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: