Линейные уравнения и решение задач с ними для учеников 6 класса

Урок 43 Бесплатно Решение уравнений

Сегодня на уроке вспомним, что такое уравнение и что называют корнем уравнения. Рассмотрим один из видов уравнений: линейное уравнение с одним неизвестным, определим его общий вид и узнаем, как называются составные части такого равенства.

Разберем способы и приемы решения линейных уравнений с одним неизвестным.

Рассмотрим алгоритм и пример решения задач с помощью линейных уравнений.

Линейное уравнение

В реальной жизни нам часто приходится решать множество различных примеров и задач.

Связать реальную жизнь и математическое описание любой ситуации нам позволяет математическая модель.

Составив математическую модель жизненной задачи, мы можем превратить слова в формулы, неравенства, равенства, уравнения и т.п.

Математическая модель задачи в виде уравнения позволяет установить связи между всеми данными задачи, а также применить эту модель-уравнение для решения огромного множества подобного типа задач.

Вам уже хорошо известно, что уравнение – это математическое равенство, содержащее неизвестное число, которое необходимо определить.

Неизвестное число, входящее в уравнение, называют неизвестным членом данного уравнения.

Принято обозначать неизвестный член уравнения маленькими латинскими буквами.

Чаще всего в математике используют буквы x, y, z.

Найти неизвестное число, при котором из уравнения получается верное равенство, – это значит решить уравнение, т.е. найти корни уравнения или убедиться, что корней нет.

Корень уравнения – это значение неизвестного числа в уравнении, при котором уравнение обращается в верное равенство.

Уравнения могут иметь разное количество корней.

Существуют уравнения, имеющие один единственный корень, и уравнения, вообще не имеющие корней.

Встречаются уравнения, решением которых являются несколько значений (два, три и более), а в некоторых случаях уравнение может иметь бесконечное множество решений.

Уравнение, в котором находится одна неизвестная, называют уравнением с одной неизвестной.

х + 3 = 6 (уравнение с одной неизвестной х)

3 ∙ у = 15 (уравнение с одной неизвестной y).

Существуют уравнения с большим количеством неизвестных: с двумя, тремя и т. д.

Рассмотрим, что представляют собой линейные уравнения с одной неизвестной.

Линейные уравнения с одной неизвестной называют уравнения вида a ∙ x = b, где a ≠ 0

х– неизвестное число

a и b– некоторые числа:

а– это коэффициент уравнения.

b– это свободный член уравнения.

Линейное уравнение с одной неизвестной может быть представлено в виде a ∙ x + b = 0, оно является равнозначным уравнению вида a ∙ x = ax = b.

У меня есть дополнительная информация к этой части урока!

Уравнения с одним неизвестным умели решать в Древнем Вавилоне и в Древнем Египте более четырех тысяч лет назад.

Дошедшие до нас источники свидетельствуют, что знания о неизвестных величинах и методах их вычисления, которыми тогда владели ученые, были образными.

Одним из древнейших задачников по математике (примерно 1700 г до н.э.) является древнеегипетский папирус Ахмеса (также известный, как папирус Ринда (Райнда) по имени его первого владельца).

Папирус Ахмеса содержит условия и решения 84 задач. Он является наиболее полным старейшим математическим сборником задач, дошедшим до наших дней.

Все задачи, описанные и решенные в нем, имели практическое значение и могли применяться в строительстве, в межевании земельных наделов и т.д.

Папирус содержит множество задач, которые сводятся к решению различных видов уравнений, в том числе и к линейным уравнениям.

Папирус был обнаружен в 1858 г. Сейчас большая часть рукописи хранится в Британском музее.

В III веке н.э. древнегреческий математик Диофант Александрийский в своей рукописи «Арифметика» изложил 130 задач, которые решались с помощью определенных (имеющих одно решение) и неопределенных уравнений.

Уравнения, изложенные в книге, сейчас называются «Диофантовыми уравнениями».

Также Диофант Александрийский впервые ввел буквенную символику в математику.

Однако первым руководством по решению задач стал научный труд багдадского ученого IX века Мухамеда Бен Мусы аль-Хорезми «Книга о восстановлении и противопоставлении».

Данная научная работа стала началом становления науки о решении уравнений.

Мухамед Бен Муса аль-Хорезми впервые представил алгебру (раздел математики) как самостоятельную науку об общих методах решения уравнений, предложил классификацию уравнений.

Но его математические сочинения в большей степени выражались словесно, в связи с чем казались очень громоздкими и сложными.

Читайте также:
Теорема Пифагора ℹ формула, история открытия, доказательство прямой и обратной теорем, способы применения на практике, примеры решения задач

Значительно упростить и облегчить описание и решение уравнений удалось великому французскому ученому XVI века Франсуа Виету.

Он был первым, кто ввел буквенное обозначение коэффициентам уравнений и неизвестным величинам.

Установил связь между корнями и коэффициентами уравнения.

Франсуа Виет внедрил в науку мысль о том, что преобразования можно производить не только над величинами, но и над символами, таким образом, решать любую задачу в общем виде, т.е., по сути, он ввел понятие математической формулы.

До сих пор многие идеи Виета являются актуальными и востребованными

Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации

Решение задач с помощью линейных уравнений

Урок разработан по программе обновленного образования, с применением систем оценивания.

Содержимое разработки

Школа «КГУ Сухорабовская средняя школа»

Липко Светлана Владимировна

«Решение текстовых задач с одной переменной»

6.5.1.6 решать текстовые задачи с помощью составления линейных уравнений

Уровни навыков мышления

Знание, применение, анализ

– Развитие умений решать задачи с помощью уравнений;

– Применять правила решения линейных уравнений, находить ответ (корни уравнения)

– Анализировать условие задачи с ее решением

Урок применения знаний и умений

Знает, как решать линейные уравнения

Понимает, как составлять уравнение по условию задачи

Применяет правила решения линейных уравнений, находит ответ (корни уравнения)

Анализирует решение, проверяет корни уравнения в соответствии условия задачи, записывает ответ

Развитие математического языка, навыки устной и письменной речи, навыки логического мышления и вычислений

Приобщение к ценностям

Национальная безопасность и участие страны в решении всемирных, региональных проблем с глобальной точки зрения.

Предыдущие знания по теме

6.2.2.1-Знать и применять свойства верных числовых равенств.

6.2.2.2- знать определение линейного уравнения с одной переменной, равносильных уравнений

6.2.2.3- решать линейные уравнения с одной переменной

Запланированные этапы урока

Запланированная деятельность на уроке

Начало урока

Приветствие учителя и учеников.

Создание коллаборативной ситуации.

(АМ начала образовательного мероприятия) Упражнение: «Говорящие руки»

Цель игры: Эмоционально-психологическое сближение участников за счет телесного контакта.

Выполняется, молча, только руками. Учащиеся становятся в 2 круга: внутренний и внешний, стоя лицом друг к другу. Учитель дает команду движения по два (одному) шага вправо или влево и задание образовавшимся парам.

Поздороваться с помощью рук.

Выразить поддержку с помощью рук.

Выразить радостную эмоцию.

Передать тепло своей души

Девиз урока:

Любую задачу можно решить

Коль вычесть унынье,

Устный опрос «мозговой штурм»

(активный метод дискуссия)

-Что называют уравнением?

(это равенство, содержащее переменную, значение которой надо найти)

-Что значит решить уравнение?

(найти его корни или доказать , что их нет).

-Что такое корни уравнения?

(значение переменной, при котором уравнение превращается в верное числовое равенство)

-Что значит решить задачу при помощи уравнения?

(обозначить неизвестный элемент через переменную, составить уравнение по условию, выполнить вычисления, сделать проверку, записать ответ.)

-Какие ситуации могут возникнуть, когда будут найдены корни уравнения?

(не все корни могут удовлетворять решению)

Самопроверка домашнего задания

Учащиеся проверяют домашнее задание, отмечают «+» (правильно) или «–» (есть ошибка).

Озвучивают результат, обращают внимание на характер допущенных ошибок.

Учитель дает обратную связь ученику.

Что повторить, на какие правила и примеры обратить внимание в процессе урока.

Так же получить помощь ученика, который хорошо понял данную тему.

Пока ученики работают самостоятельно, учитель раздает учащимся:

1) оценочный лист.

2) критерии оценивания по заданиям на каждом этапе урока. (Приложение 1)

В течение урока учащиеся заполняют соответствующие столбцы по заданиям. В конце урока подсчитают баллы.

Мелодия из мультфильма «Облака» (с компьютера)

Слайд с решением и ответом

Середина урока

28 мин

1. Индивидуальная работа

1. Выберите правильный корень уравнения

а) 8х-10=3х, если х= -2; 2; 6

б)3(х+12)=15х, если х= – 4; 3; 4

2. В классах 6а и 6б 43 ученика, причем во втором классе на 5 учеников больше.

Выбрать правильный ответ задачи

а)24 , 18 б) 19 и 21 в) 24 и 19

г) 19 и 14 д) 19 и 24

Читайте также:
Теорема Вариньона - определение, формулировка, доказательство

Знает, как решать линейные уравнения

Находит корень уравнения

2. Метод «Диалоговое обучение» (работа в парах). (идет взаимообучение, побуждается мотивация к учебной деятельности)

Решить задачу. (По учебнику стр. 25 №880)

В первом ряду кустов смородины в 2,5раза больше чем во втором. Если с первого ряда пересадить 12 кустов на второй, то количество кустов смородины в каждом ряду станет одинаковым. Сколько кустов смородины было во втором ряду первоначально?

Понимает, как составлять уравнение по условию задачи

Составляет краткую запись, или делает схему

Задает параметр к задаче (обозначает неизвестный элемент)

Составляет уравнение по условию задачи

Решает уравнение, находит корень уравнения

Проверяет ответ по условию, записывает

2,5 16=40 кустов было во втором ряду

3. Дифференцированная посадка учеников

(Игра «транспорт» (по типу игры « фруктовый салат»)

Ученикам раздаются картинки с разным видом транспорта (велосипеды, легковые машины, грузовые..).

Ребята выходят на площадку. Когда учитель показывает зеленый кружок транспорт двигается в хаотичном состоянии , когда желтый- то просто гудит, красный –стоит, молчит. Далее учитель говорит: « зеленый домой» – то каждый вид транспорта встает в свой гараж (ученики собираются по виду транспорта).

Так происходит деление на группы.

( Учитель раздает карточки так, чтобы в группу попали ученики уровня А В С. Чтобы в процессе решения, обсуждения, изображения решения приняли участие все участники группы. Одновременно происходит и обучение более слабого ученика, развиваются коммуникативные и творческие способности ).

Активный метод дискуссия. Приобщение к ценностям, через правила ПДД.

Повторяем с ребятами правила ПДД пешехода.

Когда можно переходить проезжую часть?

(по сигналу светофора)

(по специальным обозначениям на дороге, знакам)

Для безопасности движения, что необходимо еще сделать?

(посмотреть налево и направо, обратить внимание на движущийся транспорт)

Работа с учебником. Задание №887 стр. 26

Две машины движутся с одинаковой скоростью. Время, за которое первая машина проехала 195км,на 2ч меньше времени, за которое вторая машина проехала 325км. За сколько часов проехала вторая машина 325км?

Ученикам раздать постеры, карандаши.

Рисунок и решения показать на постерах, сделать пояснения к решению при выступлении.

Происходит работа в группах, задается время.

Ученики группы поясняют свое решение, дополняют ответ.

Решение линейных уравнений. 6-й класс

Разделы: Математика

Класс: 6

Цели урока:

  • повторить правила раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых;
  • ввести определение линейного уравнения с одним неизвестным;
  • познакомить учащихся со свойствами равенств;
  • научить решать линейные уравнения;
  • научить решать задачи на «было − стало».

Оборудование: компьютер, проектор.

Ход урока

I. Проверка предыдущего домашнего задания.

II. Повторение теоретического материала.

  1. Как найти неизвестное слагаемое? [От суммы отнять известное слагаемое]
  2. Как найти неизвестное уменьшаемое? [К вычитаемому прибавить разность]
  3. Как найти неизвестное вычитаемое? [От уменьшаемого отнять разность]
  4. Как найти неизвестный множитель? [Произведение разделить на известный множитель]
  5. Как найти неизвестное делимое? [Делитель умножить на частное]
  6. Как найти неизвестный делитель? [Делимое разделить на частное]
  7. Как раскрыть скобки, перед которыми стоит знак плюс? [Опустить скобки и этот знак плюс, переписать слагаемые с теми же знаками]
  8. Как раскрыть скобки, перед которыми стоит знак минус? [Опустить скобки и этот знак минус, переписать слагаемые с противоположными знаками]
  9. Как выглядит распределительное свойство умножения? [(a+b)∙c=ac+bc]

III. Устные задания по слайдам.

(слайд 2, слайд 3).

1) Раскройте скобки:

3+(х+2); 3-(х+2); 3+(х-7); 3-(х-7); 3+(-х+5); 3-(-х+5); -4(-5-х); 9(; 9(; 2(7+9х); 4(2-3х); -6(9-5х); -3(1+4х).

2) Приведите подобные слагаемые:

6b-b; 9,5m+3m; a –a; m-m; -4x-x+3; 7x-6y-3x+8y.

3) Упростите выражение:

IV. Новая тема. Решение линейных уравнений.

До сегодняшнего урока мы не умели решать уравнения, в которых неизвестное находилось слева и справа от знака равенства: 3x+7=x+15. Некоторые из нас постоянно забывают правила нахождения неизвестного слагаемого, уменьшаемого, вычитаемого. Сегодня мы постараемся разрешить все эти затруднения.

Уравнение, которое можно привести к виду ax=b, где a и b − некоторые числа (a0), называется линейным уравнением с одним неизвестным.

Линейные уравнения обладают свойствами:

  1. Корни уравнения не изменяются, если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю (стр. 229 учебника).
  2. Корни уравнения не изменяются, если какое-нибудь слагаемое перенести из одной части уравнения в другую, изменив при этом его знак (стр. 230 учебника).
Читайте также:
Пересечение и объединение множеств - определение, формулы

Рассмотрим план решения линейного уравнения:

х-1+(х+2)=-4(-5-х)-5
х-1+х+2=20+4х-5
х+х-4х=20-5+1-2
-2х=14
х=14:(-2)
х=-7
Ответ: -7.
1) раскрыть скобки, если они есть;
2) слагаемые, содержащие неизвестное, перенести в левую часть равенства, а не содержащие неизвестное − в правую;
3) привести подобные слагаемые;
4) найти неизвестный множитель.

Какими из свойств равенств мы воспользовались для решения уравнения? (вторым)

Рассмотрим примеры уравнений, при решении которых будет удобно воспользоваться и первым свойством.

х+3=х+5 │∙9 Удобно умножить на наименьшее общее кратное знаменателей дробей.

(х+3)∙9=(х+5)∙9 Далее − по плану.

Линейные уравнения — алгоритмы и примеры решений с объяснением для 6 класса

Простые равенства с неизвестными — первоначальный этап знакомства с линейными уравнениями. Примеры с объяснением для 6 класса основываются не только на решении последних, но и на базовых определениях, а также использования формул сокращенного умножения для понижения степени до единицы. Математики рекомендуют начать с теории, а затем перейти к ее практическому применению.

Общие сведения

Уравнение — совокупность чисел и переменных. Иными словами, тождеством, содержащим неизвестные величины, называется математическая запись, в которой следует определить значения переменных, превращающих это выражение в истинное. Например, переменная t в выражении 2t=6 эквивалентна 3, поскольку 2*3=6.

Линейное — тождество, в котором максимальный показатель степени при неизвестной величине всегда эквивалентен единице.

В математике существует термин «корень уравнения». Он означает, что для решения равенства необходимо найти все допустимые значения, превращающие его в истинное тождество. Далее следует разобрать классификацию линейных выражений с переменными.

Классификация уравнений

Прежде чем рассматривать примеры уравнений по алгебре в 7 классе (изучаются подробнее, чем в 6-м), необходимо разобрать их классификацию, поскольку она влияет на алгоритм нахождения корней. Они бывают трех типов:

  • Обыкновенные.
  • С параметром.
  • Высшей степени.

    Первый вид — обыкновенные приведенные линейные уравнения, состоящие из числовых величин и переменных с единичным степенным показателем. Они являются наиболее распространенными не только в математике и физике, но и в других дисциплинах с физико-математическим уклоном. Графиком их функции является прямая линия, которую также называют прямо пропорциональной зависимостью.

    Ко второму типу относятся любые многочлены линейного типа, имеющие переменную, а также некоторый параметр. Последний влияет на решение и нахождение корней. Обычно он задается на начальном этапе решения, но бывают и исключения. В последнем случае необходимо указывать диапазон допустимых значений параметра.

    Суть решения второго вида уравнений — предотвратить превращение тождества в пустое множество. Для этой цели требуется исключить при помощи записи в виде неравенства все ложные значения параметра. Выражения с параметром применяются в программировании при написании и разработке различных алгоритмов. Кроме того, их можно встретить при описании физических процессов и явлений.

    Последний тип — выражения высшей степени, которые при помощи математических преобразований превращаются в первый или второй тип. Для их решения необходимо знать формулы сокращенного умножения, понижающие степень до единицы, а также навык раскрытия скобок и приведения подобных компонентов.

    Обыкновенные тождества

    Простое линейное уравнение записывается в таком виде: At+Bt+Ct+As+Bs+Cs=0. Некоторых коэффициентов может и не быть. Кроме того, тождество может записываться в виде выражения, включающего в свой состав скобки. Алгоритм решения имеет следующий вид:

  • Раскрыть скобки.
  • Произвести математические преобразования над компонентами уравнения.
  • Сгруппировать элементы: перенести неизвестные в одну, а известные — в другую сторону.
  • Найти корень или доказать его отсутствие (учитывать и знаменатель при его наличии).
  • Выполнить проверку, подставив решение в исходное равенство.

    Следует отметить, что также составляются примеры линейных уравнений для тренировки в 7 классе. Необходимо разобрать решение одного из них «7 (t-1)(t+1)-7t (t-1)=8». Решать его нужно по вышеописанному алгоритму:

  • 7 (t 2 −1)-7t 2 +7t=7t 2 −7-7t 2 +7t=8.
  • 7t 2 −7t 2 +7t-7=7t-7=8.
  • 7t=15.
  • t=2,5.
  • 7 (2,5−1)(2,5+1)-7*2,5 (2,5−1)=8. При расчете можно получить следующее тождество, которое является истинным: 8=8.

    Последний пункт реализации методики свидетельствует о том, что корень тождества найден правильно. Далее нужно рассмотреть выражения с параметром.

    Выражения с параметром

    Уравнения с некоторым параметром решаются немного по другой методике. Ее суть заключается в нахождении корня, дополнительно зависящего от некоторого значения. Алгоритм имеет следующий вид:

    Читайте также:
    Вычитание дробей - решение, правила и примеры

  • Записать равенство.
  • Раскрыть скобки и привести подобные элементы к общему виду.
  • Выполнить математические преобразования, при помощи которых следует отделить некоторый параметр от переменной.
  • Записать диапазон значений, при которых неизвестная величина в третьем пункте не превращает уравнение в пустое множество.
  • Записать формулу определения корня.
  • При необходимости подставить значение параметра.
  • Проверить результат.

    Реализацию методики необходимо рассмотреть на практическом примере «t-2+pt=0», где р — параметр тождества. Решать выражение нужно по такому алгоритму:

  • t-2+pt=0.
  • Опускается, поскольку в выражении нет скобок.
  • (t+pt)=t (1+p)=2.
  • p не должен быть -1: (-inf;-1)U (-1;+inf), где -inf и +inf — минус и плюс бесконечность соответственно.
  • t=2/(1+p).
  • При p=0: t=2.
  • 2−2+0*2=0.

    Иногда в некоторых задачах нет необходимости подставлять значение параметра. В этом случае следует просто записать формулу корня, указав допустимый интервал (диапазон) последнего. Например, в вышеописанном примере решение записывается следующим образом: t=2/(1+p) . Каждый ученик должен понять основной смысл решения уравнений этого типа — научиться находить область значений параметра, не превращающие выражение в пустое множество.

    Понижение степени

    Некоторые уравнения представлены степенью при неизвестной, превышающую единицу. К ним относятся следующие виды: квадратные, кубические и бикубические. Каждый из трех видов имеет собственный алгоритм нахождения корней.

    Однако некоторые из них можно свести к линейному типу. Для этого применяется метод разложения на множители. Он подразумевает алгебраические соотношения, при помощи которых выражение легко записывается в обыкновенной линейной форме. К ним относятся следующие:

  • v^2+2vw+w^2=(v+w)^2=(v+w)(v+w).
  • v^2-2vw+w^2=(v-w)^2=(v-w)(v-w).
  • v^2-w^2=(v-w)(v+w).

    Первая и вторая формула называется квадратом суммы или разности соответственно. Третья — разность квадратов. Кроме того, бывают случаи, при которых невозможно применить эти тождества. Для этого требуется выносить общий множитель за скобки, тем самым понижая степень. Для нахождения корней существует определенная методика:

  • Написать равенство с неизвестным.
  • Выполнить анализ его структуры и сопоставить с одним из соотношений. Если операцию выполнить невозможно, то следует осуществить математические преобразования по вынесению общего множителя.
  • Решить линейные уравнения.
  • Произвести проверку, подставив корни или корень в исходное выражение в первом пункте методики.

    Реализация алгоритма нужно проверить на практическом примере, т. е. следует решить уравнение «3t^2-3=0». Найти его корни можно, воспользовавшись вышеописанной методикой:

  • 3t^2-3=0.
  • 3(t^2-1)=0.
  • Сократить обе части на 3: t^2-1=0.
  • Воспользоваться формулой сокращенного умножения (разность квадратов): (t-1)(t+1)=0.
  • У уравнения два корня: t1=1 и t2=-1.
  • Подставить t1 и t2: 3*1-3=0 и 3*(-1)^2-3=0. Оба решения являются верными, поскольку не обращают искомое тождество в пустое множество.

    Кубические и бикубические должны сводиться к квадратным, а затем преобразовываться в линейные, поскольку формулы кубов суммы и разности, при их разложении на множители, дают вторую степень. Однако существует еще один частный случай, о котором не упоминалось при классификации линейных выражений с неизвестными — системы уравнений.

    Системы линейного типа

    Система уравнений — совокупность выражений с неизвестными, которые имеют общие решения. Методика для вычисления корней имеет следующий вид:

  • Записать систему уравнений.
  • Выбрать наиболее простое тождество и выразить одну величину через другую.
  • Подставить в любое выражение переменную, выраженную во втором пункте алгоритма.
  • Раскрыть скобки и выполнить математические преобразования.
  • Решить уравнение в четвертом пункте.
  • Подставить корень, полученный на пятом шаге алгоритма, во 2 пункт.
  • Найти вторую переменную.
  • Записать результат.
  • Выполнить проверку.

    Однако для практического применения вышеописанной методики необходимо разобрать систему уравнений, состоящую из двух тождеств (5t-2s=1 и 4t^2-s^2=0). Решать ее нужно по вышеописанной методике:

  • 5t-2s=1 и 4t^2-s^2=0.
  • Простое выражение: 5t-2s=1. Выразить s: s=(5t-1)/2.
  • (2t-s)(2t+s)=[4t/2-(5t-1)/2][4t/2+(5t-1)/2]=8t=8.
  • 8t=8=>t=1.
  • 5*1-2s=1. Отсюда s=2.
  • 5*1-2*2=1=1 (равенство действительное).

    В третьем пункте математики рекомендуют разложить тождество на множители, поскольку необходимо всегда понижать степень при неизвестной величине. Во всех трех случаях описаны простые примеры, которые позволяют перейти к более сложным заданиям.

    Читайте также:
    Точки пересечения графиков функций - понятие, как их найти

    Следует отметить, что еще одним методом решения системы уравнений считается построение графиков функций, входящих в ее состав. Методика поиска решений сводится к простым шагам, которые можно править относительно предыдущего алгоритма таким образом:

  • Упростить все выражения, входящие в систему.
  • Выразить одну величину через другую в каждом выражении. Следует учитывать, что искомая переменная должна быть обязательно без степени и коэффициентов.
  • Построить отдельно для каждой функции специальные таблицы значений зависимости одной переменной от другой.
  • Начертить прямоугольную систему координат.
  • Отметить точки, исходя из таблицы, в системе координат.
  • Соединить точки плавными линиями при помощи карандаша.
  • Проделать аналогичные действия над другими тождествами (5 и 6).
  • Определить точки пересечения функций и записать их координаты.

    В последнем пункте методики находятся корни системы уравнений. Далее рекомендуется их подставить в исходные выражения для проверки.

    Таким образом, линейные уравнения применяются в различных физико-математических дисциплинах и прикладных науках. Для их решения существуют определенные методики, позволяющие выполнить эту операцию за короткий промежуток времени и не допустить ошибок.

    Решение простых линейных уравнений

    В этом видео мы разберём целый комплект линейных уравнений, которые решаются по одному и тому же алгоритму — потому и они и называются простейшими.

    Для начала определимся: что такое линейное уравнение и какое их них называть простейшим?

    — такое, в котором присутствует лишь одна переменная, причём исключительно в первой степени.

    Под простейшим уравнением подразумевается конструкция:

    Все остальные линейные уравнения сводятся к простейшим с помощью алгоритма:

    1. Раскрыть скобки, если они есть;
    2. Перенести слагаемые, содержащие переменную, в одну сторону от знака равенства, а слагаемые без переменной — в другую;
    3. Привести подобные слагаемые слева и справа от знака равенства;
    4. Разделить полученное уравнение на коэффициент при переменной $x$ .

    Разумеется, этот алгоритм помогает не всегда. Дело в том, что иногда после всех этих махинаций коэффициент при переменной $x$ оказывается равен нулю. В этом случае возможны два варианта:

    1. Уравнение вообще не имеет решений. Например, когда получается что-нибудь в духе $0cdot x=8$, т.е. слева стоит ноль, а справа — число, отличное от нуля. В видео ниже мы рассмотрим сразу несколько причин, по которым возможна такая ситуация.
    2. Решение — все числа. Единственный случай, когда такое возможно — уравнение свелось к конструкции $0cdot x=0$. Вполне логично, что какой бы $x$ мы ни подставили, все равно получится «ноль равен нулю», т.е. верное числовое равенство.

    А теперь давайте посмотрим, как всё это работает на примере реальных задач.

    Примеры решения уравнений

    Сегодня мы занимаемся линейными уравнениями, причем только простейшими. Вообще, под линейным уравнением подразумевается всякое равенство, содержащее в себе ровно одну переменную, и она идет лишь в первой степени.

    Решаются такие конструкции примерно одинаково:

    1. Прежде всего необходимо раскрыть скобки, если они есть (как в нашем последнем примере);
    2. Затем свести подобные
    3. Наконец, уединить переменную, т.е. всё, что связано с переменной — слагаемые, в которых она содержится — перенести в одну сторону, а всё, что останется без неё, перенести в другую сторону.

    Затем, как правило, нужно привести подобные с каждой стороны полученного равенства, а после этого останется лишь разделить на коэффициент при «иксе», и мы получим окончательный ответ.

    В теории это выглядит красиво и просто, однако на практике даже опытные ученики старших классов могут допускать обидные ошибки в достаточно простых линейных уравнениях. Обычно ошибки допускаются либо при раскрытии скобок, либо при подсчёте «плюсов» и «минусов».

    Кроме того, бывает так, что линейное уравнение вообще не имеет решений, или так, что решением является вся числовая прямая, т.е. любое число. Эти тонкости мы и разберем в сегодняшнем уроке. Но начнем мы, как вы уже поняли, с самых простых задач.

    Схема решения простейших линейных уравнений

    Для начала давайте я еще раз напишу всю схему решения простейших линейных уравнений:

    1. Раскрываем скобки, если они есть.
    2. Уединяем переменные, т.е. все, что содержит «иксы» переносим в одну сторону, а без «иксов» — в другую.
    3. Приводим подобные слагаемые.
    4. Разделяем все на коэффициент при «иксе».
    Читайте также:
    Как построить биссектрису - описание метода с циркулем и линейкой

    Разумеется, эта схема работает не всегда, в ней есть определенные тонкости и хитрости, и сейчас мы с ними и познакомимся.

    Решаем реальные примеры простых линейных уравнений

    Задача №1

    На первом шаге от нас требуется раскрыть скобки. Но их в этом примере нет, поэтому пропускаем данный этап. На втором шаге нам нужно уединить переменные. Обратите внимание: речь идет лишь об отдельных слагаемых. Давайте запишем:

    Приводим подобные слагаемые слева и справа, но тут уже это сделано. Поэтому переходим к четвертому шагу: разделить на коэффициент:

    Вот мы и получили ответ.

    Задача №2

    [5left( x+9 right)=5x+45]

    В этой задаче мы можем наблюдать скобки, поэтому давайте раскроем их:

    И слева и справа мы видим примерно одну и ту же конструкцию, но давайте действовать по алгоритму, т.е. уединяем переменные:

    При каких корнях это выполняется. Ответ: при любых. Следовательно, можно записать, что $x$ — любое число.

    Задача №3

    Третье линейное уравнение уже интересней:

    [left( 6-x right)+left( 12+x right)-left( 3-2x right)=15]

    Тут есть несколько скобок, однако они ни на что не умножаются, просто перед ними стоят различные знаки. Давайте раскроем их:

    Выполняем второй уже известный нам шаг:

    Выполняем последний шаг — делим все на коэффициент при «икс»:

    Что необходимо помнить при решении линейных уравнений

    Если отвлечься от слишком простых задач, то я бы хотел сказать следующее:

    • Как я говорил выше, далеко не каждое линейное уравнение имеет решение — иногда корней просто нет;
    • Даже если корни есть, среди них может затесаться ноль — ничего страшного в этом нет.

    Ноль — такое же число, как и остальные, не стоит его как-то дискриминировать или считать, что если у вас получился ноль, то вы что-то сделали неправильно.

    Еще одна особенность связана с раскрытием скобок. Обратите внимание: когда перед ними стоит «минус», то мы его убираем, однако в скобках знаки меняем на противоположные. А дальше мы можем раскрывать ее по стандартным алгоритмам: мы получим то, что видели в выкладках выше.

    Понимание этого простого факта позволит вам не допускать глупые и обидные ошибки в старших классах, когда выполнение подобных действий считается самим собой разумеющимся.

    Решение сложных линейных уравнений

    Перейдем к более сложным уравнениям. Теперь конструкции станут сложнее и при выполнении различных преобразований возникнет квадратичная функция. Однако не стоит этого бояться, потому что если по замыслу автора мы решаем линейное уравнение, то в процессе преобразования все одночлены, содержащие квадратичную функцию, обязательно сократятся.

    Пример №1

    [12-left( 1-6x right)x=3xleft( 2x-1 right)+2x]

    Очевидно, что первым делом нужно раскрыть скобки. Давайте это сделаем очень аккуратно:

    [12-left( x-6xcdot x right)=3xcdot 2x-3x+2x]

    Теперь займемся уединением:

    Очевидно, что у данного уравнения решений нет, поэтому в ответе так и запишем:

    Пример №2

    [8left( 2x-1 right)-5left( 3x+0,8 right)=x-4]

    Выполняем те же действия. Первый шаг:

    [8cdot 2x-8-left( 5cdot 3x+5cdot 0,8 right)=x-4]

    [16x-8-left( 15x+4 right)=x-4]

    Перенесем все, что с переменной, влево, а без нее — вправо:

    Очевидно, что данное линейное уравнение не имеет решения, поэтому так и запишем:

    либо корней нет.

    Нюансы решения

    Оба уравнения полностью решены. На примере этих двух выражений мы ещё раз убедились, что даже в самых простых линейных уравнениях всё может быть не так просто: корней может быть либо один, либо ни одного, либо бесконечно много. В нашем случае мы рассмотрели два уравнения, в обоих корней просто нет.

    Но я бы хотел обратить ваше внимание на другой факт: как работать со скобками и как их раскрывать, если перед ними стоит знак «минус». Рассмотрим вот это выражение:

    Читайте также:
    Степени чисел - возведение в степень в алгебре, таблица, правила

    [12-left( 1-6x right)x=3xleft( 2x-1 right)+2x]

    Прежде чем раскрывать, нужно перемножить всё на «икс». Обратите внимание: умножается каждое отдельное слагаемое. Внутри стоит два слагаемых — соответственно, два слагаемых и умножается.

    И только после того, когда эти, казалось бы, элементарные, но очень важные и опасные преобразования выполнены, можно раскрывать скобку с точки зрения того, что после неё стоит знак «минус». Да, да: только сейчас, когда преобразования выполнены, мы вспоминаем, что перед скобками стоит знак «минус», а это значит, что все, что в низ, просто меняет знаки. При этом сами скобки исчезают и, что самое главное, передний «минус» тоже исчезает.

    Точно также мы поступаем и со вторым уравнением:

    [8left( 2x-1 right)-5left( 3x+0,8 right)=x-4]

    Я не случайно обращаю внимание на эти мелкие, казалось бы, незначительные факты. Потому что решение уравнений — это всегда последовательность элементарных преобразований, где неумение чётко и грамотно выполнять простые действия приводит к тому, что ученики старших классов приходят ко мне и вновь учатся решать вот такие простейшие уравнения.

    Разумеется, придёт день, и вы отточите эти навыки до автоматизма. Вам уже не придётся каждый раз выполнять столько преобразований, вы всё будете писать в одну строчку. Но пока вы только учитесь, нужно писать каждое действие отдельно.

    Решение ещё более сложных линейных уравнений

    То, что мы сейчас будем решать, уже сложно назвать простейшими задача, однако смысл остается тем же самым.

    Задача №1

    [left( 7x+1 right)left( 3x-1 right)-21<^<2>>=3]

    Давайте перемножим все элементы в первой части:

    [7xcdot 3x+7xcdot left( -1 right)+1cdot 3x+1cdot left( -1 right)-21<^<2>>=3]

    Давайте выполним уединение:

    Выполняем последний шаг:

    Вот наш окончательный ответ. И, несмотря на то, что у нас в процессе решения возникали коэффициенты с квадратичной функцией, однако они взаимно уничтожились, что делает уравнение именно линейным, а не квадратным.

    Задача №2

    [left( 1-4x right)left( 1-3x right)=6xleft( 2x-1 right)]

    Давайте аккуратно выполним первый шаг: умножаем каждый элемент из первой скобки на каждый элемент из второй. Всего должно получиться четыре новых слагаемых после преобразований:

    [1cdot 1+1cdot left( -3x right)+left( -4x right)cdot 1+left( -4x right)cdot left( -3x right)=6xcdot 2x+6xcdot left( -1 right)]

    А теперь аккуратно выполним умножение в каждом слагаемом:

    Перенесем слагаемые с «иксом» влево, а без — вправо:

    Приводим подобные слагаемые:

    Мы вновь получили окончательный ответ.

    Нюансы решения

    Важнейшее замечание по поводу этих двух уравнений состоит в следующем: как только мы начинаем умножать скобки, в которых находится более чем оно слагаемое, то выполняется это по следующему правилу: мы берем первое слагаемое из первой и перемножаем с каждым элементом со второй; затем берем второй элемент из первой и аналогично перемножаем с каждым элементом со второй. В итоге у нас получится четыре слагаемых.

    Об алгебраической сумме

    На последнем примере я хотел бы напомнить ученикам, что такое алгебраическая сумма. В классической математике под $1-7$ мы подразумеваем простую конструкцию: из единицы вычитаем семь. В алгебре же мы подразумеваем под этим следующее: к числу «единица» мы прибавляем другое число, а именно «минус семь». Этим алгебраическая сумма отличается от обычной арифметической.

    Как только при выполнении всех преобразований, каждого сложения и умножения вы начнёте видеть конструкции, аналогичные вышеописанным, никаких проблем в алгебре при работе с многочленами и уравнениями у вас просто не будет.

    В заключение давайте рассмотрим ещё пару примеров, которые будут ещё более сложными, чем те, которые мы только что рассмотрели, и для их решения нам придётся несколько расширить наш стандартный алгоритм.

    Решение уравнений с дробью

    Для решения подобных заданий к нашему алгоритму придется добавить еще один шаг. Но для начала я напомню наш алгоритм:

    1. Раскрыть скобки.
    2. Уединить переменные.
    3. Привести подобные.
    4. Разделить на коэффициент.

    Увы, этот прекрасный алгоритм при всей его эффективности оказывается не вполне уместным, когда перед нами дроби. А в том, что мы увидим ниже, у нас и слева, и справа в обоих уравнениях есть дробь.

    Читайте также:
    Обратные тригонометрические функции их свойства и графики

    Как работать в этом случае? Да всё очень просто! Для этого в алгоритм нужно добавить ещё один шаг, который можно совершить как перед первым действием, так и после него, а именно избавиться от дробей. Таким образом, алгоритм будет следующим:

    1. Избавиться от дробей.
    2. Раскрыть скобки.
    3. Уединить переменные.
    4. Привести подобные.
    5. Разделить на коэффициент.

    Что значит «избавиться от дробей»? И почему выполнять это можно как после, так и перед первым стандартным шагом? На самом деле в нашем случае все дроби являются числовыми по знаменателю, т.е. везде в знаменателе стоит просто число. Следовательно, если мы обе части уравнения домножим на это число, то мы избавимся от дробей.

    Пример №1

    Давайте избавимся от дробей в этом уравнении:

    Обратите внимание: на «четыре» умножается все один раз, т.е. если у вас две скобки, это не значит, что каждую из них нужно умножать на «четыре». Запишем:

    [left( 2x+1 right)left( 2x-3 right)=left( <^<2>>-1 right)cdot 4]

    [2xcdot 2x+2xcdot left( -3 right)+1cdot 2x+1cdot left( -3 right)=4<^<2>>-4]

    Выполняем уединение переменной:

    Выполняем приведение подобных слагаемых:

    [-4x=-1left| :left( -4 right) right.]

    Мы получили окончательное решение, переходим ко второму уравнению.

    Пример №2

    Здесь выполняем все те же действия:

    [1cdot 1+1cdot 5x+left( -x right)cdot 1+left( -x right)cdot 5x+5<^<2>>=5]

    Вот, собственно, и всё, что я хотел сегодня рассказать.

    Ключевые моменты

    Ключевые выводы следующие:

    • Знать алгоритм решения линейных уравнений.
    • Умение раскрывать скобки.
    • Не стоит переживать, если где-то у вас появляются квадратичные функции, скорее всего, в процессе дальнейших преобразований они сократятся.
    • Корни в линейных уравнениях, даже самых простых, бывают трех типов: один единственный корень, вся числовая прямая является корнем, корней нет вообще.

    Надеюсь, этот урок поможет вам освоить несложную, но очень важную для дальнейшего понимания всей математики тему. Если что-то непонятно, заходите на сайт, решайте примеры, представленные там. Оставайтесь с нами, вас ждет еще много интересного!

    Решение линейных уравнений, 6-й класс

    Решение линейных уравнений. 6-й класс

    Здравствуйте ребята!

    I. Ответьте на вопросы:

    1. Как найти неизвестное слагаемое?

    2. Как найти неизвестное уменьшаемое?

    3. Как найти неизвестное вычитаемое?

    4. Как найти неизвестный множитель?

    5. Как найти неизвестное делимое?

    6. Как найти неизвестный делитель?

    7. Как раскрыть скобки, перед которыми стоит знак плюс?

    8. Как раскрыть скобки, перед которыми стоит знак минус?

    9. Как выглядит распределительное свойство умножения?

    Откройте тетради. Запишите число.

    Выполните письменно следующие упражнения:

    1) Раскройте скобки:

    9(;

    9(;

    2) Приведите подобные слагаемые:

    a –a; m-m;

    3) Упростите выражение:

    II Новая тема.

    III. Решение линейных уравнений.

    До сегодняшнего урока мы не умели решать уравнения, в которых неизвестное находилось слева и справа от знака равенства: 3x+7=x+15. Некоторые из нас постоянно забывают правила нахождения неизвестного слагаемого, уменьшаемого, вычитаемого. Сегодня мы постараемся разрешить все эти затруднения.

    Уравнение, которое можно привести к виду ax=b, где a и b − некоторые числа (a0), называется линейным уравнением с одним неизвестным.

    Линейные уравнения обладают свойствами:

    1. Корни уравнения не изменяются, если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю

    2. Корни уравнения не изменяются, если какое-нибудь слагаемое перенести из одной части уравнения в другую, изменив при этом его знак

    Рассмотрим план решения линейного уравнения:

    1) раскрыть скобки, если они есть;
    2) слагаемые, содержащие неизвестное, перенести в левую часть равенства, а не содержащие неизвестное − в правую;
    3) привести подобные слагаемые;
    4) найти неизвестный множитель.

    Какими из свойств равенств мы воспользовались для решения уравнения?

    Рассмотрим примеры уравнений, при решении которых будет удобно воспользоваться и первым свойством.

    1) раскрыть скобки, если они есть;
    2) слагаемые, содержащие неизвестное, перенести в левую часть равенства, а не содержащие неизвестное − в правую;
    3) привести подобные слагаемые;
    4) найти неизвестный множитель.

    Читайте также:
    Вычитание дробей - решение, правила и примеры

    х+3=х+5 │∙9 Удобно умножить на наименьшее общее кратное знаменателей дробей.

    (х+3)∙9=(х+5)∙9 Далее − по плану.

    Не забывайте о том, что ответ может быть дробным числом.

    IV. Самостоятельная работа обучающего характера.

    Вариант I

    Вариант II

    3. x-

    3. х-

    VI. Решение задач на «было − стало».

    Умея решать линейные уравнения по-новому, мы сможем справиться с новым для нас типом задач на «было – стало».

    Разберите решение задач:

    В первом бидоне в три раза больше молока, чем во втором. Если из первого перелить 20 л во второй, то молока в бидонах будет поровну. Сколько молока в каждом бидоне?

    1 бидон

    2 бидон

    По условию получаем уравнение:

    х=20(л) молока было в 1 бидоне.

    3∙20=60(л) молока было во 2 бидоне.

    Ответ: 60л и 20л.

    На первую машину погрузили на 0,6т зерна больше, чем на вторую. Если бы на первую машину погрузили в 1,2 раза больше, а на вторую в 1,4 раза больше, то груза на обеих машинах было бы поровну. Сколько тонн груза погрузили на каждую машину?

    1 машина

    2 машина

    По условию получаем уравнение:

    х=3,6(т) зерна было на 2 машине.

    3,6+0,6=4,2(т) зерна погрузили на 1 машину.

    Ответ: 4,2т и 3,6т.

    Длина отрезка АВ на 2см больше, чем длина отрезка СD. Если длину отрезка АВ увеличить на 10см, а длину отрезка CD увеличить в 3 раза, то получатся равные результаты. Найдите длину отрезка АВ.

    АВ

    CD

    По условию получаем уравнение:

    Обратите внимание, что в ответ записываем только длину отрезка АВ («каков вопрос − таков ответ»).

    V. Ответьте на вопросы:

    1. Какие уравнения называются линейными?

    2. Какие свойства уравнений мы изучили?

    3. Назовите план решения линейного уравнения.

    4. Назовите план решения задач на «было – стало».

    Решение простых линейных уравнений

    О чем эта статья:

    Понятие уравнения

    Понятие уравнения обычно проходят в самом начале школьного курса алгебры. Его определяют, как равенство с неизвестным числом, которое нужно найти.

    В школьной программе за 7 класс впервые появляется понятие переменных. Их принято обозначать латинскими буквами, которые принимают разные значения. Исходя из этого можно дать более полное определение уравнению.

    Уравнение — это математическое равенство, в котором неизвестна одна или несколько величин. Значение неизвестных нужно найти так, чтобы при их подстановке в пример получилось верное числовое равенство.

    Например, возьмем выражение 2 + 4 = 6. При вычислении левой части получается верное числовое равенство, то есть 6 = 6.

    Уравнением можно назвать выражение 2 + x = 6, с неизвестной переменной x, значение которой нужно найти. Результат должен быть таким, чтобы знак равенства был оправдан, и левая часть равнялась правой.

    Корень уравнения — то самое число, которое при подстановке на место неизвестной уравнивает выражения справа и слева.

    Равносильные уравнения — это те, в которых совпадают множества решений. Другими словами, у них одни и те же корни.

    Решить уравнение значит найти все возможные корни или убедиться, что их нет.

    Решить уравнение с двумя, тремя и более переменными — это два, три и более значения переменных, которые обращают данное выражение в верное числовое равенство.

    Какие бывают виды уравнений

    Уравнения могут быть разными, самые часто встречающиеся — линейные и квадратные.

    Особенность преобразований алгебраических уравнений в том, что в левой части должен остаться многочлен от неизвестных, а в правой — нуль.

    Что поможет в решении:

    Система уравнений — это несколько уравнений, для которых нужно найти значения неизвестных. Она имеет вид ax + by + c = 0 и называется линейным уравнением с двумя переменными x и y, где a, b, c — числа.

    Решением этого уравнения называют любую пару чисел (x; y), которая соответствует этому выражению и является верным числовым равенством.

    Числовой коэффициент — число, которое стоит при неизвестной переменной.

    Кроме линейных и квадратных есть и другие виды уравнений, с которыми мы познакомимся в следующий раз:

    • кубические
    • уравнение четвёртой степени
    • иррациональные и рациональные
    • системы линейных алгебраических уравнений

    Как решать простые уравнения

    Чтобы научиться решать простые линейные уравнения, нужно запомнить формулу и два основных правила.

    Читайте также:
    Пересечение и объединение множеств - определение, формулы

    1. Правило переноса. При переносе из одной части в другую, член уравнения меняет свой знак на противоположный.

    Для примера рассмотрим простейшее уравнение: x+3=5

    Начнем с того, что в каждом уравнении есть левая и правая часть.

    Перенесем 3 из левой части в правую и меняем знак на противоположный.

    Можно проверить: 2 + 3 = 5. Все верно. Корень равен 2.

    Решим еще один пример: 6x = 5x + 10.

      Перенесем 6x из левой части в правую. Знак меняем на противоположный, то есть минус.

    Приведем подобные и завершим решение.

    2. Правило деления. В любом уравнении можно разделить левую и правую часть на одно и то же число. Это может ускорить процесс решения. Главное — быть внимательным, чтобы не допустить глупых ошибок.

    Применим правило при решении примера: 4x=8.

    При неизвестной х стоит числовой коэффициент — 4. Их объединяет действие — умножение.

    Чтобы решить уравнение, нужно сделать так, чтобы при неизвестной x стояла единица.

    Разделим каждую часть на 4. Как это выглядит:

    Теперь сократим дроби, которые у нас получились и завершим решение линейного уравнения:

    Рассмотрим пример, когда неизвестная переменная стоит со знаком минус: −4x = 12

      Сократим обе части на −4, чтобы коэффициент при неизвестной стал равен единице.

    Если знак минус стоит перед скобками, и по ходу вычислений его убрали — важно не забыть поменять знаки внутри скобок на противоположные. Этот простой факт позволит не допустить обидные ошибки, особенно в старших классах.

    Напомним, что не у каждого линейного уравнения есть решение — иногда корней просто нет. Изредка среди корней может оказаться ноль — ничего страшного, это не значит, что ход решения оказался неправильным. Ноль — такое же число, как и остальные.

    Способов решения линейных уравнений немного, нужно запомнить только один алгоритм, который будет эффективен для любой задачки.

    Чтобы быстрее запомнить ход решения и формулу линейного уравнения, скачайте или распечатайте схему-подсказку — храните ее в телефоне, учебники или на рабочем столе.

    А вот и видео «Простейшие линейные уравнения» для тех, кто учиться в 5, 6 и 7 классе.

    Примеры линейных уравнений

    Теперь мы знаем, как решать линейные уравнения. Осталось попрактиковаться на задачках, чтобы чувствовать себя увереннее на контрольных. Давайте решать вместе!

    Пример 1. Как правильно решить уравнение: 6х + 1 = 19.

      Перенести 1 из левой части в правую со знаком минус.

    Разделить обе части на общий множитель, то есть 6.

    Пример 2. Как решить уравнение: 5(х — 3) + 2 = 3 (х — 4) + 2х — 1.

    5х — 15 + 2 = 3х — 2 + 2х — 1

    Сгруппировать в левой части члены с неизвестными, а в правой — свободные члены.

    5х — 3х — 2х = – 12 — 1 + 15 — 2

    Приведем подобные члены.

    Ответ: х — любое число.

    Пример 3. Решить: 4х = 1/8.

      Найти неизвестную переменную.

    Пример 4. Решить: 4(х + 2) = 6 — 7х.

    1. 4х + 8 = 6 — 7х
    2. 4х + 7х = 6 — 8
    3. 11х = −2
    4. х = −2 : 11
    5. х = – 0, 18

    Пример 5. Решить:

    1. 3(3х — 4) = 4 · 7х + 24
    2. 9х — 12 = 28х + 24
    3. 9х — 28х = 24 + 12
    4. -19х = 36
    5. х = 36 : (-19)
    6. х = – 36/19

    Пример 6. Как решить линейное уравнение: х + 7 = х + 4.

    5х — 15 + 2 = 3х — 2 + 2х — 1

    Сгруппировать в левой части неизвестные члены, в правой — свободные члены:

    Приведем подобные члены.

    Ответ: нет решений.

    Пример 7. Решить: 2(х + 3) = 5 — 7х..

    1. 2х + 6 = 5 — 7х
    2. 2х + 6х = 5 — 7
    3. 8х = −2
    4. х = −2 : 8
    5. х = – 0,25

  • Рейтинг
    ( Пока оценок нет )
    Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
    Добавить комментарий

    ;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: