Как провести перпендикуляр к прямой – примеры чертежей

Как провести перпендикуляр к прямой – примеры чертежей

Контрольные задания по теме: Рабочая тетрадь задача 44, задача 45

Построение взаимно перпендикулярных прямых и плоскостей является важной графической операцией при решении метрических задач.

Построение перпендикуляра к прямой или плоскости основывается на свойстве прямого угла, которое формулируется следующим образом: если одна из сторон прямого угла параллельна плоскости проекций, а другая не перпендикулярна ей, то угол проецируется в натуральную величину на эту плоскость.


Рисунок 28

Сторона ВС прямого угла АВС, изображенного на рисунке 28, параллельна плоскости П 1 . Следовательно, проекция угла АВС на эту плоскость будет представлять прямой угол А 1 В 1 С 1 =90.

Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости. При построении перпендикуляра из множества прямых принадлежащих плоскости, выбирают прямые уровня – горизонталь и фронталь. В этом случае горизонтальную проекцию перпендикуляра проводят перпендикулярно горизонтали, а фронтальную -перпендикулярно фронтали. На примере, изображенном на рисунке 29, показано построение перпендикуляра к плоскости, заданной треугольником АВС, из точки К. Для этого сначала проводим горизонталь и фронталь в плоскости. Затем из фронтальной проекции точки К проводим перпендикуляр к фронтальной проекции фронтали, а из горизонтальной проекции точки – перпендикуляр к горизонтальной проекции горизонтали. Затем строим точку пересечения данного перпендикуляра с плоскостью при помощи вспомогательной секущей плоскости Σ. Искомая точка – F. Таким образом, полученный отрезок КF является перпендикуляром к плоскости АВС.


Рисунок 29

На рисунке 29 изображено построение перпендикуляра КF к плоскости АВС.

Две плоскости перпендикулярны, если прямая, лежащая в одной плоскости, перпендикулярна двум пересекающимся прямым другой плоскости. Построение плоскости перпендикулярной данной плоскости АВС показано на рисунке 30. Через точку М проводится прямая МN, перпендикулярная плоскости АВС. Горизонтальная проекция этой прямой перпендикулярна АС, так как АС является горизонталью, а фронтальная проекция перпендикулярна АВ, так как АВ – фронталь. Затем через точку М проводится произвольная прямая EF. Таким образом, плоскость перпендикулярна АВС и задана двумя пересекающимися прямыми EF и MN.


Рисунок 30

Этот способ применяется для определения натуральных величин отрезков общего положения, а также углов наклона их к плоскостям проекций. Для того, чтобы определить натуральную величину отрезка этим способом, необходимо достроить прямоугольный треугольник к одной из проекций отрезка. Другим катетом будет являться разность высот или глубин конечных точек отрезка, а гипотенуза – натуральной величиной.

Рассмотрим пример: на рисунке 31 дан отрезок АВ общего положения. Требуется определить его натуральную величину и углы его наклона к фронтальной и горизонтальной плоскостям проекций.

Проводим перпендикуляр к одному из концов отрезка на горизонтальной плоскости. Откладываем на нем разность высот (ZA-ZB) концов отрезка и достраиваем прямоугольный треугольник. Гипотенуза его является натуральной величиной отрезка, а угол между натуральной величиной и проекцией отрезка – натуральной величиной угла наклона отрезка к плоскости П 1 . Порядок построений на фронтальной плоскости тот же самый. По перпендикуляру откладываем разность глубин концов отрезка (YA-YB). Полученный угол между натуральной величиной отрезка и его фронтальной проекцией – это угол наклона отрезка к плоскости П 2 .


Рисунок 31

1. Сформулируйте теорему о свойстве прямого угла.

2. В каком случае прямая перпендикулярна плоскости?

3. Сколько прямых и сколько плоскостей, перпендикулярных данной плоскости, можно провести через точку пространства?

Читайте также:
Средняя линия трапеции - определение, формулы и решение задач

4. Для чего применяется способ прямоугольного треугольника?

5. Как при помощи этого способа определить угол наклона отрезка общего положения к горизонтальной плоскости проекций?

© ФГБОУ ВПО Красноярский государственный аграрный университет

Перпендикулярные прямые в геометрии с примерами

Определение: Две прямые называются перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом.

При пересечении двух перпендикулярных прямых образуются 4 прямых угла.

Отрезки и лучи называются перпендикулярными, если они лежат на перпендикулярных прямых. На рисунке 87 прямые

Определение. Перпендикуляром к данной прямой называется отрезок, который лежит на прямой, перпендикулярной данной, один из концов которого (основание перпендикуляра) является точкой пересечения этих прямых.

Прямая перпендикулярна прямой (рис. 88). Отрезок АВ — перпендикуляр к прямой , точка В — основание перпендикуляра. Точку В также называют проекцией точки А на прямую .

Если из точки М, которая не лежит на прямой , провести перпендикуляр МК к прямой (рис. 89), то получим перпендикуляр, опущенный из точки М на прямую . Если из точки Р, лежащей на прямой , провести перпендикуляр РЕ к прямой (рис. 90), то получим перпендикуляр, восстановленный (восставленный) к прямой .

Теорема. Через точку, лежащую на данной прямой, можно провести прямую, перпендикулярную этой прямой, и только одну.

Дано: прямая ; точка А; (рис. 91).

Доказать: через точку А можно провести прямую, перпендикулярную прямой , и только одну.

Доказательство:

По аксиоме откладывания углов от луча АВ в данную полуплоскость можно отложить угол CAB, равный 90°, и притом только один. Тогда прямая АС перпендикулярна прямой . Предположим, что существует другая прямая AD, проходящая через точку А и перпендикулярная прямой . Тогда и от луча АВ в данную полуплоскость будут отложены два угла, равные 90°: А это невозможно по аксиоме откладывания углов. Следовательно, не существует другой прямой, проходящей через точку А и перпендикулярной прямой .

Теорема. Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, перпендикулярную этой прямой, и притом только одну.

Дано: прямая ; точка A, (рис. 92).

Доказать: через точку А можно провести прямую, перпендикулярную прямой , и притом только одну.

Доказательство:

1) В начале докажем, что через точку А можно провести прямую, перпендикулярную прямой . Мысленно перегнем лист с чертежом по прямой (совместим верхнюю полуплоскость с нижней, повернув ее вокруг прямой ) (рис. 92, а). Точка А займет некоторое положение, которое обозначим точкой В. Вернем полуплоскости в прежнее положение и проведем прямую АВ. Так как углы 1 и 2 совпадают при наложении полуплоскостей, то они равны. А поскольку эти углы смежные, то каждый из них равен 90° и

2) Теперь докажем, что АВ — единственная прямая, проходящая через точку А и перпендикулярная прямой . Пусть прямая AD также перпендикулярна прямой . Тогда (рис. 92,6). Совместим полуплоскости еще раз. Угол 3 совпадет с углом 4, значит Тогда — развернутый, и через точки А и В будут проходить две прямые: ранее проведенная прямая и прямая, проходящая через точки A, D и В. А это невозможно по аксиоме прямой. Следовательно, прямая AD не перпендикулярна прямой . Теорема доказана.

Из двух последних теорем следует, что на плоскости через любую точку можно провести прямую, перпендикулярную данной прямой, и притом только одну.

Читайте также:
Степени чисел - возведение в степень в алгебре, таблица, правила

Теорема (о двух прямых, перпендикулярных третьей). На плоскости две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой.

Дано: (рис. 93).

Доказать:

Доказательство:

Если предположить, что прямые и пересекаются в некоторой точке М, то окажется, что через точку М проходят две прямые и , перпендикулярные третьей прямой , а это невозможно. Значит, прямые и лежат в одной плоскости и не пересекаются, то есть параллельны между собой. Теорема доказана.

Теорема, обратная данной

Формулировка теоремы, как правило, состоит из двух частей: того, что дано, и того, что нужно доказать. Первая часть называется условием теоремы, вторая — заключением. Часто теорему формулируют в форме: «Если . (условие теоремы), то . (заключение теоремы)». Например, теорему о свойстве смежных углов можно сформулировать так: «Если углы смежные, то сумма этих двух углов равна 180°». «Углы смежные» — это условие теоремы, «сумма этих двух углов равна 180°» — заключение.

Если поменять условие и заключение теоремы местами, то получим утверждение, обратное данному. Для указанной выше теоремы получаем: «Если сумма двух углов равна 180°, то эти углы смежные». Но это утверждение неверно, поскольку можно привести пример двух углов, например, равных 60° и 120°, сумма которых 180°, но которые не являются смежными. Значит, приведенное утверждение не является теоремой.

Если же верно и обратное утверждение, то оно называется теоремой, обратной данной. Например, известна теорема: «Если сумма цифр числа делится на 3, то и число делится на 3» — и ей обратная: «Если число делится на 3, то и сумма цифр числа делится на 3».

Иногда прямую и обратную теоремы объединяют, употребляя при этом выражение «тогда и только тогда». Объединим вышеуказанные теоремы: «Число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3».

Геометрия 3D

Пусть в пространстве прямая пересекает плоскость в точке В (рис. 98). Если прямая перпендикулярна любой прямой плоскости, проходящей через точку В, то она называется прямой, перпендикулярной плоскости. Пишут Отрезок АВ называется перпендикуляром к плоскости .

Чтобы прямая была перпендикулярна плоскости , достаточно, чтобы она была перпендикулярна каким-то двум прямым плоскости, проходящим через точку В. Например, прямым и .

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Построение перпендикулярных прямых

Примеры:

1. Даны прямая и точка на ней. Построить прямую проходящую через данную точку и перпендикулярную к данной прямой.

Дано: прямая m, Mm.

Построить: МPm.

Решение:

Произвольно строим с помощью линейки прямую m и отмечаем на ней точку М.

На лучах прямой m, исходящих из точки М, с помощью циркуля откладываем равные отрезки МА и МВ (МА = МВ). Для этого строим окружность с центром в точке М, при этом всю окружность строить не обязательно, достаточно сделать пометки по разные стороны от точки М (смотри выделенное красным).

Затем строим две окружности с центрами в точках А и В радиуса АВ (полностью окружности строить необязательно, смотри выделенное фиолетовым и красным цветом).

Читайте также:
Угол между прямыми - формула нахождения, решение задач

Данные окружности пересекаются в двух точках, обозначим их Р и Q. Проведем с помощью линейки через точку М и одну из точек Р или Q прямую, например, МР.

Докажем, что прямая МР – искомая прямая, т.е. что МPm.

Рассмотрим треугольник АРВ.

АР = ВР, т.к. по построению это радиусы одинаковых окружностей, следовательно, АРВ – равнобедренный. По построению МА = МВ, т.е. МР – медиана равнобедренного треугольника, тогда по свойству равнобедренного треугольника МР и высота, т.е. МPm. Что и требовалось доказать.

2. Даны прямая и точка не лежащая на этой прямой. Построить прямую проходящую через данную точку и перпендикулярную к данной прямой.

Дано: прямая m, Mm.

Построить: МNm.

Решение:

Произвольно строим с помощью линейки прямую m и отмечаем точку М, не лежащую на прямой m.

Далее строим окружность с центром в данной точке М, пересекающую прямую m в двух точках, которые обозначим буквами А и В (всю окружность строить необязательно, смотри выделенное красным цветом).

Затем построим две окружности с центрами в точках А и В, проходящие через точку М (полностью окружности строить необязательно, смотри выделенное синим и зеленым цветом). Эти окружности пересекутся в точке М и еще в одной точке, которую обозначим буквой N. Проведем прямую МN.

Докажем что, прямая МN – искомая, т.е. МNm.

В АМN и ВМN: АМ = АN = ВМ = ВN – радиусы, МN – общая, следовательно, АМN =ВМN (по трем сторонам), значит, углы ВМС и АМС равны (С точка пересечения прямых m и МN). Отсюда следует, что отрезок МС – биссектриса равнобедренного треугольника АМВ (АМ = ВМ – радиусы) с основанием АВ, тогда по свойству равнобедренного треугольника АМ – высота, значит, МNАВ, т.е. МNm.

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Как провести перпендикуляр к прямой — правило построения

Перпендикуляр — это прямая линия, пересекающая другую линию под углом 90°. Построением перпендикуляров на начальном уровне занимаются школьники на уроке геометрии. В будущем эти знания могут пригодиться как в быту, так и в профессиональной сфере. Чтобы правильно провести перпендикуляр к прямой, рекомендуется изучить все возможные способы. Они подразделяются на простые и сложные. Кроме того, для каждого из них потребуются определенные канцелярские принадлежности.

Использование транспортира

Одним из наиболее простых способов построения перпендикуляра к прямой является чертеж при помощи специального инструмента, который называется транспортир. Чтобы правильно начертить отрезок, необходимо по пунктам выполнить следующие действия:

Этот способ широко используется на уроках геометрии. Его преимущество заключается в быстром и простом построении. Для выполнения требуется только транспортир и простой карандаш.

Циркуль и линейка

Перпендикулярный луч можно опустить на отрезок при помощи еще одного незамысловатого способа. Для этого необходимы простой карандаш, линейка и циркуль. Построить прямой угол можно, выполнив следующие действия:

  • На отрезке от заданной точки необходимо, используя циркуль, провести две одинаковые дуги. Чтобы расстояние было идентичным с каждой стороны, нужно иглу циркуля поставить в отмеченную точку и при помощи линейки раствор циркуля отодвинуть на какое-то расстояние (это индивидуальный показатель). Таким образом нужно начертить две дуги.
  • Затем необходимо увеличить раствор циркуля и сделать так, чтобы карандаш находился посередине между точкой справа (слева) и исходной.
  • Так нужно нарисовать две дуги: одну над прямой, а другую — под ней.
  • Потом необходимо нарисовать вторую такую дугу. При этом раствор циркуля изменять не требуется. Отметку пересечения двух дуг (правой и левой) нужно обозначить.
  • Точку пересечения этих двух дуг нужно состыковать с точкой на исходном отрезке. Соединять и проводить линию лучше с использованием линейки. Так рисунок получится ровным и аккуратным.

    В результате этих действий должен получиться перпендикуляр, составляющий с прямой линией угол в 90°. Метод более сложный, если сравнивать его с первым. Его целесообразно использовать в том случае, если под рукой не оказалось транспортира.

    Теорема Пифагора

    Чтобы построить перпендикуляр по этому способу, мало знать одного определения, поскольку потребуется теорема Пифагора и ее доказательство. Наиболее распространенный вариант — свойство египетского треугольника со сторонами 5, 4 и 3.

    Читайте также:
    Уравнения с параметром - классификация и формулы, решение задач

    От основной точки А необходимо отмерить и отметить отрезок, равный 3. В результате получается точка В. Далее необходимо построить две одинаковые окружности. При этом центр первой будет располагаться в А, а центр второй — в В. Отметка пересечения этих окружностей обозначается как С. Значит, искомый перпендикуляр — это линия, соединяющая две точки (А и С). Конечно, этот способ лучше посмотреть наглядно на картинке или показать в виде чертежа.

    Эту тему проходят на геометрии в 7 классе. Школьники должны дать определение перпендикуляра к прямой. А на его основании построить линию его под углом 90°.

    Как провести перпендикуляр к прямой – примеры чертежей

    Из всех возможных положений прямой, пересекающей плоскость, отметим случай, когда прямая перпендикулярна к плоскости, и рассмотрим свойства проекций такой прямой.

    На рис. 185 задана плоскость, определяемая двумя пересекающимися прямыми AN и AM, причем AN является горизонталью, а AM — фронталью этой плоскости. Прямая АВ, изображенная на том же чертеже, перпендикулярна к AN и к AM и, следовательно, перпендикулярна к определяемой ими плоскости.

    Перпендикуляр к плоскости перпендикулярен к любой прямой, проведенной в этой плоскости. Но чтобы при этом проекция перпендикуляра к плоскости общего положения оказалась перпендикулярной к одноименной проекции какой-либо прямой этой плоскости, прямая должна быть горизонталью, или фронталью, или профильной прямой плоскости. Поэтому, желая построить перпендикуляр к плоскости, берут в общем случае две такие прямые (например, горизонталь и фронталь, как это показано на рис. 185).

    Итак, у перпендикуляра к плоскости его горизонтальная проекция перпендикулярна к горизонтальной проекции горизонтали, фронтальная проекция перпендикулярна к фронтальной проекции фронтали, профильная проекция перпендикулярна к профильной проекции профильной прямой этой плоскости.

    Очевидно, в случае, когда плоскость выражена следами (рис. 186), мы получаем следующий вывод: если прямая перпендикулярна к плоскости, то горизонтальная проекция этой прямой перпендикулярна к горизонтальному следу плоскости, а фронтальная проекция перпендикулярна к фронтальному следу плоскости.

    Итак, если в системе π1 п2 горизонтальная проекция прямой перпендикулярна к горизонтальному следу и фронтальная проекция прямой перпендикулярна к фронтальному следу плоскости, то в случае плоскостей общего положения (рис. 186), а также горизонтально и фронтально-проецирующих прямая перпендикулярна к плоскости. Но для профильно-проецирующей плоскости может оказаться, что прямая к этой плоскости не перпендикулярна, хотя проекции прямой соответственно перпендикулярны к горизонтальному и фронтальному следам плоскости. Поэтому в случае профильно-проецирующей плоскости надо рассмотреть также взаимное положение профильной проекции прямой и профильного следа данной плоскости и лишь после этого установить, будут ли перпендикулярны между собой данные прямая и плоскость.

    Читайте также:
    Математика - предмет, задачи, изучение, понятие, определения

    Очевидно (рис. 187), горизонтальная проекция перпендикуляра к плоскости сливается с горизонтальной проекцией линии ската, проведенной в плоскости через основание перпендикуляра.

    На рис. 186 из точки А проведен перпендикуляр к пл. a (А”С” ⊥ f”0a , А’С’ ⊥ h’0a ) и показано построение точки Е, в которой перпендикуляр АС пересекает пл. а. Построение выполнено с помощью горизонтально-проецирующей пл. β, проведенной через перпендикуляр АЕ.

    На рис. 188 показано построение перпендикуляра к плоскости, определяемой треугольником АВС. Перпендикуляр проведен через точку А.

    Так как фронтальная проекция перпендикуляра к плоскости должна быть перпендикулярна к фронтальной проекции фронтали плоскости, а его горизонтальная проекция перпендикулярна к горизонтальной проекции горизонтали, то в плоскости через точку А проведены фронталь с проекциями A’D’ и A”D” и горизонталь А”Е”, А’Е’. Конечно, эти прямые не обязательно проводить именно через точку А.

    Далее проведены проекции перпендикуляра: M”N” ⊥ A”D”, M’N’ ⊥ А’Е’. Почему проекции на рис. 188 на участках A”N” и А’М’ показаны штриховыми линиями? Потому, что здесь рассматривается плоскость, заданная треугольником АВС, а не только этот треугольник: перпендикуляр находится частично перед плоскостью, частично за ней.

    На рис. 189 и 190 показано построение плоскости, проходящей через точку А перпендикулярно к прямой ВС. На рис. 189 плоскость выражена следами. Построение начато с проведения через точку А горизонтали искомой плоскости: так как горизонтальный след плоскости должен быть перпендикулярен к В’С’ то и горизонтальная проекция горизонтали должна быть перпендикулярна к В’С’. Поэтому A’N’ ⊥ В’С. Проекция A”N” || оси х, как это должно быть у горизонтали. Затем проведен через точку N” (N” — фронтальная проекция фронтальною следа горизонтали AN) след f’0a ⊥ ”є, получена точка Хa и проведен след h’0a || A’N’ (h’0a ⊥ В’С’).

    На рис. 190 плоскость определена ее фронталью AM и горизонталью AN. Эти прямые перпендикулярны к ВС (А”М” ⊥ ”є, A’N’ ⊥ В’С); определяемая ими плоскость перпендикулярна к ВС.

    Так как перпендикуляр к плоскости перпендикулярен к каждой прямой, проведенной в этой плоскости, то, научившись проводить плоскость перпендикулярно к прямой, можно воспользоваться этим для проведения перпендикуляра из некоторой точки А к прямой общего положения ВС. Очевидно, можно наметить следующий план построения проекций искомой прямой:

    1) через точку А провести плоскость (назовем ее ϒ), перпендикулярную к ВС;

    2) определить точку К пересечения прямой ВС с пл. ϒ;

    3) соединить точки А и К отрезком прямой линии.

    Прямые АК и ВС взаимно перпендикулярны.

    Пример построения дан на рис. 191. Через точку А проведена плоскость (ϒ), перпендикулярная к ВС. Это сделано при помощи фронтали, фронтальная проекция A”F” которой проведена перпендикулярно к фронтальной проекции ”є и горизонтали, горизонтальная проекция которой перпендикулярна к В’С’.

    Затем найдена точка К, в которой прямая ВС пересекает пл. ϒ. Для этого через прямую ВС проведена горизонтально-проецируюшая плоскость β (на чертеже она задана только горизонтальным следом β’). Пл. β пересекает пл. ϒ по прямой с проекциями 1’2‘ и 1″2″. В пересечении этой прямой с прямой ВС получается точка К. Прямая АК является искомым перпендикуляром к ВС. Действительно, прямая АК пересекает прямую ВС и находится в пл. ϒ, перпендикулярной к прямой ВС; следовательно, АК ⊥ ВС.

    Читайте также:
    Соотношение между сторонами и углами треугольника - свойства

    На рис. 192 изображены плоскость общего положения а, проходящая через точку А, и перпендикуляр AM к этой плоркости, продолженный до пересечения с пл. п1, в точке В’.

    Угол ф1 между пл. а и пл. п1 и угол ф между прямой AM и пл. п1 являются острыми углами прямоугольного треугольника В’АМ’ и, следовательно, ф1 +ф = 90°. Аналогично, если пл. а составляет с пл. п2 угол σ2, а прямая AM, перпендикулярная к а, составляет с пл. п2 угол σ, то σ2 + σ = 90°. Из этого, прежде всего, следует, что плоскость общею положения, которая должна составлять с пл. п1 угол ф1 а с пл. п2 угол σ2, может быть построена, лишь если 180° > Ф1 + σ2 > 90°.

    Действительно, складывая почленно Ф1 + Ф = 90° и σ2 + σ = 90°, получим Ф1 + σ2 + Ф + σ = 180°, т. е. Ф1 + σ2 90°. Если взять Ф1 + σ2 =90°, то получится профильно-проецирующая плоскость, а если взять Ф1 + σ2 = 180°, то получится профильная плоскость, т. е. в обоих этих случаях плоскость не общего положения, а частного.

    ПОСТРОЕНИЕ ВЗАИМНО ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫХ ПЛОСКОСТЕЙ

    Построение плоскости β, перпендикулярной к плоскости a, может быть произведено двумя путями: 1) пл. β проводится через прямую, перпендикулярную к пл. а; 2) пл. β проводится перпендикулярно к прямой, лежащей в пл. а или параллельной этой плоскости. Для получения единственного решения требуются дополнительные условия.

    На рис. 193 показано построение плоскости, перпендикулярной к плоскости, заданной треугольником CDE. Дополнительным условием здесь служит то, что искомая плоскость должна проходить через прямую А В. Следовательно, искомая плоскость определяется прямой АВ и перпендикуляром к плоскости треугольника. Для проведения этого перпендикуляра к пл. CDE в ней взяты фронталь CN и горизонталь СМ: если B”F” ⊥ C“N” и B’F’⊥C’M’, то BF⊥ пл. CDE.

    Образованная пересекающимися прямыми АВ и BF плоскость перпендикулярна к пл. СОЕ, так как проходит через перпендикуляр к этой плоскости. На рис. 194 горизонтально-проецирующая плоскость β проходит через точку К перпендикулярно к плоскости, заданной треугольником АВС. Здесь дополнительным условием являлась перпендикулярность искомой плоскости сразу к двум плоскостям: к пл. АВС и к пл. п1. Поэтому и ответом служит горизонтально-проецирующая плоскость. А так как она проведена перпендикулярно к горизонтали AD, т. е. к прямой, принадлежащей пл. АВС, то пл. β перпендикулярна к пл. АВС.

    Может ли перпендикулярность одноименных следов плоскостей служить признаком перпендикулярности самих плоскостей?

    К очевидным случаям, когда это так, относится взаимная перпендикулярность двух горизонтально-проецирующих плоскостей, у которых горизонтальные следы взаимно перпендикулярны. Также это имеет место при взаимной перпендикулярности фронтальных следов фронтально-проецирующих плоскостей; эти плоскости взаимно перпендикулярны.

    Рассмотрим (рис. 195) горизонтально-проецирующую плоскость β, перпендикулярную к плоскости общего положения а.

    Если пл. β перпендикулярна к пл. л, п1 пл. а, то β⊥h’0a как к линии пересечения пл. а и пл. п1. Отсюда h’0a ⊥ β и, следовательно, h’0a ⊥ β , как к одной из прямых в пл. β.

    Читайте также:
    Теорема Пифагора ℹ формула, история открытия, доказательство прямой и обратной теорем, способы применения на практике, примеры решения задач

    Итак, перпендикулярность горизонтальных следов плоскости общего положения и горизонтально-проецирующей соответствует взаимной перпендикулярности этих плоскостей.

    Очевидно, перпендикулярность фронтальных следов фронтально-проецирующей плоскости и плоскости общего положения также соответствует взаимной перпендикулярности этих плоскостей.

    Но если одноименные следы двух плоскостей общего положения взаимно перпендикулярны, то самые плоскости не перпендикулярны между собой, так как здесь не соблюдается ни одно из условий, изложенных в начале этого параграфа.

    В заключение рассмотрим рис. 196. Здесь имеет место случай взаимной перпендикулярности одноименных следов в обеих их парах и перпендикулярности самих плоскостей: обе плоскости особого (частного) положения — профильная ϒ и профильно-проецирующая а.

    Геометрия. 7 класс

    Конспект урока

    Перпендикуляр к прямой

    Перечень рассматриваемых вопросов:

    • Понятие перпендикуляра к прямой.
    • Основание перпендикуляра.
    • Теорема о перпендикуляре к прямой.
    • Понятие теоремы.
    • Метод доказательства от противного.

    Теорема – утверждение, справедливость которого устанавливается путём рассуждений.

    Отрезок – часть прямой, ограниченная двумя точками.

    Перпендикуляр к прямой – это отрезок прямой, перпендикулярной к данной, который имеет одним из своих концов их точку пересечения.

    Основная литература:

    1. Атанасян Л. С. Геометрия: 7–9 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. – М.: Просвещение, 2017. – 384 с.
    2. Погорелов А. В. Геометрия: 7–9 класс. // Погорелов А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 224 с.

    Дополнительная литература:

    1. Атанасян Л. С. Геометрия: Методические рекомендации 7 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Глазков Ю. А. и др. – М.: Просвещение, 2019. – 95 с.
    2. Зив Б. Г. Геометрия: Дидактические материалы 7 класс. // Зив Б. Г., Мейлер В. М. – М.: Просвещение, 2019. – 127 с.
    3. Мищенко Т. М. Дидактические материалы и методические рекомендации для учителя по геометрии 7 класс. // Мищенко Т. М., – М.: Просвещение, 2019. – 160 с.
    4. Атанасян Л. С. Геометрия: Рабочая тетрадь 7 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Глазков Ю. А., Юдина И. И. – М.: Просвещение, 2019. – 158 с.
    5. Иченская М. А. Геометрия: Самостоятельные и контрольные работы 7–9классы. // Иченская М. А. – М.: Просвещение, 2019. – 144 с.

    Теоретический материал для самостоятельного изучения.

    Пешеходный переход, так называемая «зебра», расположен под углом 90 градусов к улице. Выбор такого угла сделан не случайно. Ведь перейти дорогу пешеходам необходимо как можно быстрее. Такой путь оказывается самым коротким. Чтобы быстрее добраться от метро Площадь Восстания в Санкт-Петербурге до Набережной реки Фонтанки, необходимо идти по Невскому проспекту, перпендикулярно реке.

    Ножки стола крепятся перпендикулярно столешнице. Маятник часов расположен перпендикулярно верхней стенке часов.

    Если считать улицу, набережную реки Фонтанки, ребро столешницы, ребро стенки часов моделями прямых, то можно говорить, что на каждой картинке построены перпендикуляры к прямой.

    Примеры с картой и пешеходным переходом иллюстрируют тот факт, что перпендикуляр к прямой – это кратчайший путь от точки до прямой. Такой путь называется расстоянием.

    Пример с часами поможет нам запомнить происхождение слова перпендикуляр. В переводе с французского перпендикуляр означает висеть. То есть, перпендикуляр – это отвес.

    Читайте также:
    Пересечение и объединение множеств - определение, формулы

    Дадим определение перпендикуляра к прямой.

    Мы знаем, что перпендикулярными прямыми называются две пересекающиеся прямые, которые образуют при пересечении четыре прямых угла.

    Часть одной из этих прямых является перпендикуляром к прямой.

    Выделенная часть прямой ограничена двумя точками, значит, по определению, – это отрезок. Один из концов этого отрезка является точкой пересечения перпендикуляра и прямой, к которой он проведен.

    Определение:

    перпендикуляр к прямой – это отрезок прямой, перпендикулярной к данной, который имеет одним из своих концов их точку пересечения.

    Н – основание перпендикуляра.

    Предположим, что вы купаетесь в море недалеко от берега. Вдруг появилась акула, необходимо срочно плыть к берегу. Конечно, вы выберите самый короткий путь. А мы уже знаем, что в геометрии этот путь называют перпендикуляром к прямой.

    Всегда ли можно найти кратчайший путь? Сколько существует способов построения кратчайшего пути?

    Если на пути нет препятствий, например, здания, ямы, в данном примере – других пловцов, то самый короткий путь проделать можно. И такой путь единственный.

    В геометрии любое утверждение требует доказательства. Сформулируем теорему о перпендикуляре к прямой.

    Теорема: из точки, не лежащей на прямой, можно провести перпендикуляр к этой прямой, и притом только один.

    По условию теоремы нам даны прямая и точка.

    Заключение теоремы состоит из двух частей – существование перпендикуляра и его единственность.

    1.Через точку А можно провести перпендикуляр к прямой BC.

    2.Данный перпендикуляр единственный.

    1. Отложим от луча BC∠MBC =∠ABC.
    2. Наложим ∠MBC на ∠ABC, BC и BA совместятся с BC и BM, точка A наложится на точку A1ϵ BM.
    3. H–точка пересечения прямой AA1 и BC.
    4. AHBC.

    1. Допустим, существует другой перпендикуляр AH1AHBC и AH1BC, это невозможно.

    Разбор заданий тренировочного модуля.

    Задание 1. Построить перпендикуляр к прямой.

    Для этого можно использовать чертёжный угольник, одну сторону которого от угла в 90 градусов прикладываем к прямой, к которой проведём перпендикуляр из точки, не лежащей на этой прямой, а вторую сторону угольника совместим с точкой, от которой проведём перпендикуляр к прямой.

    Задание 2. На рисунке изображены два перпендикуляра АB и СD к прямой а, при этом АB = СD.

    Докажем, что треугольники ABD и CDВ равны.

    По условию в треугольниках ABD и CDВ, сторона АBравна стороне СD.

    ABа =>∠ABD = 90° (по определению перпендикулярных прямых).

    СDа => ∠CDВ = 90° (по определению перпендикулярных прямых).

    Следовательно, ∠ABD = ∠CDВ.

    Сторона BD – общая,

    Следовательно, ∆ABD = ∆CDВ

    (по первому признаку равенства треугольников: по двум сторонам и углу между ними).

    Перпендикулярные прямые, условие перпендикулярности прямых

    В статье рассматривается вопрос о перпендикулярных прямых на плоскости и трехмерном пространстве. Определение перпендикулярных прямых и их обозначения с приведенными примерами подробно разберем. Рассмотрим условия применения необходимого и достаточного условия перпендикулярности двух прямых и подробно рассмотрим на примере.

    Перпендикулярные прямые – основные сведения

    Угол между пересекающимися прямыми в пространстве может быть прямым. Тогда говорят, что данные прямые перпендикулярные. Когда угол между скрещивающимися прямыми прямой, тогда прямые также являются перпендикулярными. Отсюда следует, что перпендикулярные прямые на плоскости пересекающиеся, а перпендикулярные прямые пространства могут быть пересекающимися и скрещивающимися.

    Читайте также:
    Как разделить отрезок на равные части линейкой и циркулем

    То есть понятия «прямые a и b перпендикулярны» и «прямые b и a перпендикулярны» считаются равноправными. Отсюда и взялось понятие взаимно перпендикулярные прямые. Обобщив вышесказанное, рассмотрим определение.

    Две прямые называют перпендикулярными, если угол при их пересечении дает 90 градусов.

    Перпендикулярность обозначается « ⊥ », а запись принимает вид a ⊥ b , что значит, прямая a перпендикулярна прямой b .

    Например, перпендикулярными прямыми на плоскости могут быть стороны квадрата с общей вершиной. В трехмерном пространстве прямые O x , O z , O y перпендикулярны попарно: O x и O z , O x и O y , O y и O z .

    Перпендикулярность прямых – условия перпендикулярности

    Свойства перпендикулярности необходимо знать, так как большинство задач сводится к его проверке для последующего решения. Бывают случаи, когда о перпендикулярности идет речь еще в условии задания или когда необходимо пользоваться доказательством. Для того, чтобы доказать перпендикулярность достаточно, чтобы угол между прямыми был прямым.

    Для того, чтобы определить их перпендикулярность при известных уравнениях прямоугольной системы координат, необходимо применить необходимое и достаточное условие перпендикулярности прямых. Рассмотрим формулировку.

    Для того, чтобы прямые a и b были перпендикулярными, необходимо и достаточно, чтобы направляющий вектор прямой обладал перпендикулярностью относительно направляющего вектора заданной прямой b .

    Само доказательство основывается на определении направляющего вектора прямой и на определении перпендикулярности прямых.

    Пусть введена прямоугольная декартова система координат О х у с заданными уравнениями прямой на плоскости, которые определяют прямые a и b . Направляющие векторы прямых a и b обозначим a → и b → . Из уравнения прямых a и b необходимым и достаточным условием является перпендикулярность векторов a → и b → . Это возможно только при скалярном произведении векторов a → = ( a x , a y ) и b → = ( b x , b y ) равном нулю, а запись имеет вид a → , b → = a x · b x + a y · b y = 0 . Получим, что необходимым и достаточным условием перпендикулярности прямых a и b , находящихся в прямоугольной системе координат О х у на плоскости, является a → , b → = a x · b x + a y · b y = 0 , где a → = ( a x , a y ) и b → = b x , b y – это направляющие векторы прямых a и b .

    Условие применимо, когда необходимо найти координаты направляющих векторов или при наличии канонических или параметрических уравнений прямых на плоскости заданных прямых a и b .

    Заданы три точки A ( 8 , 6 ) , B ( 6 , 3 ) , C ( 2 , 10 ) в прямоугольной системе координат О х у . Определить, прямые А В и А С перпендикулярны или нет.

    Прямые А В и А С имеют направляющие векторы A B → и A C → соответственно. Для начала вычислим A B → = ( – 2 , – 3 ) , A C → = ( – 6 , 4 ) . Получим, что векторы A B → и A C → перпендикулярны из свойства о скалярном произведении векторов, равном нулю.

    A B → , A C → = ( – 2 ) · ( – 6 ) + ( – 3 ) · 4 = 0

    Очевидно, что необходимое и достаточное условие выполнимо, значит, А В и А С перпендикулярны.

    Ответ: прямые перпендикулярны.

    Определить, заданные прямые x – 1 2 = y – 7 3 и x = 1 + λ y = 2 – 2 · λ перпендикулярны или нет.

    Решение

    a → = ( 2 , 3 ) является направляющим вектором заданной прямой x – 1 2 = y – 7 3 ,

    b → = ( 1 , – 2 ) является направляющим вектором прямой x = 1 + λ y = 2 – 2 · λ .

    Перейдем к вычислению скалярного произведения векторов a → и b → . Выражение будет записано:

    a → , b → = 2 · 1 + 3 · – 2 = 2 – 6 ≠ 0

    Результат произведения не равен нулю, можно сделать вывод, что векторы не перпендикулярны, значит и прямые также не перпендикулярны.

    Ответ: прямые не перпендикулярны.

    Необходимое и достаточное условие перпендикулярности прямых a и b применяется для трехмерного пространства, записывается в виде a → , b → = a x · b x + a y · b y + a z · b z = 0 , где a → = ( a x , a y , a z ) и b → = ( b x , b y , b z ) являются направляющими векторами прямых a и b .

    Читайте также:
    Теорема Пифагора ℹ формула, история открытия, доказательство прямой и обратной теорем, способы применения на практике, примеры решения задач

    Проверить перпендикулярность прямых в прямоугольной системе координат трехмерного пространства, заданные уравнениями x 2 = y – 1 = z + 1 0 и x = λ y = 1 + 2 · λ z = 4 · λ

    Знаменатели из канонических уравнений прямых считаются координатами направляющего вектора прямой. Координаты направляющего вектора из параметрического уравнения – коэффициенты. Отсюда следует, что a → = ( 2 , – 1 , 0 ) и b → = ( 1 , 2 , 4 ) являются направляющими векторами заданных прямых. Для выявления их перпендикулярности найдем скалярное произведение векторов.

    Выражение примет вид a → , b → = 2 · 1 + ( – 1 ) · 2 + 0 · 4 = 0 .

    Векторы перпендикулярны, так как произведение равно нулю. Необходимое и достаточное условие выполнено, значит прямые также перпендикулярны.

    Ответ: прямые перпендикулярны.

    Проверка перпендикулярности может проводится, исходя из других необходимых и достаточных условий перпендикулярности.

    Прямые a и b на плоскости считаются перпендикулярными при перпендикулярности нормального вектора прямой a с вектором b , это и есть необходимое и достаточное условие.

    Данное условие применимо, когда уравнения прямых дают быстрое нахождение координат нормальных векторов заданных прямых. То есть при наличии общего уравнения прямой вида A x + B y + C = 0 , уравнения прямой в отрезках вида x a + y b = 1 , уравнения прямой с угловым коэффициентом вида y = k x + b координаты векторов возможно найти.

    Выяснить, перпендикулярны ли прямые 3 x – y + 2 = 0 и x 3 2 + y 1 2 = 1 .

    Исходя их уравнений, необходимо найти координаты нормальных векторов прямых. Получим, что n α → = ( 3 , – 1 ) – это нормальный вектор для прямой 3 x – y + 2 = 0 .

    Упростим уравнение x 3 2 + y 1 2 = 1 до вида 2 3 x + 2 y – 1 = 0 . Теперь четко видны координаты нормального вектора, которые запишем в такой форме n b → = 2 3 , 2 .

    Векторы n a → = ( 3 , – 1 ) и n b → = 2 3 , 2 будут перпендикулярными, так как их скалярное произведение даст в итоге значение равное 0 . Получим n a → , n b → = 3 · 2 3 + ( – 1 ) · 2 = 0 .

    Необходимое и достаточное условие было выполнено.

    Ответ: прямые перпендикулярны.

    Когда прямая a на плоскости определена при помощи уравнения с угловым коэффициентом y = k 1 x + b 1 , а прямая b – y = k 2 x + b 2 , отсюда следует, что нормальные векторы будут иметь координаты ( k 1 , – 1 ) и ( k 2 , – 1 ) . Само условие перпендикулярности сводится к k 1 · k 2 + ( – 1 ) · ( – 1 ) = 0 ⇔ k 1 · k 2 = – 1 .

    Выяснить, перпендикулярны ли прямые y = – 3 7 x и y = 7 3 x – 1 2 .

    Прямая y = – 3 7 x имеет угловой коэффициент, равный – 3 7 , а прямая y = 7 3 x – 1 2 – 7 3 .

    Произведение угловых коэффициентов дает значение – 1 , – 3 7 · 7 3 = – 1 , то есть прямые являются перпендикулярными.

    Ответ: заданные прямые перпендикулярны.

    Имеется еще одно условие, используемое для определения перпендикулярности прямых на плоскости.

    Для перпендикулярности прямых a и b на плоскости необходимым и достаточным условием является коллинеарность направляющего вектора одной из прямых с нормальным вектором второй прямой.

    Условие применимо, когда есть возможность нахождения направляющего вектора одной прямой и координат нормального вектора другой. Иначе говоря, одна прямая задается каноническим или параметрическим уравнением, а другая общим уравнением прямой, уравнением в отрезках или уравнением прямой с угловым коэффициентом.

    Определить, являются ли заданные прямые x – y – 1 = 0 и x 0 = y – 4 2 перпендикулярными.

    Получаем, что нормальный вектор прямой x – y – 1 = 0 имеет координаты n a → = ( 1 , – 1 ) , а b → = ( 0 , 2 ) – направляющий вектор прямой x 0 = y – 4 2 .

    Отсюда видно, что векторы n a → = ( 1 , – 1 ) и b → = ( 0 , 2 ) не коллинеарны, потому что условие коллинеарности не выполняется. Не существует такого числа t , чтобы выполнялось равенство n a → = t · b → . Отсюда вывод, что прямые не являются перпендикулярными.

  • Рейтинг
    ( Пока оценок нет )
    Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
    Добавить комментарий

    ;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: