Как можно построить биссектрису угла с помощью циркуля и линейки? Помощник для школьников

Как можно построить биссектрису угла с помощью циркуля и линейки?

Луч, который исходит из вершины угла и делит его на 2 равные части, называется биссектриса. Построить её с помощью циркуля намного проще, чем с транспортиром, линейкой или какой-либо иной школьной принадлежностью. Для этого достаточно внимательно изучить правильную последовательность действий, аккуратно наносить линии и окружности, а также учитывать полезные рекомендации математиков.

Процесс построения

Биссектриса (лат. bisectio) представляет собой геометрическое место точек внутри угла (острый, прямой или тупой), которые одинаково удалены от обеих его сторон.

Для её построения нужно подготовить различные школьные принадлежности и выполнить несколько простых действий.

Подготовительный этап

Чтобы быстро найти биссектрису треугольника с помощью циркуля, нужно провести тщательную подготовку. Она заключается в поиске школьных принадлежностей, которые будут использоваться при построении.

Необходимые предметы:

простой карандаш;
линейка;
ластик;
циркуль;
лист бумаги.

Порядок действий

Нарисовать луч, разделяющий пополам угол, можно при помощи транспортира. Однако если этой школьной принадлежности нет в наличии, заменить её сможет обыкновенный циркуль.

Быстрый способ:

На листе бумаги рисуют 2 пересекающиеся линии.

Чтобы построить биссектрису данного угла, в его вершину ставят ножку циркуля и чертят окружность произвольного радиуса.

Отмечают точками места пересечения сторон угла с окружностью.

На них поочерёдно ставят циркуль и, не меняя радиус, рисуют 2 дуги.

Находят и отмечают место их пересечения.

Стирают дуги ластиком, чтобы они не мешали дальнейшей работе.

С помощью линейки и простого карандаша проводят искомый отрезок, соединяющий вершину угла с точкой пересечения дуг.

С помощью циркуля можно легко найти биссектрису треугольника (всякого). Для этого понадобится стандартный набор школьных принадлежностей и наличие базовых знаний геометрии.

Порядок действий:

Любым известным способом вписывают окружность в треугольник.

С помощью карандаша и линейки из её центра проводят линии к каждой вершине.

Полученные отрезки станут частью искомого луча.

Альтернативный вариант

Если у ученика нет циркуля, то начертить луч, разделяющий угол пополам, можно и без этой школьной принадлежности. Для работы понадобится линейка, карандаш и транспортир.

Правильная последовательность действий:

Нулевое значение на шкале прикладывают к вершине.

Совмещают линейку транспортира с одним из лучей и определяют величину угла.

Полученное значение делят пополам.

Затем заново прикладывают транспортир и откладывают величину, полученную в результате расчётов.

Через эту точку и вершину проводят отрезок, который будет являться искомым лучом.

Полезные советы

В некоторых случаях для нахождения не нужно использовать транспортир и циркуль. Это возможно только тогда, когда нужно определить расположение биссектрисы в треугольнике.

Полезные рекомендации:

Биссектриса всегда разделяет противолежащую сторону треугольника в отношении, равном пропорции 2 других сторон геометрической фигуры.

В равнобедренном треугольнике биссектрисы всегда пересекаются под прямым углом.

Если треугольник равносторонний, то все биссектрисы будут параллельны противоположным сторонам. При этом длина образованных отрезков будет одинаковой.

Построить биссектрису угла с помощью циркуля сможет даже двоечник. Для этого ему понадобится минимум времени, знаний и усилий. Подробно изучив порядок действий, каждый учащийся сможет легко поделить любой угол пополам и объяснить этот процесс одноклассникам.

Презентация на тему “Построение биссектрисы угла”

наглядное пособие для изучение темы “Построение биссектрисы угла”

Содержимое разработки

Построение биссектрисы угла с помощью циркуля и линейки

ПОДГОТОВИЛА учитель математики МБОУ Долботовская СОШ Хатненок А.Ю.

В геометрии важную роль играет треугольник и его элементы. Мы уже умеем строить отрезок, равный данному, угол, равный данному, значит, сможем построить отрезки и углы, равные сторонам и углам данного треугольника. Изучив построение биссектрисы угла, сможем построить биссектрису треугольника.

Задание 1. Постройте угол, равный 60  , и с помощью транспортира постройте его биссектрису. Сформулируйте определение биссектрисы угла.

Биссектрисой угла называется луч, который исходит из вершины угла, проходит между его сторонами и делит угол пополам

Задание 2. Постройте угол, равный 60  . Постройте с помощью циркуля и линейки биссектрису этого угла.

а) построим окружность произвольного радиуса с центром в вершине угла и отметим точки пересечения этой окружности со сторонами угла.

Задание 2. Постройте угол, равный 60  . Постройте с помощью циркуля и линейки биссектрису этого угла.

б) построим две окружности с тем же радиусом, но с центрами в полученных точках на сторонах угла и отметим точку их пересечения.

Задание 2. Постройте угол, равный 60  . Постройте с помощью циркуля и линейки биссектрису этого угла.

в) из вершины угла через полученную точку строим луч.

Проверим с помощью транспортира, что построенный луч является биссектрисой угла.

Вывод: мы нашли способ построения биссектрисы угла с помощью циркуля и линейки.

Задание 3. Постройте угол, равный 60  , и с помощью циркуля и линейки постройте биссектрису этого угла, изменив радиусы вспомогательных окружностей.

Проверьте с помощью транспортира , правильно ли построена биссектриса.

Повторим этапы построения:

Случайно ли получилось, что АD является биссектрисой угла? Проведем доказательство того, что, работая по тому же алгоритму, всегда получим биссектрису угла.

– В каком случае луч является биссектрисой угла?

-Чтобы АD была биссектрисой, равенство каких углов необходимо доказать?

– Как обычно доказывают равенство углов?

– Какие треугольники можно рассмотреть?

Вернемся к каждому шагу построения и посмотрим, какую информацию об этих треугольниках мы можем получить.

– Итак, в нужных треугольниках мы нашли две пары равных элементов. А для равенства треугольников их нужно три. Посмотрим на чертеж, какое условие о нужных нам треугольниках можем выделить?

– Что мы делали на первом шаге и равенство каких элементов треугольников можем отметить?

-Что делали на втором шаге и равенство каких элементов треугольников можно отметить?

Рассмотрим  BAD и  DAC

 BAD=  DAC (по трем сторонам).

Значит,  BAD=  DAC  AD – биссектриса угла A.

Мы построили биссектрису угла с помощью циркуля и линейки и доказали правильность построений. Повторим алгоритм построения биссектрисы угла.

Алгоритм построения биссектрисы угла:

1. построить окружность произвольного радиуса с центром в вершине угла и отметить точки пересечения этой окружности со сторонами угла;

2. построить две окружности с тем же радиусом, но с центрами в полученных точках на сторонах угла и отметить точку их пересечения.

3. из вершины угла через полученную точку построить луч. Этот луч и будет биссектрисой угла.

– Обязательно ли на втором шаге строить окружности тем же радиусом, что и первую?

– Обязательно ли на втором шаге строить окружности одним и тем же радиусом?

– На чем основано доказательство того, что построение выполнено правильно?

– Какой третий элемент в треугольниках выделяли для равенства треугольников?

Ученику требовалось построить биссектрису угла B. Опишите последовательность его действий.

Как построить с помощью циркуля высоту треугольника, медиану, биссектрису?

Как построить с помощью циркуля высоту треугольника, медиану, биссектрису ?

Что касается высоты треугольника, то её можно построить, например, так: строим окружность циркулем, далееотмечаем точки пересечения окружностей с треугольником по прямой от его стороны, из этих точек проводим по окружности ещё. Находим точку пересечения и проводим прямую от вершины:

ВG – здесь высота.

Что касается бссектрисы, то она делит угол в трегольнике пополам, поэтому можно рассмотреть бессиктрису для угла, аналогично она строитя будет и в треугольнике, а вот алгоритм построения:

Бессиктриса здесь АD.

Теперь о медиане:

В таком заданном треугольнике как АВС будем строить медиану, которая падает из угла С в треугольнике на сторону АВ. Сут в том, что потребуется при помощи циркуля разбить сторону АВ на две равные части:

CD здесь медиана.

Итак, рассмотрим по порядку. Для начала построим медиану с помощью циркуля. У нас есть треугольника АСВ. Из точки А и В построим две окружности с таким радиусом, чтобы окружности пересеклись.

Точки пересечения окружностей назовем Р и Q. Теперь проводим прямую через эти точки. Прямая пересекается с АВ в точке D. CD будет медианой.

Теперь рассмотрим, как найти высоту в треугольнике. У нас треугольник АВС. Строим зеленую окружность, которая пересекает сторону АС в точке D и E (на рисунке точка Е не лежит на стороне АС). Далее строим синие окружности центром которых будут точки Е и D. ВQ здесь будет высотой.

Осталось рассмотреть только, как построить биссектрису. У нас есть треугольник АСВ. Из точки А строим окружность, которая будет пресекаться со стороной АС в точке N и со стороной АВ в точке М. Далее строим из точки N и М радиусом NM. Внутри треугольника окружности пересекутся в точке Х. Проводим прямую через точки АХ. АZ будет биссектрисой.

Давайте начнем с высоты.

Ниже дан для примера треугольник. Берем циркуль, проводим две окружности:

первая с центром в точке А, радиус круга равен стороне АС;
вторая с центром в точке В, радиус круга – и есть сторона СВ.

Далее нам нужно начертить зеркальный вариант искомого треугольника (я начертила его красным цветом). Останется только соединить вершины нашего нового треугольника с точкой С (отмечено желтым цветом). Высота треугольника найдена, все лишнее можно стереть.

Также нужно начертить циркулем две окружности, но сделать это нужно так, чтобы они в итоге заходили друг на друга. То есть делайте радиус таким, чтобы он был больше половины отрезка АВ.

Наши окружности пересеклись друг с другом в двух точках, соединяем их. Точка М – это середина АВ, нужно соединить ее с вершиной С – это и есть медиана.

Теперь осталась биссектриса (чертила сама, не судите строго).

Итак, чертим произвольную окружность с вершиной В в качестве ее центра (предположим, что именно биссектрису угла АВС нужно найти).

Окружность пересеклась со сторонами в точках М и Р. Из этих двух точек нужно провести еще две окружности. Радиус этих окружностей для наглядности сделайте чуть больше, чем отрезок МВ и ВР соответственно.

Эти две последние окружности пересеклись в точке Е. Соедините ее с В – вот и биссектриса.

Для того ,чтобы в треугольнике АВС провести из вершины В высоту ВН на стороны АС , то для этого нужно восстановить перпендикуляр к стороне АС из вершины В.И самый простой способ для этого это провести медиану в равнобедренном треугольнике АВС1 , где АВ = ВС1.Для получения точки С1 проведём циркулем из т.В засечку на АС раствором циркуля АВ=ВС1.с помощью циркуля найдём середину АС ,проведя раствором циркуля более половины АС1 полуокружности из точек А и С1 до пересечения.Места пересечек соединим , и получим на АС1 точку Н -середину АС1. Соединим точку Н с В , получим высоту треугольника ВН.

Построение медианы.Для этого находим середину стороны АС описанным выше способом.Получив точку М – середину АС , соединим М с В , МВ- медиана.

Биссектриса.Для построения нужно поделить угол

Вспоминаем, что такое медиана, биссектриса и высота треугольника. Прежде всего это отрезки или лучи.

Медиана соединяет любую вершину с точкой-серединой стороны противоположной.

Биссектриса делит угол пополам, это луч.

Мы имеем треугольник, циркуль и по умолчанию линейку, которой и будем чертить прямые.

Для построения медианы, мы делим отрезок пополам, для этого проводим полуокружности одного радиуса из двух точек, соединяем точки пересечения их и находим точку пересечения со стороной треугольника, соединяем с противоположной вершиной. Готово.

Чтобы построить биссектрису, мы из угла чертим окружность, из 2-х точек пересечения со сторонами чертим еще 2 дуги или полуокружности одного радиуса, получаем точку пересечения. Эту точку соединяем с вершиной угла. На рисунке АЕ соединяем и получаем биссектрису.

Построим высоту следующим образом. Чертим окружности АС и СВ, где радиусы равны сторонам, находим точку пересечения и соединяем. СМ – высота.

Треугольник АВС. В – вершина. АС – основание.

Высота. Нужно из точки А провести дугу радиусом АВ, из точки С дугу радиусом ВС. Получится точка пересечения за пределами треугольника. Через эту точку из точки В чертим линию до основания.

Биссектриса. Чертим дугу с центром В так, чтобы дуга пересекла стороны АВ и ВС, на сторонах получаем две промежуточные точки, из которых проводим две дуги с равным радиусом, который несколько больше половины основания, соединяем точку пересечения с В.

Медиана. Из точек А и С проводим две дуги радиусом несколько больше половины основания, две полученные точки соединяем, линия пересекает основание в середине. Среднюю точку соединяем с точкой В.

Такие действия можно провести с любым углом и стороной.

Одного циркуля мало, нужна еще линейка.

Теперь представим, что перед нами треугольник с вершиной А и основанием ВС. Берем циркуль, устанавливаем его иглой в точке В. Проходим круг так, чтобы он проходил через вершину А. Тоже самое делаем с точкой С. Получаем две окружности, которые пересекаются в двух точках, соединяем их линией. Так мы получили высоту.

Так мы найдем медиану:

Проводим также из точек В и С две окружности (обозначения взяты из предыдущего примера), но уже произвольные, так, чтобы они также пересекались в двух местах, точки пересечения соединяем, берем ту точку, которая у нас таким образом образовалась на основании (на рисунке это точка М), соединяем ее с вершиной.

Биссектриса находится путем черчения трех окружностей: первая – с центром в вершине А, вторые две – с центром в тех точках, которые получились в результате черчения первой окружности. Нижнюю точку пересечения этих двух окружностей соединяем с вершиной.

Самое простое – это медиана. Находим с помощью циркуля середину противоположной стороны угла. Равным раствором циркуля, чуть большим предполагаемой середины рисуем окружности из вершин треугольника. Соединяем две точки пересечения окружностей. Пересечение этой линии со стороной – середина. Соединяем вершину треугольника с сединой противоположной стороны и получает медиану.

Биссектриса. Из вершины треугольника чертим две окружности одинакового раствора циркуля, из точек пересечения со сторонами треугольника чертим еще две окружности и соединяем вершину с точкой пересечения последних окружностей.

А вот найти высоту задача поинтересней. Я бы ее решила так. Построила бы внутри нашего треугольника равнобедренный и соединила бы середину стороны нового треугольника с вершиной из которой нам надо опустить высоту.

Мне очень сложно правильно словами описать весь процесс построения, поэтому легче к словам прикрепить схему, как это делается.

1) Рисуем медиану.

Для этого из точки А произвольным радиусом рисуем окружность. Не меняя радиуса строим окружность из точки С. Соединяем две точки пересечений окружностей. Их той точки, где пересекает отрезок треугольника, рисуем биссектрису.

2) Рисуем биссектрису.

Из точки А треугольника рисуем циркулем произвольный радиус. Отмечаем точки окружности пересечения окружности с треугольником. Теперь в одной из этих точек строим снова циркулем произвольную окружность. Из другой точки рисуем окружность этим же радиусом. Смотрим пересечение этих двух окружностей. Рисуем биссектрису.

3) А вот так можно при помощи циркуля рисовать высоту.

Вспоминаем, что такое высота, это перпендикуляр, проходящий через один из углов треугольника и противоположную сторону. Построить с помощью циркуля очень легко, смотрим на рисунок:

Проводим циркулем окружность с радиусом равным стороне ВС и центром в точке В, а затем окружность с радиусом АС и центром в точке А. Две точки пересечения этих окружностей как раз и лежать на нужной нам высоте, проводим высоту через эти две точки.

В построении медианы тоже нет ничего сложного, нам нужно просто определить с помощью циркуля середину стороны треугольника АВ:

Для этого чертим две окружности, одну с центром в точке А, другую с центром в точке В, окружности должны иметь такие радиусы, чтобы находить друг на друга, две точки пересечения дадут нам прямую, которая пересечет сторону треугольника АВ в ее середине, пусть это будет точка М. Теперь соединяем эту точку М и вершину треугольника С, получим медиану СМ.

А теперь построим биссектрису треугольника, то есть биссектрису одного из углов треугольника, смотрим на рисунок:

Сначала чертим окружность с центром в вершине угла А произвольного радиуса, точки пересечения этой окружности со сторонами треугольника, прилегающими к вершине А обозначим – В и С. Теперь чертим окружности с центрами в этих точках – В и С, они пересекутся в точке D? через эту точку и вершину угла А и проводим биссектрису угла А.

Задачи на построение циркулем и линейкой с примерами решения

Содержание:

Задача 1 (построение угла, равного данному)
Задача 2 (построение серединного перпендикуляра к отрезку)
Задача 3 (построение биссектрисы угла)
Построение треугольника по трем элементам
Задача 4 (построение треугольника по двум сторонам и углу между ними)
Задача 5 (построение треугольника по стороне и двум прилежащим к ней углам)
Задача 6 (построение треугольника по трем сторонам)

Основные задачи на построение циркулем и линейкой:

В данном параграфе рассмотрим вопрос о построении геометрических фигур. Вы уже знаете, что геометрические построения можно осуществлять с помощью масштабной линейки, циркуля, транспортира и чертежного угольника. В то же время оказывается, что многие геометрические фигуры можно построить, пользуясь только циркулем и линейкой без масштабных делений.

При построении геометрических фигур с помощью циркуля и линейки без масштабных делений учитывается, что:

с помощью линейки можно провести произвольную прямую, а также построить прямую, проходящую через две точки;
с помощью циркуля можно провести окружность произвольного радиуса, а также построить окружность с центром в данной точке и радиусом, равным данному отрезку.

Теперь рассмотрим основные задачи на построение циркулем и линейкой: построение угла, равного данному, построение серединного перпендикуляра к отрезку, построение биссектрисы угла.

Задача 1 (построение угла, равного данному)

От данного луча OF отложите угол, равный данному углу ABC.

Предположим, что угол DOF, удовлетворяющий условию задачи, построен (рис. 130, а).

Пусть

1) Строим окружность (В, R) , где R — произвольный радиус, и отмечаем точки А₁ и С₁ пересечения ее со сторонами угла ABC.

2) Строим окружность (0, R) с центром в точке О того же радиуса R и отмечаем ее точку пересечения F₁ с лучом OF.

3) Строим окружность (F₁, A₁C₁).

4) Пусть D₁ — одна из точек пересечения окружностей (0, R) и (F₁, A₁C₁) (рис. 130, б). Тогда угол D₁OF — искомый. Докажем, что D₁OF =ABC.

Равенство D₁OF =ABC следует из равенства треугольников А₁ВС₁ и D₁OF₁. Действительно, по построению А₁В = D₁O = С₁В = F₁O. Кроме того, по построению F₁D₁ = А₁С₁, следовательно, треугольники А₁ВС₁ и D₁OF₁ равны по трем сторонам. Отсюда следует, что D₁OF =А₁ВС₁, т. е. построенный угол D₁OF равен данному углу ABC.

Задача 2 (построение серединного перпендикуляра к отрезку)

Постройте серединный перпендикуляр к данному отрезку АВ.

Проведем рассуждения, которые помогут осуществить необходимое построение. Предположим, что серединный перпендикуляр а к отрезку АВ построен (рис. 131, а). Пусть точки F и D лежат на серединном перпендикуляре так, что OF = OD. Прямоугольные треугольники FOB и DOB равны по двум катетам, следовательно, BF = BD. Иначе говоря, точки F и D лежат на окружности (B, BF) и BF > ОВ. Аналогично AF =AD, так как треугольник FOA равен треугольнику DOA. Кроме того, легко увидеть, что AF = BF. Таким образом, точки F и D лежат также и на окружности (A, BF).

1) Строим окружности (A, R) и (B, R) , где R AВ. Пусть, например, R = AB: (A, AB) и (B, AB) (рис. 131, б).

2) Отмечаем точки F и D пересечения окружностей (A, AB) и (B, AB).

3) Тогда прямая FD — серединный перпендикуляр к отрезку АВ. Докажем это.

Рассмотрим треугольники FAD и FBD (рис. 131, в). Указанные треугольники равны по трем сторонам. Следовательно, AFD = BFD. Отсюда следует, что в равнобедренном треугольнике AFD отрезок FO является биссектрисой, а значит, и высотой и медианой, т. е. прямая FO — серединный перпендикуляр к отрезку АВ.

Задача 3 (построение биссектрисы угла)

Постройте биссектрису данного угла ABC.

Допустим, что биссектриса BE данного угла ABC построена (рис. 132, а). Пусть точки F и D лежат на сторонах угла так, что BF = BD, О = FD BE, а точка Т лежит на луче, противоположном лучу ОВ. Из равенства прямоугольных треугольников FOT и DOT (FO = OD, катет ОТ — общий) следует, что FT = DT, т. е. точка Т принадлежит окружностям равных радиусов с центрами в точках F и D. Построив точку Т, мы построим биссектрису ВТ данного угла.

1) Строим окружность (B, R₁) произвольного радиуса R₁ с центром в вершине В данного угла (рис. 132, б).

2) Отмечаем точки F и D, в которых окружность (B, R) пересекает соответственно стороны ВА и ВС данного угла.

3) Строим окружности (F, R₂) и (D, R₂), где R2 > FD. Отмечаем точку Т их пересечения, которая лежит внутри данного угла.

4) Проводим луч ВТ. Луч ВТ — искомый. Докажем это.

Рассмотрим треугольники BFT и BDT (рис. 132, в). Эти треугольники равны по трем сторонам (BF = BD и FT = DT — по построению, ВТ — общая сторона). Из равенства этих треугольников следует, что FBT = DBT, т. е. луч ВТ — биссектриса угла ABC.

Построение треугольника по трем элементам

В данном пункте рассмотрим задачи на построение треугольника по: а) двум сторонам, и углу между ними; б) стороне и двум прилежащим к ней углам; в) трем сторонам.

Задача 4 (построение треугольника по двум сторонам и углу между ними)

Постройте треугольник, две стороны которого равны двум данным отрезкам а и b, а угол между этими сторонами равен данному углу hk.

Даны два отрезка а, b и угол hk (рис. 133, а). Требуется с помощью циркуля и линейки построить треугольник ABC, две стороны которого, например, АВ и АС, равны соответственно отрезкам а и b, а угол ВАС равен углу hk.

1) Проведем прямую, на ней отложим отрезок АС, равный отрезку b (рис. 133, б).

2) Строим угол CAF, равный углу hk.

3) На луче AF отложим отрезок АВ, равный отрезку а, и проведем отрезок ВС. Треугольник ABC — искомый (рис. 133, в).

По построению имеем, что АС = b, АВ = а и BAC = hk.

При любых данных отрезках а и b и неразвернутом угле hk каждое из построений 1) — 3) выполнимо, т. е. искомый треугольник можно построить. Треугольники, которые удовлетворяют условию задачи и строятся при различном выборе прямой и отрезка АС, равны между собой по двум сторонам и углу между ними, поэтому говорят, что данная за дача имеет единственное решение.

Задача 5 (построение треугольника по стороне и двум прилежащим к ней углам)

Постройте треугольник, сторона которого равна данному отрезку а, а углы, прилежащие к этой стороне, равны данным углам hk и mq.

Дан отрезок а и два угла hk и mq (рис. 134, а). Требуется с помощью циркуля и линейки построить треугольник ABC, сторона которого, например АС, равна отрезку а, а углы ВАС и ВСА равны соответственно углам hk и mq.

1) Проведем прямую и на ней отложим с помощью циркуля отрезок АС, равный отрезку а (рис. 134, б).

2) Строим угол CAF, равный углу hk.

3) Строим угол ACT, равный углу mq.

4) Отмечаем точку В пересечения лучей AF и СТ. Треугольник ABC — искомый (рис. 134, в).

По построению имеем, что АС = a, BAC = hk и ACB = mq.

Для любого данного отрезка а и неразвернутых углов hk и mq каждое из построений 1) — 4) выполнимо, т. е. искомый треугольник можно построить. Треугольники, которые удовлетворяют условию задачи и строятся при различном выборе прямой и отрезка АС, равны между собой по стороне и двум прилежащим к ней углам, поэтому говорят, что данная задача имеет единственное решение.

Задача 6 (построение треугольника по трем сторонам)

Постройте треугольник, стороны которого равны данным отрезкам а, b, с.

Даны отрезки а, b, с (рис. 135, а). Требуется с помощью циркуля и линейки построить треугольник ABC, стороны которого АВ, ВС и АС равны соответственно отрезкам a, b и с.

1) Проведем прямую и на ней с помощью циркуля отложим отрезок АС, равный отрезку с (рис. 135, б).

2) Строим окружность (A, a).

3) Строим окружность (C, b).

4) Пусть В — одна из точек пересечения окружностей (A, a) и (C, b). Тогда треугольник ABC — искомый.

По построению АС = с, АВ = а, ВС = b.

Данная задача не всегда имеет решение. Известно, что в любом треугольнике длина каждой стороны меньше суммы длин двух других его сторон. Таким образом, если длина какого-либо из данных отрезков больше суммы длин двух других, то нельзя построить треугольник, стороны которого равны данным отрезкам.

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Как построить биссектрису – описание метода с циркулем и линейкой

С помощью линейки с делениями, циркуля, угольника, транспортира, лекал (рис. 313) вам не раз приходилось проводить различные геометрические построения.

А можно ли обходиться меньшим количеством чертёжных инструментов? Оказывается, что во многих случаях достаточно использовать только циркуль и линейку без делений . Например, чтобы провести биссектрису угла, совсем не обязательно иметь транспортир, а разделить отрезок пополам можно и тогда, когда на линейку не нанесена шкала.

А стоит ли в наше время, когда созданы точнейшие приборы и совершенные компьютерные программы, позволяющие выполнять сложнейшие измерения и построения, обходиться такими скудными средствами, как циркуль и линейка? На практике конечно нет. Поэтому, например, конструкторы, строители, архитекторы, дизайнеры не ограничивают себя в выборе инструментов.

Однако при построении фигур в геометрии принимают такие правила:

1) все построения выполняются только с помощью циркуля и ли нейки без делений ;

2) с помощью линейки можно через заданную точку провести произвольную прямую, а также через заданные две точки A и B провести прямую AB ;

3) с помощью циркуля можно построить окружность с данным центром и радиусом, равным заданному отрезку .

Итак, договоримся, что если в задаче требуется построить какую-то фигуру, то построение выполняется по описанным выше правилам.

Решить задачу на построение — это значит составить план ( алгоритм ) построения фигуры; реализовать план, выполнив построение; доказать, что полученная фигура является искомой.

Рассмотрим основные задачи на построение.

Задача 1. Постройте угол, равный данному, одна из сторон которого является данным лучом.

Решение. На рисунке 314 изображены угол A и луч OK . Надо построить угол, равный углу A , одной из сторон которого является луч OK .

Проведём окружность произвольного радиуса r с центром в точке A . Точки пересечения этой окружности со сторонами угла A обозначим B и С (рис. 315). Тогда AB = AC = r .

Проведём окружность радиуса r с центром в точке O . Она пересекает луч OK в точке M (рис. 316, a ). Затем проведём окружность с центром в точке M и радиусом BC . Пусть E и F — точки пересечения окружностей с центрами O и M (рис. 316, б ). Проведём лучи ОЕ и OF (рис. 316, в ).

Покажем, что каждый из углов EOM и FOM — искомый. Докажем, например, что ∠ EOM = ∠ BAC .

Рассмотрим треугольники ABC (рис. 315) и OEM (рис. 316, в ). Имеем: AB = OE = r = AC = OM . Кроме того, по построению EM = BC . Следовательно, треугольники ABC и OEM равны по третьему признаку равенства треугольников. Отсюда ∠ EOM = ∠ BAC . Аналогично можно показать, что ∠ BAC = ∠ FOM .

Замечание. Мы построили два угла ЕОМ и FOM , удовлетворяющие условию задачи. Эти углы равны. В таких случаях считают, что задача на построение имеет одно решение.

Задача 2. Постройте серединный перпендикуляр данного отрезка.

Решение. Пусть AB — данный отрезок (рис. 317, а ). Проведём две окружности с центрами A и B и радиусом AB . Точки пересечения этих окружностей обозначим M и N (рис. 317, б ). Проведём прямую MN (рис. 317, в ).

Из построения следует, что MA = MB = AB и NA = NB = AB (рис. 317, г ). Следовательно, точки M и N принадлежат серединному перпендикуляру отрезка AB . Прямая MN и является серединным перпендикуляром отрезка AB .

Построение биссектрис в треугольнике их свойство. Построение биссектрисы угла. Полные уроки — Гипермаркет знаний

Умение разделить любой угол биссектрисой нужно не только для того, чтобы получить «пятерку» по математике. Эти знания очень пригодятся строителю, дизайнеру, землемеру и портнихе. В жизни многое надо уметь делить пополам.

Все в школе учили шуточное определение про крысу, которая бегает по углам и делит угол пополам. Звали этого шустрого и умного грызуна Биссектрисой. Не известно, каким образом крыса делила угол, а для начинающих математиков в школьном учебнике «Геометрия» могут быть предложены следующие способы.

На них влияет магнитное склонение, которое зависит от положения на Земле. Они определяются на земле компасом. Как мы только что видели, инструментами, которые мы используем для определения направлений, являются гониометр или конвейер для картографического направления и компас для магнитного направления. Следует отметить, что в проекции Гаусса-Крюгера картографическое направление приближается к азимуту в окрестности авто-линии. Азимут может быть рассчитан путем измерения компаса на земле или конвейера на графике, если мы сделаем правильную коррекцию путем склонения и магнитного отклонения.

С помощью транспортира

С помощью циркуля

С помощью линейки

Без инструментов

Развернутый угол

Углы в треугольнике

Биссектрисой угла называют луч, который начинается в вершине угла и делит его на две равные части. Т.е. чтобы провести биссектрису , нужно найти середину угла . Наиболее простой способ это сделать – при помощи циркуля. В этом случае вам не нужно проводить никаких вычислений, и результат не будет зависеть от того, является ли величина угла целым числом.

Одна из особенностей заключается в том, что это направление постоянно меняется, когда вы путешествуете по маршруту. До этого нам приходилось довольствоваться прохождением лаксодромических направлений, для которых используется компас, но дорога была не кратчайшей. Самолеты были вынуждены, пока не так давно, пересечь полигоналы, чтобы попытаться приблизиться к ортодромической или более короткой дороге.

Направления определяются по-разному, в основном двух типов: инструментальные и неинструментальные. Считается, что следующие инструменты. Магнитный: используя компас в земле, определяя магнитные направления. Позднее мы увидим обработку компаса. Геометрический: используя гониометр или конвейер на графике, определяя картографические направления.

Вам понадобится

циркуль, карандаш, линейка.

Инструкция

Установите иглу циркуля в вершину угла . Ширина раствора циркуля должна быть тем больше, чем тупее угол, для которого вы проводите биссектрису .

Отложите циркулем на каждой стороне угла по отрезку одинаковой длины. Чтобы отложить равные отрезки, достаточно не смещать иглу и не менять раствора циркуля.

Другие: они избегают нашего интереса, как инерционные методы, используемые самолетами с использованием гироскопов или радиомаяков. Классический способ ориентироваться в инструментах на природе – объединить использование буквы и конвейера с компасом. Это дает возможность «перевести» то, что мы измерили в письме, местности и наоборот. В основном он состоит из следующего.

Нарисуйте прямую линию на графике, соединяя начальную точку с желаемым пунктом назначения. Конвейер размещается с центром над пересечением линии или ее продолжением и меридианом. Конвейер поворачивается, пока нуль не совпадает с северным направлением меридиана.

Оставив ширину раствора циркуля прежней, установите иглу в конце отрезка на одной из сторон и начертите часть окружности так, чтобы она располагалась внутри угла . То же самое сделайте и со второй стороны. У вас получится две части окружностей, которые будут пересекаться внутри угла – примерно посередине. Пересекаться части окружностей могут в одной или двух точках.

С луной существует быстрый и грубый метод, основанный на фазах. На самом деле это вариант использования солнца. Он широко известен как метод часов и очень распространен. Проблема в том, что не так широко распространена очень низкая точность, которую она может дать в некоторых случаях. Поэтому здесь мы ограничимся тем, что будем описывать это больше всего, чтобы советовать ему советовать. То, как мы описываем, – это книга, которую цитируют книги для южного полушария. Это также неточно: он работает только для субтропических регионов южного полушария, для южного тропического он работает с меньшей точностью и только между равноденствием с марта по сентябрь.

Он считывает угловое значение, которое обозначает линию, первоначально нарисованную на конвейере. Это направление корректируется путем добавления или вычитания локального магнитного склонения, таким образом, получения курса. Мы увидим эту операцию позже.

Он «записывает» это направление в конечности компаса, если он является моделью, которая позволяет оставить лимбоблокировку в позиции курса. Если это тарелка, ожидается, что баланс будет сбалансирован, а ценность подшипника на шкале будет запрошена с помощью системы прицеливания.

Для этих операций компас должен быть в идеальном балансе и горизонтали. Затем стрелка или ось направления компаса указывают в следующем порядке. Точка интереса на земле указана на компас. Эта операция зависит от типа компаса. В одной из игл мы должны сделать, чтобы совпасть до того, как проделать 0º с севера иглы. В одном из блюд достаточно прочитать курс, который обозначает индикатор.

От вершины угла через точку пересечения окружностей начертите луч. В случае, если у вас получилось две точки пересечения окружностей, он должен проходить через обе. Полученный луч и будет являться биссектрисой данного угла .

Для построения биссектрисы угла можно использовать транспортир, но этот способ требует большей точности. При этом, если величина угла не будет являться целым числом, вероятность погрешностей в построении биссектрисы возрастает.

Курс преобразуется в азимут путем локального склонения. Затем он поворачивается так, что направление 0º – 180º совпадает с меридианом или 90º – 270º с параллелью. Участок, обозначающий угловое значение, найденное на конвейерной шкале, обозначается точкой.

Наша цель теперь будет нарисованной линии в смысле объективного момента, если мы сосредоточимся на нашей позиции, или наоборот. Мы можем исследовать эту линию, сравнивая то, что мы видим под ней в письме, и то, что показывает нам рельеф. Это подробно видно на курсах.

Этот факт не заменяет классический инструмент ориентации, а дополняет его. Это позволяет отключить электронное устройство и сэкономить время и энергию. Кроме того, в случае отказа или сбоя питания электронного устройства компас всегда будет продолжать работать.

Углом называется геометрическая фигура, которая образована двумя лучами – сторонами угла, исходящими из одной точки – вершины угла. Обычно для построения плоского угла в планиметрии используется транспортир, с помощью которого можно легко отложить угол с заданной градусной мерой, но как быть, если под рукой этого инструмента нет?Для построения угла можно воспользоваться тригонометрическими функциями и построением прямоугол ьного треугол ьника.

Когда у нас нет конкретных инструментов, как описано выше, некоторые импровизации и наблюдения природы позволяют нам ориентироваться с некоторой независимостью. Существует два типа неинтерактивного метода. Рациональное: когда есть научная основа, которая гарантирует точность и точность мер. Обычно это астрономические методы. Звезды всегда были типичным методом ориентации и навигации и единственными доступными для позиции. Здесь мы увидим только самые полевые методы, очевидно, не попадая в использование звезд, где требуются специальные инструменты, как в случае с навигацией, использующей секстанты, астролябии и другие материалы.

Полная таблица тангенсов, линейка

Пусть стоит задача построить угол некоторой размерности?.
Построим отрезок AB произвольной длины. Использую соотношение катетов в прямоугол ьном треугол ьнике можно получить сторону BC этого треугол ьника по формуле BC = AB tg?, значение тангенса угла? можно узнать по таблице тангенсов .
Далее от точки A необходимо отложить отрезок длины BC перпендикулярно отрезку AB.

Эмпирический: когда научное пропитание слабее или замаскировано многими переменными. Таков случай направлений роста растений, доминирующих ветров, орографии и т.д. Самый быстрый и простой способ заключается в следующем. Палка, палочка, карандаш или любой другой заостренный элемент размещаются на определенной высоте на земле. Он не должен быть вертикальным: его можно разместить горизонтально на скале, например. Это также может быть остроконечная скала. Условием является то, что он проецирует свою тень на гладкую поверхность, плоскую и горизонтальную.

Соединив точки A и C, получим угол заданной величины?, с вершиной в точке A.

Обратите внимание, что должны выполняться три условия: гладкий – это не то же самое, что и плоскость, а плоскость не совпадает с горизонтальной. Эту поверхность можно получить, поместив лист бумаги, блюдо или камень на место или сгладьте землю рукой. Он не требует гораздо большего размера, чем ладонь. Другое условие заключается в том, что тень резкого конца объекта острая. Это достигается путем размещения элемента на не слишком большом расстоянии от плоскости. Не слишком близко, потому что, как мы увидим, требуется, чтобы тень «двигалась» на определенное расстояние, когда солнце или луна пробегали от влияния вращения Земли.

Для построения углов ∠α ≥ 90º, необходимо построить угол ∠β

Хорошее расстояние – от 1 до 1, 5 метров. Знак делается в точке, где падает тень остроконечного конца объекта. Это можно сделать карандашом или просто прибивать зубочисткой или класть камешек. Ожидается, что тень будет двигаться из-за вращения Земли. Всего несколько сантиметров.

Точка тени снова обозначается на плоскости. Между двумя метками рисуется линия. Конец линии, которая находится в первом знаке, – Запад. Это так в любом полушарии, в любое время суток и в любое время года, хотя оно более чувствительно в низких широтах, около полудня и летом. Эти чувствительности очень скомпенсированы, если мы будем осторожны, чтобы быть ближе к полудню, то есть, если мы находимся в высоких широтах, более важно делать измерения в течение дня, избегая раннего утра или сумерек.

циркуль, карандаш, линейка.

Этот метод хорошо работает с луной и вряд ли чувствителен к широте или времени года, но лучше всего делать это с высокой луной над горизонтом. Другой метод намного точнее. Настолько, что это позволяет нам рассчитать магнитное склонение места, и если мы применим его с солнцем, мы получим очень полезную информацию для вычисления широты и длины с очень простыми формулировками с использованием двух таблиц, которые мы можем сделать фотокопированными в кошельке. Как длинный метод, так и эти дополнительные методы не будут разработаны в этом резюме.

Мы назвали его методом солнечного времени, а не часами, потому что это можно сделать без часов. Достаточно нарисовать часы и руки на земле или на бумаге. Некоторые неумные источники заявляют, что это можно сделать только с аналоговыми часами, а не с цифровыми часами, когда на самом деле очень легко нарисовать часы, если время известно. Другая причина ставить солнечное время, а не просто время, заключается в том, что метод строго работает с солнечным временем, а не с гражданским временем.

Часы установлены с горизонтальной сферой, а 12 – на солнце. Это достигается путем установки вертикальной палочки на 12 и поворота набора до тех пор, пока тень не упадет на. Биссектриса между 12 и маленькой рукой указывает на Север. В той степени, в которой в стране солнечный полдень не достигнут 12, этот метод даст нам ошибку приблизительно 7º за каждый час разницы. Это было особенно заметно во времена, когда Аргентина использовала другое время летом. В этом случае в горной части Мендоцина солнечный полдень был выпущен почти в 3 часа ночи!

При строительстве или разработке домашних дизайн-проектов часто требуется построить угол , равный уже имеющемуся. На помощь приходят шаблоны и школьные знания геометрии.

Короче: мы должны взять компас или ориентироваться с тенью и солнцем. В северном полушарии есть звезда, полярная звезда, которая почти точно находится на северном небесном полюсе, хотя она очень мало яркая. Небесные полюса – это точки неба, где проецируется ось земного вращения. В вертикали, перпендикулярной к горизонту, от небесного полюса есть кардинальная точка, северная или южная.

В Южном полушарии у нас нет звезд на полюсе Южного Севера, поэтому мы должны сделать геометрическую конструкцию с созвездиями. Для этого мы используем созвездие Крукс, представляющее собой созвездие 5 звезд, видимых в южном полушарии, следующим образом.

Угол образуют две прямые, исходящие из одной точки. Эта точка будет называться вершиной угла, а линии будут являться сторонами угла.

Для обозначения углов используйте три буквы: одна у вершины, две у сторон. Называют угол , начиная с той буквы, которая стоит у одной стороны, далее называют букву, стоящую у вершины, и затем букву у другой стороны. Используйте и другие способы для обозначения углов, если вам удобнее иначе. Иногда называют только одну букву, которая стоит у вершины. А можно обозначать углы греческими буквами, например, α, β, γ.

Представьте себе крест, начертанный четырьмя яркими звездами Крукса. Увеличьте большую длину креста в направлении основного плеча 5 раз, а результирующая точка 1 больше перпендикулярно правую. Важно, чтобы последние были хорошо поняты: перпендикулярно переднему и правому направлениям переднего направления. Этот второй более короткий сегмент, в зависимости от положения креста, может падать вправо или влево, вверх или вниз.

Полученная таким образом конечная точка является небесным южным полюсом. Спустившись по перпендикуляру к горизонту с небесного южного полюса, получим направление Юг. Другой способ найти небесный Южный полюс – это точка, которая находится на полпути между звездой Ачернар и Бета Центаури. Другой известный метод, который является кинжалом Ориона, не очень точен в Южном полушарии.

Встречаются ситуации, когда необходимо начертить угол , чтобы он был равен уже данному углу. Если при построении чертежа использовать транспортир возможности нет, можно обойтись только линейкой и циркулем. Допустим, на прямой, обозначенной на чертеже буквами MN, нужно построить угол у точки К, так, чтобы он был равен углу В. То есть из точки K необходимо провести прямую, образующую с линией MN угол , который будет равен углу В.

Для начинающих математиков в школьном учебнике «Геометрия» могут быть предложены следующие способы.

С помощью транспортира

С помощью циркуля

С помощью линейки

Без инструментов

Развернутый угол

Угол больше 180 градусов можно разделить биссектрисой такими же способами. Только делить надо будет не его, а прилежащий к нему острый угол, оставшийся от окружности. Продолжение найденной биссектрисы и станет искомой прямой, делящей развернутый угол пополам.

Построение с помощью циркуля и линейки

Построения с помощью циркуля и линейки — раздел евклидовой геометрии, известный с античных времён. В задачах на построение циркуль и линейка считаются идеальными инструментами, в частности:

Содержание

Пример

Задача на бисекцию. С помощью циркуля и линейки разбить данный отрезок AB на две равные части. Одно из решений показано на рисунке:

Циркулем проводим окружности с центром в точках A и B радиусом AB.
Находим точки пересечения P и Q двух построенных окружностей (дуг).
По линейке проводим отрезок или линию, проходящую через точки P и Q.
Находим искомую середину отрезка AB — точку пересечения AB и PQ.

Формальное определение

В задачах на построение рассматриваются множество всех точек плоскости, множество всех прямых плоскости и множество всех окружностей плоскости, над которыми допускаются следующие операции:

Выделить точку из множества всех точек:
1. произвольную точку
2. произвольную точку на заданной прямой
3. произвольную точку на заданной окружности
4. точку пересечения двух заданных прямых
5. точки пересечения/касания заданной прямой и заданной окружности
6. точки пересечения/касания двух заданных окружностей
«С помощью линейки» выделить прямую из множества всех прямых:
1. произвольную прямую
2. произвольную прямую, проходящую через заданную точку
3. прямую, проходящую через две заданных точки
«С помощью циркуля» выделить окружность из множества всех окружностей:
1. произвольную окружность
2. произвольную окружность с центром в заданной точке
3. произвольную окружность с радиусом, равным расстоянию между двумя заданными точками
4. окружность с центром в заданной точке и с радиусом, равным расстоянию между двумя заданными точками

В условиях задачи задается некоторое множество точек. Требуется с помощью конечного количества операций из числа перечисленных выше допустимых операций построить другое множество точек, находящееся в заданном соотношении с исходным множеством.

Решение задачи на построение содержит в себе три существенные части:

Описание способа построения заданного множества.
Доказательство того, что множество, построенное описанным способом, действительно находится в заданном соотношении с исходным множеством. Обычно доказательство построения производится как обычное доказательство теоремы, опирающееся на аксиомы и другие доказанные теоремы.
Анализ описанного способа построения на предмет его применимости к разным вариантам начальных условий, а также на предмет единственности или неединственности решения, получаемого описанным способом.

Известные задачи

Задача Аполлония о построении окружности, касающейся трех заданных окружностей. Если ни одна из заданных окружностей не лежит внутри другой, то эта задача имеет 8 существенно различных решений.
Задача Брахмагупты о построении вписанного четырехугольника по четырем его сторонам.

Построение правильных многоугольников

Античным геометрам были известны способы построения правильных n-угольников для , , и .

В 1796 году Гаусс показал возможность построения правильных n-угольников при , где — различные простые числа Ферма. В 1836 году Ванцель доказал, что других правильных многоугольников, которые можно построить циркулем и линейкой, не существует.

Неразрешимые задачи

Следующие три задачи на построение были поставлены ещё в античности:

Трисекция угла — разбить произвольный угол на три равные части.
Удвоение куба — построить ребро куба вдвое большего по объёму, чем данный куб
Квадратура круга — построить квадрат, равный по площади данному кругу.

Только в XIX веке было доказано, что все три задачи неразрешимы при использовании только циркуля и линейки. Вопрос возможности построения полностью решён алгебраическими методами, основанными на теории Галуа.

Другая известная неразрешимая с помощью циркуля и линейки задача — построение треугольника по трём заданным длинам биссектрис. [1] Причём эта задача остаётся неразрешимой даже при наличии трисектора. [2]

Возможные и невозможные построения

Все построения являются не чем иным, как решениями какого-либо уравнения, причем коэффициенты этого уравнения связаны с длинами заданных отрезков. Поэтому удобно говорить о построении числа — графического решения уравнения определенного типа. В рамках вышеописанных требований возможны следующие построения:

Построение решений линейных уравнений.
Построение решений квадратных уравнений.

Иначе говоря, возможно построить лишь числа равные арифметическим выражениям с использованием квадратного корня из исходных чисел (длин отрезков). Например,

Если задан только отрезок длины , то невозможно представить в таком виде (отсюда невозможность удвоения куба).
Возможность построить правильный 17-угольник следует из выражения на косинус угла: