Как разделить отрезок на равные части линейкой и циркулем

Деление отрезка на равные части

Мы умеем с помощью циркуля и линейки делить отрезок только на 2, на 4, на 8 и т. д. число равных частей (§ 21). Укажем теперь способ делить отрезок на любое число равных частей.

Пусть потребуется отрезок АВ (черт. 156) разделить на 5 равных частей. Проведем от одного конца этого отрезка, например, от В, под произвольным углом прямую ВС. На этой прямой отложи от конца В пять раз какой-нибудь отрезок; получим точки 1, 2, 3, 4, 5. Последнюю точку 5 соединим с концом А данного отрезка и ч через точ-ки1, 2, 3, 4 проведем прямые, параллельные прямой A 5. Можно указать, что эти прямые разделят отрезок АB на 5 равных частей в точках I, II, III, IV.

Для доказательства проведем через точки I, II, III,IV прямые, параллельные ВC (черт. 157). Получим треугольники В 1I, IC II, IID III, IIIЕ IV, IV, у которых В –I, I–II, II–III, III–IV, IV–A равны между собою (потому что каждая из них, кроме 1–1, равна противоположной стороне параллелограмма, а В- 1, В -2, 2–3, 3–4, 4–5 равны друг другу). Из равенства же указанных треугольников (СУС) вытекает равенство отрезков B -I, 1-11, II–III, III–IV, IV–V.

Применения

Н о н и у с. Ш т а н г е н ц и р к у л ь

Умея делить прямолинейные отрезки на любое число частей, можно изготовить приспособление, полезное для точных измерений – так называемый «нониус».

Для примера рассмотрим следующий простейший нониус. Полоску (масштаб, черт. 158) длиною в 9 см разделим на 10 равных частей; по 0,9 см каждая; получим полоску CD (нониус). Пусть теперь требуется измерить длину небольшого предмета М. Прикладываем его к полоскам АВ и CD, как показывает черт. 159, и замечаем, какие деления обеих полосок совпадают. Предположим, что совпали 6-е деления. Это показывает, что длина предмета равна разнице между 6-ю делениями масштаба ПАВ и 6-ю делениями нониуса. Но 6 делений полоски АВ = 6 см, а 6 делений нониуса = 6 0,9 = 5,4 см. Следовательно, длина предмета равна 6 – 5,4 = 0,6 см. Вообще, длина измеряемого предмета равна стольким десятым долям деления масштаба, сколько единиц в совпадающих делениях масштаба и нониуса.

Если бы мы для изготовления нониуса взяли не 9 сантиметров, а 9 миллиметров, и разделили их общую длину на 10 равных частей, то разность между одним делением масштаба и одним делением нониуса равнялась бы 0,01 см. Следовательно, помощью такого нониуса мы могли бы измерять мелкие предметы с точностью до 0,1 миллиметра.

Нониус обычно применяется в форме так наз. «штангенциркуля», употребляемого для точного измерения мелких предметов. Иногда нониусом снабжается и «микрометр» – инструмент для точного измерения толщины.

Сходным образом может быть устроен нониус для точного измерения дуг. Если 9 градусных делений разделить на 10 частей, то так устроенный нониус позволит измерять дуги с точностью до 0,1 градуса, т. е. до 6.

64. На черт. 160 показано, как можно воспользоваться метром, чтобы разделить ширину доски на равные части. На чем этот способ основан?

Р е ш е н и е. Мы имеем в этом случае ряд параллельных прямых, проведенных через равноудаленные друг от друга точки одной стороны угла; они должны отсечь от другой стороны угла (т. е. от края доски) равные отрезки.

65. Середины сторон прямоугольника с диагональю 10 см последовательно соединены прямыми линиями. Найти обвод образовавшегося четырехугольника.

Р е ш е н и е. Каждая сторона этого четырехугольника равна половине диагонали (как линия, соединяющая середину двух сторон треугольника), т. е. 5 см. Значит обвод четырехугольника = 20 см.

Средняя линия трапеции

Предварительные упражнения

На черт. 161 прямые АВ и CD параллельны. Прямая KL проведена через середину О отрезка EF. Докажите, что треугольники КОЕ и FOL равны.

Читайте также:
Как построить высоту треугольника циркулем и угольником - алгоритм

В четырехугольнике AFED (черт. 155) сторона AFDE и параллельна ей. Докажите, что этот четырехугольник есть параллелограмм.

С р е д н е й л и н и е й трапеции называется прямая, соединяющая середины ее непараллельных сторон (черт. 162). Этот отрезок обладает следующим свойством:

с р е д н я я л и н и я т р а п е ц и и р а в н а п о л у с у м м е е е о с н о в а н и й.

Удостовериться в этом можно так. Пусть в трапеции ABCD (черт. 163) прямая EF есть средняя линия, т. е. соединяет середины непараллельных сторон АВ и DC. Проведем через точку F прямую, параллельную АВ и продолжим AD до пересечения с сейчас проведенной линией. Треугольники FDM и FNC равны (УСУ), следовательно, MD = NC. Четырехугольник EBNF есть параллелограмм (EB = l/2AB; FN = 1/2MN; AB-=MN; значит, ЕВ равно и параллельно FN и т. д.); поэтому EF = BN. Точно так же EF = AM. Зная это, пишем:

Мы убедились, что во всякой трапеции средняя линия равна полусумме ее оснований. Вспомнив, что площадь трапеции равна полусумме ее оснований, умноженной на ее высоту, мы можем высказать следующим образом правило вычисления площади трапеции:

п л о щ а д ь т р а п е ц и и р а в н а е е с р е д н е й л и н и и, у м н о ж е н н о й н а в ы с о т у.

Повторительные вопросы к §§ 57 и 58

Что называется средней линией треугольника? – Каким свойством она обладает? – Как разделить данный отрезок на несколько равных частей? – Начертите какой-нибудь отрезок и разделите его на 3 равные части. – Разделите взятый вами отрезок на 7 равных частей. – Что называется средней линией трапеции? – Каким свойством она обладает? – Как можно вычислить площадь трапеции, если известны ее высота и средняя линии?

Применения

66. Фигура АВCD (черт. 164) ограничена прямой AD, двумя перпендикулярами АВ и CD и кривой ВС. Чтобы определить ее площадь, отрезок AD разделен на 5 равных частей, и из середины этих отрезков 1, 2, 3, 4, 5 восстановлены перпендикуляры к AD. Длина отрезка AD = 80 см; длины перпендикуляров: в точке 1 – 28 см, в 2 – 31 см, в.3 – 31,5 см, в 4 -32 см, в 5 – 34 см. Найти площадь АВСD.

Р е ш е н и е. Площадь первой слева полосы = 28 16 = = 448 кв. см, второй – 31 16 = = 496 кв. см, третьей – 31,5 16 = = 504кв. см, четвертой – 32 16 = 512 кв. см, пятой – 34 16 = 544 кв. см. Искомая площадь = 2 500 кв. см.

IX. МНОГОУГОЛЬНИКИ

Cуммa углов многоугольника

Мы знаем, что сумма углов у всех треугольников одна и та же (180°). Рассмотрим теперь, одинакова ли сумма углов у всех четырехугольников, у всех пятиугольников – вообще у всех «одноименных» многоугольников.

Для примера возьмем ш е с т и у г о л ь н и к (черт. 165). Проведем из какой-нибудь его вершины, напр., из A, диагонали к прочим вершинам. Мы разобьем этим наш шестиугольник на 4 треугольника. Сумма углов каждого из них 180°, а всех четырех вместе-180° 4. Но это и есть, как легко понять, сумма всех углов нашего шестиугольника.

Каковы бы ни были форма и размеры шестиугольника, он разбивается на 4 треугольника, и следовательно, сумма углов всякого шестиугольника = 180° 4 = 720°.

Если бы вместо шестиугольника, мы взяли многоугольник с другим числом сторон, например, девяти-угольник, то разбили бы его диагоналями не на 4, а на 7 треугольников; поэтому сумма углов всякого девяти-угольника равна 180° 7= 1260°.

Читайте также:
Линейные уравнения и решение задач с ними для учеников 6 класса

Таким же образом найдем, что сумма углов всякого четырехугольника 180° 2 = 360°, пятиугольника 180° 3 = 540° и т. д.

Нетрудно подметить общее правило: с у м м а у г л о в в с я к о г о м н о г о у г о л ь н и к а р а в н а 180° у м н о ж е н н ы м н а ч и с л о е г о с т о р о н б е з д в у х.

Правильные многоугольники

Многоугольник, у которого все углы и все стороны одинаковы называются п р а в и л ь н ы м.

Величину каждого угла правильного многоугольника легко вычислить, раз мы умеем вычислять сумму всех этих углов и знаем, что они одинаковы. Например, каждый угол правильного пятиугольника равен 540°/5= 108°,

правильного шестиугольника равен 720°/6= 120°, и т. д.

Применения

67. Как убедиться, что шестиугольными плитками можно покрыть пол сплошь, без промежутков?

Р е ш е н и е. Сумма углов правильного шестиугольника равна 180° [6 – 2] = 720°, и следовательно, каждый из внутрених углов = 720°/6 =120°.Так как сумма углов, расположенных вокруг общей вершины, равна 360°, то разделив 360: 120, узнаем, что, углы трех соседних плиток, должны плотно примкнуть друг к другу.

68. Можно ли сплошь покрыть пол восьмиугольными плитками?

Решение. Внутренний угол правильного восьмиугольника = 180°[8–2]/ 8 = 125°. Так как этот угол не содержится в 360° целое число раз то покрыть такими плитками пол с п л о ш ь нельзя.

§ 11. Графические построения при выполнении чертежей

При создании чертежей приходится выполнять различные графические построения: делить на равные части отрезки и окружности, строить углы, сопряжения и др. Поэтому, прежде чем приступить к выполнению чертежа, надо определить, какие построения требуется применить в данном случае.

Простейшие графические построения осуществляются с помощью чертежных инструментов -линейки, рейсшины, угольников, циркуля, лекал и пр. В математике такие построения называют геометрическими. Примерами подобных построений могут служить задачи на проведение параллельных и взаимно перпендикулярных прямых, деление отрезков, углов и окружностей на равные части и пр. Широкие возможности для графических построений открылись с появлением компьютеров.

Одни и те же графические построения могут быть выполнены различными приемами и с помощью различных инструментов. Рассмотрим некоторые из них.

11.1. Деление отрезков и построение углов. Чтобы разделить отрезок АВ на несколько равных частей, из его конца, например из точки А, проводят под любым углом к нему произвольной длины прямую (рис. 55, а) . Из точки А по ней откладывают циркулем или линейкой столько равных частей, на сколько нужно разделить отрезок, например четыре. Соединяют точку 4 с точкой В прямой и проводят параллельные ей другие прямые через точки 3, 2, 1. Полученные точки 1 2 , 30 делят отрезок АВ на четыре равные части.

Разделить отрезок на две равные части можно с помощью циркуля и линейки (рис. 55, б). Для этой цели из точек А и Б радиусом больше половины отрезка проводят дуги до их взаимного пересечения в точках С и С1. Соединив эти точки прямой, получим в пересечении ее с отрезком АВ точку D, которая является серединой заданного отрезка.

Построение различных углов, например в 45°, 60°, лучше выполнять с помощью угольников. Но строить углы, как и делить их на равные части, можно и с помощью других инструментов. Такие графические построения рассматриваются в геометрии.

  1. Вспомните последовательно графические построения, которые нужно произвести, чтобы разделить отрезок на несколько равных частей.
  2. Рассмотрите изображения, показывающие последовательность построения углов разной величины. Какие углы можно построить с помощью угольников?
Читайте также:
Как провести перпендикуляр к прямой - примеры чертежей

Задание 7. В рабочей тетради разделите отрезок, равный 60 мм, в от-ношении 2:1. Какой длины оказались отрезки?

Задание 8. С помощью угольников постройте углы в 45°, 60°, 30°, 90°, 120°, 150°.

11.2. Деление окружности на равные части. Некоторые детали имеют равномерно расположенные окружности или другие элементы, для построения которых нужно делить заданную окружность на равные части.

Для того чтобы разделить окружность на три равные части, нужно принять за центр точку пересечения окружности с одним из диаметров и провести из нее дугу, радиус которой R равен радиусу изображенной окружности (рис. 56, а). Полученные точки 1 и 3 вместе с точкой 2 разделяют заданную окружность на три равные части. Соединив точки 1, 2 и 3 прямыми, получим вписанный треугольник (рис. 56, б).

Два взаимно перпендикулярных диаметра делят окружность на четыре равные части. Соединив точки 1, 2, 3 и 4 прямыми (рис. 57), получим вписанный четырехугольник.

На шесть равных частей окружность делят так. Приняв за центры дуг точки пересечения одного из диаметров с окружностью – А и В, проводят две дуги радиусом R, равным радиусу изображенной окружности (рис. 58, а). Эти дуги пересекают окружность в четырех точках 1, 2, 3 и 4. Вместе с точками А и Б они делят окружность на шесть равных частей (рис. 58, б). Ту же задачу можно решить при помощи угольника с углами 30° и 60° и линейки (рис. 58, в).

На рисунке 59, а показано деление окружности на восемь равных частей. Для этой цели дуги 1-3, 3-5 и др. делят пополам точками 2, 4 и т. д. или делят на две равные части отрезки 1-3, 3-5 и т. д. Можно поступить так: провести через центр окружности две пары взаимно перпендикулярных диаметров (рис. 59, б).

На пять равных частей окружность можно разделить с помощью циркуля и линейки (рис. 60, а). Если разделить радиус ОА окружности пополам (точка К), провести из точки К дугу радиусом КС до пересечения ее с диаметром окружности (точка М), то отрезок СМ и будет стороной вписанного пятиугольника. Последовательно откладывая полученный отрезок на окружности, можно получить точки, которые разделят окруж-ность на пять равных частей.

Эту графическую задачу можно решить и так: пятой части окружности соответствует угол в 72° (360°: 5 = 72°); такой угол можно построить с помощью транспортира (рис. 60, б).

Рис. 60

  1. Как разделить окружность на три, четыре, шесть и восемь равных частей?
  2. С помощью каких инструментов и как можно разделить окружность на пять равных частей?

Задание 9. В рабочей тетради разделите окружность Ø40 мм на три части. Впишите в нее правильный треугольник. Измерьте его сторону и нанесите размер на чертеж.

Задание 10. Перечертите изображения деталей (рис. 61, а и б), применяя правила деления окружности на равные части. Размеры можно не проставлять.

11.3. Построение сопряжений линий. Контуры многих деталей (рис. 62) имеют плавные переходы одной линии в другую – кривой в прямую, одной кривой в другую и др. Такие плавные переходы называют сопряжениями. Точки, в которых одна линия переходит в другую, называют точками сопряжений (точки А и Б на рис. 63). Центры, из которых проводят дуги для построения сопряжений, называют центрами сопряжений. Радиус дуги, с помощью которой осуществляют построение сопряжения, называют радиусом сопряжения.

Рассмотрим некоторые примеры. Для построения сопряжения двух прямых линий, пересекающихся под любым углом (рис. 64), необходимо выполнить следующие построения.

Рис. 64

  1. Найти центр сопряжения – точку О. Она лежит на расстоянии радиуса сопряжения (R) от заданных прямых и является точкой пересечения двух прямых, проведенных параллельно заданным прямым.
    В точке пересечения этих прямых и находится центр сопряжения О. Величина радиуса R задается в условии задачи.
  2. Найти точки сопряжения. Для этого проводят перпендикуляры из центра сопряжения О к заданным прямым. Полученные точки А и Б являются точками сопряжений.
  3. Провести дугу заданного радиуса между точками сопряжений А и Б, поставив опорную ножку циркуля в точку О.
Читайте также:
Внутренние односторонние углы - определение, свойство, правило

Таким образом, для построения сопряжения надо найти центр сопряжения, точки сопряжений, знать радиус сопряжения.

При построении сопряжений следует иметь в виду, что переход от прямой к окружности будет плавным в том случае, если прямая касается окружности (см. рис. 63, а). Точка сопряжения А лежит на радиусе, перпендикулярном данной прямой.

Переход от одной окружности к другой будет плавным, если окружности касаются друг друга. Точка сопряжения Б находится на прямой, соединяющей их центры (рис. 63, б).

Сопряжение окружности и прямой, при заданном радиусе сопряжения R1, выполняют следующим образом (рис. 65).

Рис. 65

  1. Из центра окружности – точки О – проводят дугу вспомогательной окружности радиусом R + R.
  2. Проводят на расстоянии R от заданной прямой параллельную ей прямую до пересечения с дугой радиуса R + R1 в точке О1. Точка О1 будет центром сопряжения.
  3. Соединяют прямой точки О и O1, т. е. центры окружности и сопрягающей дуги, получают точку сопряжения А. Определяют вторую точку сопряжения В, проведя из точки О1 перпендикуляр к прямой.
  4. Из центра сопряжения О1 дугой радиуса R1 соединяют точки сопряжения А и Б и получают плавный переход от окружности к прямой.

Выполняя чертеж, следует определять последовательность геометрических построений. Такой процесс называют анализом графического состава изображений.

  1. Что понимают под сопряжением линий?
  2. Назовите графические построения, которые необходимо выполнить для построения сопряжений двух прямых, прямой с окружностью.

Графическая работа № 2. Чертеж детали

По наглядному изображению (рис. 66, а и б) постройте чертеж одной из деталей с применением сопряжений. Проставьте размеры.

Отрезок. Ломаная линия

Отрезок представляет собой часть прямой линии, которая находится между двумя точками. Эти точки называют концы отрезка.
Иными словами, отрезок – это множество точек прямой линии, находящиеся между двух известных точек, которые называют концами отрезка.

Рис. 1 Отрезок на прямой

Чтобы понять, о каком именно отрезке идет речь, называют концы этого отрезка , то есть две точки, ограничивающие его. Так, на рисунке 1 обозначен отрезок AB , лежащий на прямой a .

На одной прямой можно отметить бесконечное число отрезков . Например, на рисунке 2 изображена прямая c и точки M , O , N и P принадлежащие этой прямой. Они делят участок прямой на следующие отрезки:

  • MP
  • MO
  • MN
  • NO
  • OP
  • NP

Рис. 2 Несколько отрезков на прямой

Называть отрезок (то есть точки, которые являются его концами) можно как слева направо, так и справа налево. Так, в последнем примере «отрезок MN » и «отрезок NM » являются названиями одного и того же отрезка. Но принято, что при обозначении отрезка мы называем его конечные точки слева направо .

Отрезок делит прямую линию на три объекта (смотри рисунок 3):

  • отрезок DE
  • луч a с началом в точке D
  • луч b с началом в точке E

То есть, два конца отрезка прямой являются соответственно началами двух лучей этой же прямой.

Рис. 3 Отрезок и лучи прямой

В большинстве случаев в школьном курсе математики отрезки рассматриваются без привязки к прямой , которой они принадлежат. То есть, рисуют сам отрезок, а остальную часть прямой (образовавшиеся лучи) просто «отбрасывают».

Рис. 4 Отрезок без прямой

И наоборот, если продлить отрезок , нарисованный как на рисунке 4, в обе стороны за концы этого отрезка, то мы получим прямую , на которой лежит данный отрезок.

Если точки лежат на одной прямой с отрезком и находятся между концами этого отрезка, то говорят, что эти точки принадлежат отрезку .

Рис. 5 Отрезок и принадлежащие ему точки

Так, на рисунке 5 видно, что:

  • (·) C ∈AB – точка C принадлежит отрезку AB;
  • (·) D ∈AB – точка D принадлежит отрезку AB;
  • (·) E ∉AB – точка E не принадлежит отрезку AB;
  • (·) F ∉AB – точка F не принадлежит отрезку AB.
Читайте также:
Числовые выражения - определение, значения, формулы для 7 класса

В последнем случае точка F хотя и лежит на одной прямой линии с отрезком AB (если вы мысленно продлите линию от точки B дальше, то увидите это), но не принадлежит ему, потому что находится не между его концами, а справа от отрезка.

Точки, которые лежат на отрезке, делят его на более короткие отрезки . На рисунке 6 видно, что точка O поделила отрезок LM на меньшие отрезки LO и OM . Каждый из этих двух меньших отрезков называются частью отрезка .

Рис. 6 Отрезок и части отрезка

Построение и измерение отрезка

Произвольный отрезок можно построить двумя способами:

  1. Отметить часть прямой линии, обозначив края этой части точками (рисунок 7-а).
  2. Обозначить на листе бумаги (на плоскости) две произвольные точки и соединить их между собой прямой линией (рисунок 7-б).

Рис. 7 Построение произвольного отрезка

В отличие от прямой линии и луча, которые длятся бесконечно, отрезок имеет длину , поэтому его можно измерить .

Измерить отрезок можно:

  • относительным способом (сравнить отрезки между собой);
  • абсолютным способом (определить его длину измерительным инструментом).

Сравнить отрезки между собой можно при помощи циркуля или циркуля-измерителя. Для этого нужно сперва поставить иглу на один конец отрезка, а затем вторую иглу или грифельный стержень (если используется обычный чертежный циркуль) совместить со вторым концом отрезка (рисунок 8).

После этого нужно перенести циркуль на второй отрезок и поставить одну иглу на любой его конец. Если вторая игла циркуля совпадает со вторым концом отрезка, тогда эти отрезки равны .

Рис. 8 Сравнение отрезков

На рисунке 8 видно, что:

  • отрезок AB равен отрезку DE (записывают просто AB=DE);
  • FG
  • HK>AB

Длину отрезка измеряют линейкой с делениями или другим измерительным инструментом.

Длина отрезка – это расстояние между концами этого отрезка.

Равные отрезки — это такие отрезки, которые имеют одинаковую длину.

На рисунке 9 измерены длины отрезков предыдущего рисунка. Проверьте, правильно ли мы сравнили эти отрезки при помощи циркуля?

Рис. 9 Измерение длины отрезка

Кроме произвольного, также требуется построить отрезок определенной длины .

Для этого на плоскости обозначают один конец отрезка (ставят точку), а затем при помощи линейки отмеряют необходимую длину отрезка (к примеру, 9 см), ставят точку второго конца отрезка и соединяют оба конца линией.

Рис. 10 Построение отрезка заданной длины

Отрезок — это самое короткое расстояние между двумя точками.

В этом вы можете убедиться самостоятельно на практике. Возьмите любой твердый длинный предмет, например, линейку, и шнурок. Линейка будет играть роль отрезка, а из шнурка сделайте кривую и ломаную линию, наподобие таких, какие показаны на рисунке 11, и соедините ими два конца линейки. После чего выпрямите шнурок и сравните его длину с длиной линейки.

Рис. 11 Кривая, ломаная, отрезок

Ломаная линия

Ломаная линия – это линия, которая состоит из отрезков, принадлежащих разным прямым, и эти отрезки последовательно соединены друг с другом.

Рис. 12 Ломаная линия

Вершинами ломаной линии называются концы отрезков , из которых она состоит.
Звеньями ломаной линии называются составляющие ее отрезки .
Смежные звенья – это звенья, которые имеют общие вершины .
Смежные звенья не могут принадлежать одной прямой.
Длина ломаной линии – это сумма длин всех входящих в ее состав звеньев.

На рисунке 12 видно, что:

  • KLMN – ломаная линия;
  • K, L, M, N – вершины ломаной KLMN;
  • KL, LM, MN – звенья ломаной KLMN;
  • KL и LM – смежные звенья;
  • LM и MN – смежные звенья;
  • KL и MN – не являются смежными звеньями.

Называют ломаную линию по названию ее вершин, соблюдая их последовательность. Так, называть ломаную на рисунке 11 как KLMN или NMLK – правильно , а MLKN или MNLK – не правильно .

Количество звеньев у ломаной линии может быть каким угодно, бесконечным, но самое меньшее – это два звена.

Замкнутая ломаная линия – это такая ломаная, у которой совпадают точки начала и конца, то есть, которая начинается и заканчивается в одной точке.
Разомкнутая (не замкнутая) ломаная линия начинается и заканчивается в разных точках.

Читайте также:
Теорема Пифагора ℹ формула, история открытия, доказательство прямой и обратной теорем, способы применения на практике, примеры решения задач

Название разомкнутой ломаной начинается с названия вершины, с которой она начинается. Замкнутую ломаную можно называть , начиная с любой ее вершины.

  • ABCDE — замкнутая ломаная;
  • FGHKLM — разомкнутая ломаная

Рис. 12. Замкнутая и разомкнутая ломаные линии

Самопересекающаяся ломаная линия – это такая ломаная, у которой есть хотя бы два пересекающихся звена.

Самопересекающимися могут быть как замкнутые, так и разомкнутые ломаные.

Рис. 13. Самопересекающиеся ломаные линии

На рисунке 13 у замкнутой ломаной ABCD два пересекающихся звена: BC ∩ DA , а у разомкнутой ломаной EFGHI – три: EF ∩ HI и FG ∩ HI .

Деление отрезка на 2, 4, 8, . равных частей с помощью циркуля и линейки – Ответы (ГДЗ) к рабочей тетради по математике 4 класс 2 часть (Рудницкая, Юдачева)

170. 1) Проверьте, используя циркуль, являются ли отмеченные на отрезках точки их серединами.

2) Постарайтесь на глаз определить середину каждого отрезка. Отметьте ее точкой. Проверьте себя с помощью циркуля.

171. Проведите две окружности с центрами в точках А и В и радиусом 2 см. Отметьте цветным карандашом точки пересечения окружностей. Проведите прямую через эти точки. Отметьте другим цветом точку пересечения этой прямой с отрезком АВ. Проверьте с помощью циркуля, является ли эта точка серединой отрезка АВ.

172. Разделите отрезок с помощью циркуля и линейки:

1) на 2 равные части.

2) на 4 равные части.

3) на 8 равных частей.

ВСПОМИНАЕМ ПРОЙДЕННОЕ

173. Выполните действия.

174. Вера, Дима и Юра – дети из одной семьи. Стрелка на рисунке означает отношение “быть братом”. Проведите недостающе стрелки и прочитайте все высказывания.

175. Изобразите стрелками отношение “быть сестрой”, если в семье трое детей: Катя, Миша и Даша.

176. Сравните величины.

177. Начертите прямую так, чтобы она пересекла ломаную:

1) в двух точках; 2) в четырех точках.

178. Вычислите значение выражения.

179. Точки А и В – концы ломанной. Изобразите ломанную, состоящую из восьми звеньев.

Как разделить отрезок на 4 равные части при помощи линейки и циркуля о?

Геометрия | 5 – 9 классы

Как разделить отрезок на 4 равные части при помощи линейки и циркуля о.

Циркулем отметь с одного конца до другого растоянее, а теперь этим растоянием(циркулем)проведи с одного конца круг, а потом этим же растоянием(циркулем) с другого конца круг.

Где пересеклись круги поставь точки .

Теперь от этих точек (не трогая растояние циркуля) проведи круги и у тебя получится середина отрезка.

И так же но только растояние циркуля долно быть от середины до одного из концов отрезка, а действие токое же.

А линейкой все просто, отмерь длину отрезка и подели на 4 равные части.

Начертите отрезок и с помощью циркуля и линейки разделите его пополам?

Начертите отрезок и с помощью циркуля и линейки разделите его пополам.

Как развёрнутый угол(180%) разделить на три равные части с помощью линейки и циркуля?

Как развёрнутый угол(180%) разделить на три равные части с помощью линейки и циркуля.

Нужно также объяснение.

Как с помощью циркуля и линейки построить отрезок длина которого равна 2х3 под знаком квадратного корня?

Как с помощью циркуля и линейки построить отрезок длина которого равна 2х3 под знаком квадратного корня?

С помощью циркуля и линейки разделите отрезок на 8 равных частей?

С помощью циркуля и линейки разделите отрезок на 8 равных частей.

Если можете нарисуйте в Paint.

Как с помощью циркуля и линейки разделить на три равные части угол 54 градуса?

Как с помощью циркуля и линейки разделить на три равные части угол 54 градуса?

(описать процесс деления).

С помощью циркуля и линейки разделить угол 64 градуса на четыре равных угла?

С помощью циркуля и линейки разделить угол 64 градуса на четыре равных угла.

Читайте также:
Объем цилиндра ℹ определение, формулы расчета через диаметр и площадь основания, примеры нахождения объема полого цилиндра, онлайн-калькулятор

Как поделить отрезок на пять равных частей при помощи циркуля?

Как поделить отрезок на пять равных частей при помощи циркуля?

ОЧЕНЬ СРОЧНО, УМОЛЯЮ?

ОЧЕНЬ СРОЧНО, УМОЛЯЮ!

Разделите отрезок 12 см на 4 части, с помощью циркуля.

Разделить окружность при помощи циркуля на 5 равных частей?

Разделить окружность при помощи циркуля на 5 равных частей.

Как с помощью циркуля и линейки разделить угол в 35◦ на семь равных частей?

Как с помощью циркуля и линейки разделить угол в 35◦ на семь равных частей?

Перед вами страница с вопросом Как разделить отрезок на 4 равные части при помощи линейки и циркуля о?, который относится к категории Геометрия. Уровень сложности соответствует учебной программе для учащихся 5 – 9 классов. Здесь вы найдете не только правильный ответ, но и сможете ознакомиться с вариантами пользователей, а также обсудить тему и выбрать подходящую версию. Если среди найденных ответов не окажется варианта, полностью раскрывающего тему, воспользуйтесь «умным поиском», который откроет все похожие ответы, или создайте собственный вопрос, нажав кнопку в верхней части страницы.

Ab = 52 ok = 8 = r r = (ac + bc – ab) / 2 ac + bc = ab + 2r = 52 + 16 = 68 P = ac + bc + ab = 68 + 52 = 120.

Решение задания смотри на фотографии.

1)Качество получение образование 2)Стаж работы учителей , их профессиональность 3)Благоустройсво школы 4)Качество работы директора 5)Расположение.

1) Т. К. СКВ и АКВ – смежные, находим ВКА = 180 – 110 = 70 2) По теореме о сумме углов в треугольнике находим КВА = 180 – 70 – 54 = 56 3) Т. К. ВК – биссектриса, то АВК = КВС 4) Находим угол С (теорема о сумме углов в треугольнике) : 180 – 110 – 56..

Угол АОВ равен 150 градусов так как смежные.

В трапеции АВСD проведем высоты ВМ и СН (96 – (23 + 47)) : 2 = 13 – боковая сторона АМ = (47 – 23) : 2 = 12 Δ АВМ – прямоугольный ВМ – h трапеции По теор. Пифагора : АМ = √АВ² – АМ² = √(13² – 12²) = √(169 – 144) = 5 – высота трапеции S = 1 / 2(BC + ..

2)Найдём угол АДС = 180 – 75 = 105 градусов – потому что углы смежные и их сумма равна 180 градусам Найдя угол АДС, мы можем найти АБС, который будет равен также 105 градусам – т. К. противолежащие углы параллелограмма равны Из этого следует, что БА..

Дано : ∆АВС равнобедренный Пусть В Вершина Сторона АС 25 см Сторона СВ 10 см Найти : Основание Решение ; Сумма двух сторон всегда больше другой стороны АВ – 10 см так как треугольник равнобедренный при вершине В АВ.

Да. Напоимер, трапеция АВСД АД||ВС Угол А = угол В = 90 градусов. Угол C не равен 90 градусов. Угол Д не равен 90 градусов. Это прямоугольная трапеция.

Да, эта трапеция называется прямоугольная! Ещё бывает равнобедренная трапеция, у которой углы при основаНИЯХ равны и разносторонняя.

Привет

Русскоязычный информационно-болтологический форум

Разделить отрезок на три части

Разделить отрезок на три части

Post by perasperaadastra » Thu Feb 19, 2015 10:43 pm

Представьте, что вам нужно разделить какой-то отрезок на три части. У вас есть циркуль, линейка (без делений) и карандаш для пометок. Вам нужно получить меру равную одной трети отрезка. Ограничение: не допускается использовать метод Фалеса.

Подсказка: задача хоть и имеет геометрическую интерпретацию, но изначально алгебраическая.

Re: Разделить отрезок на три части

Post by DropAndDrag » Fri Feb 20, 2015 3:19 am

– строите параллельную прямую
– откладываете на ней три равных отрезка, чтобы получить второй отрезок длиннее, чем ваш
– проводите 2 прямые через края вашего отрезка и второго отрезка. прямые должны пересечься и получится треугольник, у которого одна вершина лежит не на отрезке
– проводите 2 прямые от этой вершины до поделенного отрезка
– 2 прямые разделят ваш отрезок на 3 равные части

Читайте также:
Точки пересечения графиков функций - понятие, как их найти

можно позаморачиваться с трапецией и разделить ваш отрезок на любое кол-во частей без откладывания равных отрезков сможете, скажем на 7

а вот как притянуть метод Фалеса (где надо надо начертить 4 параллельных прямых) – я что-то и как-то не вижу .

Re: Разделить отрезок на три части

Post by perasperaadastra » Fri Feb 20, 2015 8:58 am

Я не подумал про этот способ. Тут есть аналогия с методом Фалеса — они оба используют проецирование. В методе Фалеса нужно будет отложить три отрезка на вспомогательном луче, соединить крайние точки двух отрезков прямой, а дальше построить к ней две параллельные прямые, которые пересекут и разделят изначальный отрезок на три части.

На самом деле, я думал о другом методе. Давайте заменим линейку и циркуль на катушку тонкой проволоки и ножницы. Допустим, проволока легко сгибается на 180 градусов и выпрямляется без растягивания. Конечная мера из одного или нескольких кусков проволоки должна быть равна 1/3 отрезка (с погрешностью, определяемой невозможностью иметь бесконечно малый радиус изгиба). Задача не геометрическая.

Re: Разделить отрезок на три части

Post by Teh Instructor » Fri Feb 20, 2015 9:14 am

Re: Разделить отрезок на три части

Post by perasperaadastra » Fri Feb 20, 2015 10:29 am

Re: Разделить отрезок на три части

Post by Teh Instructor » Fri Feb 20, 2015 11:05 am

Re: Разделить отрезок на три части

Post by DropAndDrag » Fri Feb 20, 2015 7:33 pm

начинали с циркуля и линейки, а дошли .

вы лучше попробуйте с трапециями поиграться
скажем можно использовать циркуль, чтобы нарисовать параллельную прямую отрезку, а дальше только линейку . сможете

Re: Разделить отрезок на три части

Post by perasperaadastra » Tue Feb 24, 2015 7:28 pm

Re: Разделить отрезок на три части

Post by Deynekin » Fri Feb 27, 2015 8:15 pm

  • Форум Привет
  • ↳ Общие разделы
  • ↳ О жизни
  • ↳ Политика
  • ↳ Украина
  • ↳ Эмиграция
  • ↳ Вопросы Истории
  • ↳ Возвращение
  • ↳ Финансы
  • ↳ Канадский Клуб
  • ↳ Инвестирование
  • ↳ Города и окрестности
  • ↳ Прочее
  • ↳ Дом. Быт. Семья
  • ↳ Наши дети
  • ↳ Наши родители
  • ↳ Мой дом
  • ↳ Продажа и покупка недвижимости
  • ↳ Огород
  • ↳ Ремонт и строительство
  • ↳ Мастерская
  • ↳ Здоровье
  • ↳ Кулинария
  • ↳ Фитнес
  • ↳ Шоппинг
  • ↳ Работа. Карьера. Образование
  • ↳ Работа и Карьера в IT
  • ↳ Образование
  • ↳ Карьера и Работа
  • ↳ Пенсии
  • ↳ Вопросы и новости IT
  • ↳ Английский язык
  • ↳ Русский и другие языки
  • ↳ Малый бизнес
  • ↳ Хобби. Досуг. Искусство
  • ↳ Путешествия
  • ↳ Наука и Жизнь
  • ↳ Отдых и Cпорт
  • ↳ Авиация, космонавтика, мореплавание
  • ↳ Фото-Видео
  • ↳ Головоломки
  • ↳ Литература и Искусство
  • ↳ О братьях наших меньших
  • ↳ Воспоминания
  • ↳ Юмор, шутки
  • ↳ Об оружии
  • ↳ Электроника
  • ↳ Автомобили
  • ↳ За рулём
  • ↳ Административные вопросы
  • ↳ Матчасть
  • ↳ Техника вождения
  • ↳ Разделы по интересам
  • ↳ О религии
  • ↳ По ту сторону разума
  • ↳ Разное
  • ↳ Ищу друзей
  • ↳ Объявления
  • ↳ Анти-Реклама
  • ↳ Архив
  • Board index
  • All times are UTC-07:00
  • Delete cookies
  • Contact us

Powered by phpBB® Forum Software © phpBB Limited

Урок геометрии по теме “Теорема Вариньона. Решение задач”. 8-й класс

Класс: 8

Презентация к уроку

Загрузить презентацию (276 кБ)

Цель: изучить теорему Вариньона и научиться применять ее на практике с наименьшими временными затратами.

Задачи:

  1. Изучить теоретический материал: понятия «параллелограмм Вариньона», бимедианы четырехугольника, разобрать доказательство теоремы Вариньона и следствия из нее.
  2. Сравнить количество времени, необходимое для решения задач традиционным способом и, используя теорему Вариньона.
  3. Показать решение олимпиадных заданий с помощью параллелограмма Вариньона.

Ход урока

Введение

В 21 век, в век информационных технологий, главным ресурсом является время. Тысячи людей желают посещать тренинги, семинары и лекции по тайм-менеджменту, где бы их научили, как рационально, с минимальными потерями и максимальной пользой использовать свое время. Большую часть времени у ученика занимает обучение в школе и приготовление домашнего задания. Одним из самых сложных предметов в школе является геометрия. В частности, задачи на доказательство требуют значительной траты времени, поэтому у многих отсутствует интерес к решению подобных заданий. В теме «Четырехугольники» эту проблему может решить использование теоремы Вариньона.

Читайте также:
Уравнения с параметром - классификация и формулы, решение задач

Пьер Вариньон – французский математик и механик 18 века, который первым доказал, что середины сторон выпуклого четырехугольника являются вершинами параллелограмма. Эта теорема вызвала интерес у отечественных ученых лишь в 20 веке. Подробно ее применение показал украинский геометр – Г.Б.Филипповский и кандидат физико-математических наук, доцент МГУ В.В. Вавилов. В школе теорема Вариньона не входит в курс программы, но считаю изучение её необходимым.

1. Теоретическая часть

Вариньон Пьер [1] (1654–1722)

Пьер Вариньон родился во Франции в 1654 году. Обучался в иезуитском коллеже и университете в Кане, где стал магистром в 1682 году. Вариньон готовился к религиозной деятельности, но, изучая сочинения Эвклида и Декарта, увлекся математикой и механикой. Труды Вариньона посвящены теоретической механике, анализу бесконечно малых, геометрии, гидромеханике и физике. Вариньон был одним из первых ученых, ознакомивших Францию с анализом бесконечно малых. В конце 17 и начале 18 в. Вариньон руководил «Журналом ученых», в котором помещали свои работы по исчислению бесконечно малых братья Бернулли. В геометрии Вариньон изучал различные специальные кривые, в частности ввел термин «логарифмическая спираль». Главные заслуги Вариньона относятся к теоретической механике, а именно к геометрической статике. В 1687 Вариньон представил в Парижскую АН сочинение «Проект новой механики. », в котором сформулировал закон параллелограмма сил. В 1725 в Париже был издан трактат Вариньона «Новая механика или статика», представляющий собой систематическое изложение учения о сложении и разложении сил, о моментах сил и правилах оперирования ими, почти без изменений сохранившееся в учебниках статики до нашего времени. Написал учебник по элементарной геометрии (издан в 1731).

Теорема Вариньона [2]

Четырехугольник, образованный путем последовательного соединения середин сторон выпуклого четырехугольника, является параллелограммом, и его площадь равна половине площади данного четырехугольника.

ABCD – выпуклый четырехугольник

AK=KB; BL=LC; CM=MD; AN=ND

1) KLMN – параллелограмм;

  1. Рассмотрим одну из сторон четырехугольника KLMN, например KL. KL средняя линия треугольника ABC(по определению),следовательно, KLAC. Аналогично, так как MN средняя линия треугольника ADC,то MNAC. Так как KLAC и MNAC следовательно, KLNM и KL=MN=AC/2. Таким образом, KLMN – параллелограмм. Этот параллелограмм называется параллелограммом Вариньона данного четырехугольника.
  2. Средняя линия треугольника отсекает от него треугольник, площадь которого в четыре раза меньше площади исходного треугольника,
  3. т.е. SKBL = SABC/4, SMDN=SADS/4. Следовательно, S1+S3=SABCD /4. Аналогично, S2+S4=SABCD/4. Следовательно, S1+S3 + S2+S4 = SABCD /4 + SABCD/4 = SABCD/2.

Т.е., SKLMN = SABCD/2. Что и требовалось доказать.

Определение. Бимедианы четырехугольниках [3] – это отрезки, соединяющие середины противоположных сторон (диагонали параллелограмма Вариньона)

Следствия из теоремы Вариньона

Параллелограмм Вариньона является ромбом тогда и только тогда, когда в исходном четырехугольнике 1) диагонали равны 2) бимедианы перпендикулярны.

Доказать: KLMN – ромб

Так как AC=BD (диагонали исходного четырехугольника равны по условию), то стороны параллелограмма Вариньона будут равны KL=LM=MN=NK (используя свойство средних линий треугольников, образованных при пересечении диагоналей исходного четырехугольника). Параллелограмм c равными сторонами является ромбом.

KLMN – параллелограмм Вариньона;

KM и LN перпендикулярны

Бимедианы исходного четырехугольника – это диагонали параллелограмма Вариньона. Так как в параллелограмме диагонали перпендикулярны, то этот параллелограмм является ромбом (по признаку ромба).

Что и требовалось доказать.

Параллелограмм Вариньона является прямоугольником тогда и только тогда, когда в исходном четырехугольнике: 1) диагонали перпендикулярны; 2) бимедианы равны

Читайте также:
Как перевести десятичную дробь в обыкновенную - правило и примеры

KLMN – параллелограмм Вариньона;

диагонали AC и BD – перпендикулярны

Так как диагонали AC и BD – перпендикулярны, то стороны параллелограмма Вариньона будут перпендикулярны. Следовательно, параллелограмм Вариньона является прямоугольником.

KLMN – параллелограмм Вариньона;

бимедианы KM и LN – равны

Бимедианы исходного четырехугольника – это диагонали параллелограмма Вариньона. Так как в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм является прямоугольником (по признаку прямоугольника).

Что и требовалось доказать.

Параллелограмм Вариньона является квадратом тогда и только тогда, когда в исходном четырехугольнике 1) диагонали равны и перпендикулярны; 2) бимедианы равны и перпендикулярны

KLMN – параллелограмм Вариньона;

диагонали AC и BD – перпендикулярны; AC=BD

Так как диагонали исходного четырехугольника AC и BD равны и перпендикулярны, то стороны параллелограмма Вариньона будут равны и перпендикулярны. Следовательно, параллелограмм Вариньона является квадратом.

KLMN – параллелограмм Вариньона;

бимедианы KM и LN – перпендикулярны; KM=LN

Доказать: KLMN – квадрат

Бимедианы исходного четырехугольника – это диагонали параллелограмма Вариньона. Так как в параллелограмме диагонали равны и перпендикулярны, то этот параллелограмм является квадратом (по признаку квадрата).

Что и требовалось доказать.

2. Практическая часть. Решение задач.

Докажите, что а) середины сторон прямоугольника являются вершинами ромба. И наоборот, б) середины сторон ромба являются вершинами прямоугольника.

а) Диагонали прямоугольника равны, поэтому середины сторон прямоугольника являются вершинами ромба (см. следствие 1);

Стороны прямоугольника перпендикулярны, поэтому бимедианы перпендикулярны, тогда середины сторон прямоугольника являются вершинами ромба (см. следствие 1).

б) диагонали ромба перпендикулярны, поэтому середины сторон ромба являются вершинами прямоугольника (см. следствие 2);

Стороны ромба равны, поэтому середины сторон ромба являются вершинами прямоугольника (см. следствие 2).

У четырехугольника диагонали равны aи b. Найдите периметр четырехугольника, вершинами которого являются середины сторон данного четырехугольника.

Периметр параллелограмма Вариньона равен a+b.

Докажите, что середины сторон четырехугольника являются вершинами параллелограмма.

См. теорему Вариньона.

Докажите, что средние линии четырехугольника делятся точкой пересечения пополам.

Т.к. средние линии четырехугольника являются диагоналями параллелограмма Вариньона, то точка пересечения делит их пополам.

Олимпиадные задачи

1. Докажите, что если диагонали четырехугольника равны, то его площадь равна произведению средних линий [5].

Доказать: SABCD= KM*LN

Так как диагонали AC = BD, параллелограмм Вариньона является ромбом, площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.

Что и требовалось доказать.

2. Докажите, что суммы площадей накрест лежащих четырехугольников, образованных пересечением бимедиан LN и KM выпуклого четырехугольника ABCD равны [6].

Воспользуемся теоремой о средней линии треугольника.

Что и требовалось доказать.

Заключение

«Нет ничего нового под солнцем, но есть кое-что старое, чего мы не знаем», – сказал американский литератор Лоренс Питер.

Пьер Вариньон жил в 18 веке, но теорема Вариньона как нельзя актуальна именно в наши дни, когда чтобы всё успеть, необходимо гораздо больше, чем 24 часа в сутки.

Поэтому была поставлена цель: изучить теорему Вариньона и научиться применять ее на практике с наименьшими временными затратами.

Для этого был разобран весь теоретический материал, решены задачи базового уровня, а также повышенной сложности (олимпиадные). Было подсчитано, что на решение задачи традиционным способом затрачивается 15-20 минут, а зная теорему Вариньона и следствия из нее, доказательство сводится к одному-двум предложениям и занимает 1-2 минуты. При этом экономия времени на доказательство в среднем составляет 15 минут. Таким образом, уже даже решение трех задач добавит дополнительные сорок пять минут (т.е. целый урок) на доказательство других, более сложных.

От этого повышается не только интерес к изучению данного предмета, но и сам процесс работы приносит удовлетворение. Цель работы считаю достигнутой.

Рейтинг
( Пока оценок нет )
Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Добавить комментарий

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: