Пересечение и объединение множеств – определение, формулы

Объединение множеств

  • Что такое объединение и пересечение множеств А и Б
    • Понятие и свойства объединения множеств
    • Понятие и свойства пересечения множеств
  • Правила нахождения пересечений и объединений, формулы
  • Исследование множеств с помощью координатной прямой
  • Как определить пересечение и объединение при помощи изображений числовых множеств
    • Изображение пересечения
    • Изображение объединения
  • Основные законы операций объединения и пересечения множеств
    • Закон коммутативности
    • Закон ассоциативности
    • Закон дистрибутивности

Что такое объединение и пересечение множеств А и Б

Множество — это совокупность объединенных по какому-либо признаку объектов любой природы.

Оно может состоять из чисел, букв, прямых, точек, слов и т.д. Эти объекты, которые совокупно образуют данное множество, являются его элементами или точками.

Для обозначения множеств применяют заглавные буквы латинского алфавита. А их элементы обозначают строчными буквами. Например, запись ( xin K) означает, что х является элементом множества (К.)

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Множество называется подмножеством, когда оно возникает не как самостоятельный объект, а когда оно является частью другого множества, и все его элементы также являются элементами другого множества. Записывается как (А;subset;Б.)

Если множества А и Б содержат одинаковые элементы, то они равны:

Если множество не содержит в себе ни одного элемента, то оно называется пустым и является подмножеством любого множества. Оно обозначается символом (Ø.)

Если пустое множество пересекается с другим, то их общее множество будет так же пустым:

Если множества равны, то всякий элемент х, принадлежащий правой части равенства, принадлежит и левой, и наоборот.

Основные операции с множествами подразделяются на:

  • пересечение;
  • объединение;
  • вычитание;

Понятие и свойства объединения множеств

Множество С называют объединением (или суммой) множеств А и Б, если его элементы принадлежат хотя бы одному из указанных множеств. То есть в множестве С содержатся элементы как А, так и Б, и любое множество, которое будет обладать этим свойством, будет содержать С.

Объединение С множеств А и Б обозначается таким образом:

Пусть имеется два множества:

Тогда их объединением будет служить множество С = <2; 3; 4; 6; 8; 9>.

Свойства объединений:

Некоторые свойства операции объединений напоминают по своему принципу привычную операцию «сложения» чисел. При этом некоторые свойства объединения, которые соответствуют определенным операциям сложения чисел, будут иметь свои особенности.

Свойства объединения, которые справедливы для любых множеств A, Б и C:

A U Б = Б U A; A U (Б U C) = (A U Б) U C.

(Аsubset Аcup Б;и;Бsubset Аcup Б.)

Кроме того, из включения (Аsubset Б) следует включение:

(Аcup Сsubset Бcup С.)

В частности, любому множеству A соответствует равенство:

Это равенство означает идемпотентность объединения, то есть повторное осуществление операции по отношению к объекту будет давать тот же результат, что и в первый раз.

А также равенство:

Если у множеств А и Б есть общие элементы, то каждый из этих элементов не повторяется в объединении, и входят в него один раз.

Понятие и свойства пересечения множеств

Пересечением множеств А и Б является множество С, включающее в себя элементы, принадлежащие одновременно и А, и Б, то есть элементов, общих для этих множеств.

Пресечение множеств обозначают символом (∩) :

Пусть имеется два множества:

A = <2; 3; 6; 8>и Б = <4; 6; 8; 9>; тогда их пересечением будет являться C = <6; 8>.

Свойства пересечений:

Некоторые свойства операции пересечений напоминают по своему принципу привычную операцию «умножения» чисел. При этом некоторые свойства пересечения, которые соответствуют определенным операциям умножения чисел, будут иметь свои особенности.

Свойства пересечения, которые справедливы для любых множеств A, B и C:

A ∩ Б = Б ∩ A; A ∩ (Б ∩ C) = (A ∩ Б) ∩ C.

(Аcap Бsubset А;и;Аcap Бsubset Б.)

Если у множеств А и Б нет общих элементов, то их пересечением является пустое множество, иначе говорят, что они не пересекаются.

Читайте также:
Степени чисел - возведение в степень в алгебре, таблица, правила

Кроме того, из включения (Аsubset Б) следует включение:

(Аcap Сsubset Бcap С.)

В частности, для любого множества A имеет место равенство ( Аcapvarnothing=varnothing.)

Также верно равенство (Аcap А=А.)

Здесь, как и в объединении, встречается свойство идемпотентности пересечения. Поэтому здесь не говорят о возведении множества в степени в том привычном смысле, какое применимо к степени числа. Этим операция пересечения отличается от операции умножения чисел, что легко доказывается на различных множествах.

Для произвольной совокупности множеств (А_alpha) , где α относится ко всем элементам множества I, (А_alpha,;alphain I) , пишут в случае объединения:

(C=undersetcup A_alpha=undersetalphacup A_alpha;)

в случае пересечения:

Правила нахождения пересечений и объединений, формулы

Конечное множестве А обладает мощностью, представляющей собой число элементов. Его обозначают как (|А|) или #А.

Если известны мощности каждого множества и их пересечений, то по следующей формуле можно найти мощность объединения:

(left|Аcup Бright|=left|Аright|+left|Бright|-left|Аcap Бright|;)

(left|Аcup Бcup Сright|=left|Аright|+left|Бright|+left|Сright|-left|Аcap Бright|-left|Аcap Сright|-left|Бcap Сright|+left|Аcap Бcap Сright|.)

Вообще (left|А_1cup. cup А_nright|) равно

Она называется формулой включений и исключений.

Чтобы доказать это утверждение зафиксируем произвольное множество К. Его подмножествами являются (A_1. A_n.) Функция (X_x) является характеристической функцией множества (Xsubset K) . На элементах Х она равна 1, а на остальных элементах К — равна нулю. Проводимые над подмножествами множества К операции соответствуют операциям с их характеристическими функциями.

В частности, произведение характеристических функций соответствует пересечению множеств:

Если Х является характеристической функцией исходного множества, то дополнению (до К) соответствует функция 1 — Х.

Запишем в виде суммы значений характеристической функции число элементов множества:

Объединение (A_1cup. cup A_n) представим в виде дополнения к пересечению дополнений множеств (A_i.)

Опираясь на термины характеристических функций, получим:

Раскроем скобки в правой части:

Получим формулу включений и исключений, просуммировав правую и левую части по всем элементам К. которые являются функциями на К.

Исследование множеств с помощью координатной прямой

Координатная прямая — прямая линия, содержащая начало отсчета, единичный отрезок и направление.

Для любого натурального числа на координатной прямой можно выбрать соответствующую только ему единственную точку. Каждому числу на данной прямой можно подобрать противоположное число, которое расположено симметрично относительно начала отсчета и отличается от другого только знаком.

Также каждому действительному (рациональному или иррациональному) на координатной прямой соответствует единственная точка и, наоборот, для каждой ее точки есть единственное действительное число. Это называется взаимно однозначным соответствием. С учетом этого соответствия,множество R действительных чисел и множество точек координатной прямой часто объединяют общим термином — «числовая прямая».

Ось Оу образована множеством точек х = 0, поэтому ось Оу является графиком уравнения х — 0.

Ось Ох образована множеством точек у = 0, поэтому ось Ох является графиком уравнения у — 0.

Множество точек у = х образует прямую, которая проходит через начало координат и делит I и III квадранты пополам.

В математике есть важное понятие упорядоченной пары (х, у), которое представлено либо элементами одного и того же множества, либо элементами разных множеств Х и У.

Свойством упорядоченных пар является то, что две упорядоченные пары ( (x_1, y_1)) и ( (x_2)) и ((y_2)) будут называться равными, когда ( x_1=x_2 и y_1=y_2.)

Первой компонентой (координатой) пары (х, у) является элемент х, второй компонентой (координатой) той же пары — элемент у.

Понятие упорядоченной пары поваляет ввести дополнительную операцию над множествами — прямое или декартово умножение, имеющее вид:

Декартово произведение между двумя пересекающимися различными прямыми может быть отождествлено с проходящей через эти прямые плоскостью по правилу (А = (х, у)) . Это свойство объясняет название умножения и является основой метода координат, который Рене Декартом предложил для решения геометрических задач.

Для определения упорядоченного набора n+1 элементов применяется метод математической индукции:

Читайте также:
Уравнение биссектрисы треугольника по координатам вершин - формула

Отсюда выводится произведение множеств:

(X_1times X_2times. X_=(X_1times X_2times. times X_n)times X_.)

Чтобы установить между точками координатной прямой соответствие и между множеством натуральных чисел, на прямой выбирают произвольную точку 0, а затем с помощью единичного отрезка отмечают на ней точки, которым соответствуют натуральные числа.

Отметим точки 1, 2, 3 и укажем относительно точки 0 соответствующие им симметричные точки. Обозначим их через -1, -2, -3. Числа 1 и -1, 2 и -2 и т. д. на координатной прямой расположены симметрично. Эти числа называются противоположными, то есть они отличаются друг от друга только знаком, а на координатной прямой расположены относительно точки отсчета на одинаковом расстоянии.

Соответственно, чем правее число расположено на координатной прямой, тем оно больше.

Отсюда следует:

  • всякое отрицательное число меньше числа, которое является положительным и больше нуля;
  • всякое отрицательное число всегда меньше нуля;
  • из двух отрицательных чисел меньше то, модуль которого больше, и наоборот. Например, -4,8 > -6,2, так как|-4,8| ([a; b] = ) — замкнутый промежуток (или отрезок) с началом а и концом b.
  • ((a; b) =
  • ((a;;brbrack=
  • ((a;;+inftyrbrack=;;lbrack-infty;;b);=;) — лучи.
  • ((a;;+infty)=a>;;(-infty;;b);=;
  • ((-infty;;+infty);=R) — числовая прямая.

Как определить пересечение и объединение при помощи изображений числовых множеств

Взаимоотношения и операции между множествами можно наглядно проиллюстрировать, применяя диаграммы Эйлера-Венна. Множества в этих диаграммах чаще всего изображаются в виде кругов и их внутренностями, а в виде прямоугольника изображено универсальное множество U.

В диаграммах Эйлера-Венна имеет значение взаимное расположение, а не их относительный размер.

Изображение пересечения

Рисунки демонстрируют диаграммы Эйлера-Венна, описывающие два множества A и B в случаях, когда (Acap Bneqvarnothing;и;Asubset B) , соответственно. Множеству (Acap B) на этих рисунках соответствуют части диаграмм со штриховкой.

Рисунок правее демонстрирует что, если A подмножество множества B, ( Asubset B,;то;Acap B=A) , поскольку все элементы множества A будут общими для множеств A и B.

Изображение объединения

На рисунке представлены диаграммы Эйлера-Венна для двух множеств A и B в случаях, когда (Acap Bneqvarnothing,;Asubset B) . Часть диаграммы со штрихами соответствует множеству (Acup B.)

Рисунок демонстрирует, что если A подмножество множества B, т.е.

(Asubset B,;то;Acup B=B, )

то раз включать элементы множества А в объединение не требуется, поскольку его элементы принадлежат и множеству B.

Основные законы операций объединения и пересечения множеств

Закон коммутативности

(Acup B=Bcup A,;Acap B=Bcap A.)

Коммутативный закон показывает, что изменение порядка множеств в указанных операциях не влияет на их итог. Действительно, множества (Acup B;и;Bcup A;) состоят из элементов, которые относятся хотя бы к одному из множеств A или B, и не содержат никаких других элементов. А множества (Acap B;и;Bcap A) включают в себя все элементы, относящиеся к каждому из множеств A и B.

Закон ассоциативности

(Acup(Bcup C)=(Acup B)cup C,;Acap(Bcap C)=(Acap B)cap C.)

Ассоциативность указанных операций позволяет опускать фиксацию посредством скобок порядка проведения операций. Действительно, множества (Acup(Bcup C);и;(Acup B)cup C) состоят из всех элементов, входящих хотя бы в одно из множеств A, B и C и не содержат никаких других элементов, а множества (Acap(Bcap C);и;(Acap B)cap C) состоят только из общих элементов множеств A, B и C. Заметим, что по закону ассоциативности конечный результат не зависит от порядка действий. Но промежуточные результаты — зависят.

Закон дистрибутивности

(Acup(Bcap C)=(Acup B)cap(Acup C),;Acap(Bcup C)=(Acap B)cup(Acap C).)

В числовом случае дистрибутивность умножения относительно сложения позволяет осуществлять вынос общего множителя за скобку и проводить раскрытие скобок. В случае множеств это так же справедливо, при этом соотношений такого рода больше.

Пересечение, объединение и разность множеств

Пересечение множеств

Пересечением множеств A и B называют множество, содержащее те и только те элементы, которые входят одновременно как в множество A, так и в множество B:

Если множества не пересекаются, то $A cap B = varnothing $ – пустое множество в пересечении. Если $B subseteq A$ – подмножество, то $A cap B = B$ – пересечением будет меньшее множество из двух.

Если A = $$ – натуральные числа, кратные 3, B = $$ – натуральные числа, кратные 5, то $A cap B = $ – натуральные числа, кратные 15.

Если A = , B = , то $A cap B = varnothing$.

Объединение множеств

Объединением – множеств A и B называют множество, содержащее те и только те элементы, которые входят хотя бы в одно из множеств, A или B:

Если $B subseteq A$ – подмножество, то $A cap B = A$ – объединением будет большее множество из двух.

Универсум и отрицание

Универсум (универсальное множество) – множество, включающее в себя все множества, рассматриваемые в данной задаче.

В литературе универсум обозначают U.

На диаграммах Эйлера универсум изображают как множество точек прямоугольника, в котором лежат остальные множества:

Примеры универсумов:

При рассмотрении целочисленных задач, универсум – это множество целых чисел.

При построении двумерных графиков, универсум – это множество всех точек координатной плоскости.

При решении вероятностных задач, универсум – это множество всех возможных исходов цепочек событий.

Отрицание (абсолютное дополнение) множества A – множество всех элементов универсума, не принадлежащих A:

У отрицания есть любопытное свойство: $bar> = Α $(два раза «нет» – это «да»).

Если U = $$ – все действительные числа, A = $$ – все положительные действительные числа, то $ bar = $.

Свойства операций пересечения и объединения

Пересечение

Объединение

$A cap B = B cap A$

$ A cup B = B cup A $

$(A cap B) cap C = A cap (B cap C)$

$ (A cup B) cup C = A cup ( B cup C) $

$(A cup B) cap C = (A cap C) cup (B cap C)$

$ (A cap B) cup C = (A cup C) cap (B cup C) $

Взаимодействие с отрицанием, пустым множеством и универсумом

$A cap varnothing = varnothing$

$A cup varnothing = A$

Законы де Моргана

$ (A cup B) cap A = A $

$ (A cap B) cup A = A $

Разность множеств

Разностью двух множеств A и B называют множество, в которое входят все элементы из множества A, не принадлежащие множеству B:

Читается «A без B».

На диаграммах Эйлера разности для пересекающихся множеств выглядят так:

Получается, что отрицание – частный случай разности: $ bar = $= UA

«Не A» – это «универсум без A».

Формулы включений и исключений

Рассмотрим два конечных пересекающихся множества A и B.

Пусть число элементов во множествах равно n(A)и n(B) соответственно. А число элементов в пересечении $n(A cap B)$.

Вопрос: сколько всего элементов в обоих множествах, т.е. чему равно $n(A cup B)$?

Сумма n(A)и n(B) даст нам больше, чем общее количество, потому что мы два раза посчитаем то, что попадает в пересечение. Значит, если отнять одно пересечение, получится как раз то, что ищем:

$$n(A cup B) = n(A)+ n(B)-n(A cap B)$$

Выведем аналогичную формулу для трёх пересекающихся конечных множеств.

Сумма n(A)+ n(B)+n(C) учтёт каждое из парных пересечений по два раза. Поэтому, аналогично задаче с двумя множествами, нужно отнять всё, что попадает в парные пересечения, т.е. отнять сумму $(n(A cap B)+n(A cap C)+n(B cap C) )$. Но после этого получится, что мы лишний раз отняли $n(A cap B cap C)$; значит, его нужно «вернуть».

$$ n(A cup B cup C) = n(A)+ n(B)+n(C)- $$

$$ -(n(A cap B)+n(A cap C)+n(B cap C) )+n(A cap B cap C) $$

Примеры

Пример 1. Найдите пересечение данных множеств:

Пересечение и объединение множеств – определение, формулы

Объединение множеств X и Y — это множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств X или Y, т.е. принадлежат X или принадлежат Y.

Объединение X и Y обозначается через X∪Y

Формально x∈X∪Y ⇔ x∈X или x∈Y

Пример 3. Если X — множество точек левого круга и Y — множество точек правого круга, то

X∪Y — заштрихованная область, ограниченная обоими кругами.

Понятие объединения можно распространить и на большее число множеств, на систему множеств. Обозначим через М=1,X2, . Xn> совокупность n множеств X1,X2, . Xn, называемую иногда системой множеств. Объединение этих множеств

представляет собой множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств данной системы М.

Для объединенных множеств справедливы:

  • X∪Y = Y∪X — коммутативный закон
  • (X∪Y)∪Z = X∪(Y∪Z) = X∪Y∪Z — ассоциативный закон,

справедливость которых вытекает из того, что левая и правая части равенств состоят из одних и тех же элементов.

Очевидно, что X∪∅ = X. Отсюда можно видеть, что ∅ играет роль нуля в алгебре множеств.

2. Пересечение множеств

Пересечение множеств X и Y — это множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат как множеству X, так и множеству Y.

Пересечение множеств обозначается X∩Y.

Формально x∈X∩Y ⇔ x∈X и x∈Y

Пример 5. Если Х — множество точек левого круга, а Y — множество точек правого круга, то X∩Y представляет собой заштрихованную область, являющуюся общей частью обоих кругов.

Множества X и Y называются непересекающимися (дизъюнктными), если они не имеют общих элементов, то есть если X∩Y=∅.

Частный случай: кортеж длины 1 —

кортеж длины 0 — или ∧ — пустой кортеж.

Отличие кортежа и обыкновенного множества: в кортеже могут быть одинаковые элементы.

Упорядоченные множества, элементами которых являются вещественные числа, будем называть векторами или точками пространства (n-мерного).

Обобщая эти понятия, будем рассматривать упорядоченное n-элементное множество вещественных чисел (a1, . an) как точку в воображаемом n–мерном пространстве (иногда называемом гиперпространством), или как n-мерный вектор. При этом компоненты n-элементного кортежа а будем рассматривать как проекции этого кортежа на соответствующие оси.

Два вектора равны, если они имеют одинаковую длину и соответствующие координаты их равны.

Компонентами кортежа (вектора) могут быть также компоненты кортежи (векторы):

Пример. Слова в предложении,

Прямое произведение множеств

Прямым (декартовым) произведением множеств X и Y называется множество, состоящее из всех тех и только тех упорядоченных пар, первая компонента которых принадлежит множеству X, а вторая принадлежит множеству Y.

Пример 2. Пусть X= , Y=

Тогда X*Y= < , , , , , >См. рис. а).

Пример 3. Пусть X и Y — отрезки вещественной оси. Прямое произведение X*Y изображается заштрихованным прямоугольником. См. рис. б).

Прямое произведение изменяется при изменении порядка сомножителей т.е.

Прямое произведение множеств X1, X2, . Xn — это множество, обозначаемое X1*X2*. *Xn и состоящее из всех тех и только тех кортежей длины n, правая компонента которых принадлежит X1, вторая — X2 и т.д.

Очевидно X*Y = ∅ ⇔ X = ∅ или Y = ∅.

Аналогично X1*X2*. *Xn = ∅ тогда и только тогда, когда хотя бы одно из множеств X1, X2, . Xn является пустым.

Частным случаем прямого произведения является понятие степеней (декартовых) множества — прямое произведение одинаковых множеств

M s =M*M*. *M, M 1 =M, M 0 =∧.

Обычно R — множество вещественных чисел, тогда R 2 =R*R — вещественная плоскость и R 3 =R*R*R — трехмерное вещественное пространство.

Тогда A*B =1, a2, a3, . h7, h8> — множество обозначающее все 64 клеток шахматной доски.

Пример. Пусть A — конечное множество, элементами которого являются символы (буквы, цифры, знаки препинания и т.д.). Такие множества обычно называют алфавитами. Элементы множества an называются словами длины n в алфавите A. Множество всех символов в алфавите A — это множество A * = ∪A i = A 1 ∪A 2 ∪A 3 . . При написании слов не принято пользоваться ни запятыми, ни скобками, ни разделителями.

Проекция множества.

Операция программирования множества тесно связана с операцией проектирования кортежа и может применяться лишь к таким множествам, элементами которых являются кортежи одинаковой длины.

Пусть M — множество, состоящее из кортежей длины S. Тогда пролинией множества M будем называть множество пролиний всех кортежей из М

Очевидно что если М=Х*Y то Пр1М=Х, Пр2М=Y

и если Q⊆Х*Y то Пр1Q⊆Х и Пр2Q⊆Y

Пусть V — множество векторов одинаковой длины S.

В общем случае ПрiV — вовсе не обязательно прямое произведение: оно может быть подмножеством.

Пересечение и объединение множеств – определение, формулы

Ключевые слова конспекта: множества, операции над множествами, подмножество, пересечение множеств, объединение множеств, элемент множества, числовые множества, обозначение некоторых числовых множеств.

В жизни часто приходится встречаться с различными совокупностями объектов, объединёнными в одно целое по некоторому признаку. Для обозначения этих совокупностей используются различные слова. Например, говорят: «стадо коров», «букет цветов», «команда футболистов» и т. д.

В математике в целях единообразия для обозначения совокупностей употребляется единый термин — множество. Например, говорят: множество чётных чисел, множество двузначных чисел, множество правильных дробей со знаменателем 5.

Термин «множество» употребляется и тогда, когда речь идёт о нечисловых множествах. Например, говорят о множестве диагоналей многоугольника, о множестве точек координатной плоскости, о множестве прямых, проходящих через данную точку.

Объекты или предметы, составляющие множество, называют элементами множества. Например, число 89 — элемент мнoжества двузначных чисел; точка В — элемент мнoжества вершин многоугольника ABCDE.

Множeства бывают конечные и бесконечные. Например, множество двузначных чисел — конечное множество (оно содержит 90 элементов), а множество чётных чисел — бесконечное множество.

Конечное мнoжество может содержать миллиард элементов, 2 элемента, 1 элемент или даже не содержать ни одного элемента.

Пустое множeство — это мнoжество, не содержащее ни одного элемента. Для обозначения пустого мнoжества ввели специальный знак ∅.

Конечные множeства обычно записывают с помощью фигурных скобок. Например, множество вершин пятиугольника ABCDE можно записать так: , а множество двузначных чисел, кратных 15, так: . В таких случаях говорят, что множество задано перечислением его элементов.

Множeства принято обозначать большими буквами латинского алфавита. Например, рассмотренные выше множества вершин пятиугольника и двузначных чисел, кратных 15, можно обозначить соответственно буквами К и L и записать так: К = <А, В, С, D, Е>; L = <15, 30, 45, 60, 75, 90>.

Для основных числовых множеств введены специальные обозначения: множество натуральных чисел обозначают буквой N (от латинского слова natural — «естественный»), множество целых чисел — буквой Z (от немецкого слова zahl — «число»), множество рациональных чисел — буквой Q (от латинского слова quotient — «отношение»).

Число -8 является элементом мнoжества Z. Иначе говорят, что число -8 принадлежит множеству Z. Это предложение записывают короче: -8 Z. Число 0,17 не принадлежит множеству N (не является элементом множества N). Для выражения этого факта принята следующая запись: 0,17 ∉ N.

В тех случаях, когда задание множества перечислением элементов невозможно (как для бесконечного множества) или громоздко (как для конечного мнoжества с большим числом элементов), множество задают описанием, указав его характеристическое свойство, т. е. свойство, которым обладают все элементы этого множeства и не обладают никакие другие объекты.

Зададим с помощью описания некоторые мнoжества. Пусть А = <1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14>. Зададим это множество описанием, используя понятие характеристического свойства. Множeство А можно охарактеризовать как «множество всех натуральных чисел от 1 до 14 включительно», или как «множество всех натуральных чисел, меньших 15», или, используя знаки ,

Это конспект по математике на тему «Множества. Операции над множествами». Выберите дальнейшие действия:

  • Перейти к следующему конспекту:
  • Вернуться к списку конспектов по Математике.
  • Проверить знания по Математике.

Множества: понятие, определение, примеры

Людям постоянно приходится иметь дело с различными совокупностями предметов, что повлекло за собой возникновение понятия числа, а затем и понятия множества, которое является одним из основных простейших математических понятий и не поддается точному определению. Нижеследующие замечания имеют своей целью пояснить, что такое множество , но не претендуют на то, чтобы служить его определением.

Множеством называется собрание, совокупность, коллекция вещей, объединенных по какому-либо признаку или по какому-либо правилу. Понятие множества возникает путем абстракции. Рассматривая какую-либо совокупность предметов как множество, отвлекаются от всех связей и соотношений между различными предметами, составляющими множества, но сохраняют за предметами их индивидуальные черты. Таким образом, множество, состоящее из пяти монет, и множество, состоящее из пяти яблок, — это разные множества. С другой стороны, множество из пяти монет, расположенных по кругу, и множество из тех же монет, положенных одна на другую, — это одно и то же множество.

Приведем несколько примеров множеств. Можно говорить о множестве песчинок, составляющих кучу песка, о множестве всех планет нашей солнечной системы, о множестве всех людей, находящихся в данный момент в каком-либо доме, о множестве всех страниц этой книги. В математике тоже постоянно встречаются различные множества, например множество всех корней заданного уравнения, множество всех натуральных чисел, множество всех точек на прямой и т.д.

Математическая дисциплина, изучающая общие свойства множеств, т.е. свойства множеств, не зависящие от природы составляющих их предметов, называется теорией множеств. Эта дисциплина начала бурно развиваться в конце XIX и начале XX в. Основатель научной теории множеств — немецкий математик Г. Кантор.

Работы Кантора по теории множеств выросли из рассмотрения вопросов сходимости тригонометрических рядов. Это весьма обычное явление: очень часто рассмотрение конкретных математических задач ведет к построению весьма абстрактных и общих теорий. Значение таких абстрактных построений определяется тем, что они оказываются связанными не только с той конкретной задачей, из которой они выросли, но имеют приложения и в ряде других вопросов. В частности, именно так обстоит дело и с теорией множеств. Идеи и понятия теории множеств проникли буквально во все разделы математики и существенно изменили ее лицо. Поэтому нельзя получить правильного представления о современной математике, не познакомившись с элементами теории множеств. Особенно большое значение имеет теория множеств для теории функций действительного переменного.

Множество считается заданным, если относительно любого предмета можно сказать, принадлежит он множеству или не принадлежит. Иными словами, множество вполне определяется заданием всех принадлежащих ему предметов. Если множество состоит из предметов и только из этих предметов, то пишут .

Предметы, составляющие какое-либо множество, принято называть его элементами. Тот факт, что предмет т является элементом множества , записывается в виде и читается: ” принадлежит “, или ” есть элемент “. Если же предмет не принадлежит множеству , то пишут: . Каждый предмет может служить лишь одним элементом заданного множества; иными словами, все элементы (одного и того же множества отличны друг от друга.

Элементы множества могут сами быть множествами, однако, во избежание противоречий, приходится требовать, чтобы само множество не было одним из своих собственных элементов: .

Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым множеством . Например, множество всех действительных корней уравнения есть пустое множество. Пустое множество в дальнейшем будем обозначать через .

Если для двух множеств и каждый элемент множества является также элементом множества , то говорят, что входит в , что есть часть , что есть подмножество или что содержится в ; это записывается в виде

Например, множество есть часть множества .

Ясно, что всегда . Удобно считать, что пустое множество есть часть любого множества.

Два множества равны , если они состоят из одних и тех же элементов. Например, множество корней уравнения и множество между собою равны.

Определим правила действий над множествами .

Объединение или сумма множеств

Пусть имеются множества . Объединением (обозначается символом или ) или суммой этих множеств называется множество , состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из “слагаемых”

При этом, даже если элемент принадлежит нескольким слагаемым, то он входит в сумму лишь один раз. Ясно, что

Пересечение множеств

Пересечением (обозначается символом или ) или общей частью множеств . называется множество , состоящее из всех тех элементов, которые принадлежат одновременно всем множествам , то есть .

Ясно, что , и если , то .

Если пересечение множеств и пусто, т.е. , то говорят, что эти множества не пересекаются .

Для обозначения операции суммы и пересечения множеств употребляют также знаки и . Таким образом, есть сумма множеств , а — их пересечение.

Читателю рекомендуется доказать, что сумма и пересечение множеств связаны обычным распределительным законом

Разность множеств

Разностью двух множеств и называется множество всех тех элементов из , которые не принадлежат :

Если , то разность называют также дополнением к множеству относительно .

Нетрудно показать, что всегда и .

Таким образом, правила действий над множествами значительно отличаются от обычных правил арифметики.

Конечные и бесконечные множества

Множества, состоящие из конечного числа элементов, называются конечными множествами. Если же число элементов множества неограниченно, то такое множество называется бесконечным. Например, множество всех натуральных чисел бесконечно.

Рассмотрим два каких-либо множества и и поставим вопрос о том, одинаково или нет количество элементов в этих множествах.

Если множество конечно, то количество его элементов характеризуется некоторым натуральным числом — числом его элементов. В этом случае для сравнения количества элементов множеств и достаточно сосчитать число элементов в , число элементов в и сравнить полученные числа. Естественно также считать, что если одно из множеств и конечно, а другое бесконечно, то бесконечное множество содержит больше элементов, чем конечное.

Однако, если оба множества и бесконечны, то путь простого счета элементов ничего не дает. Поэтому сразу возникают такие вопросы: все ли бесконечные множества имеют одинаковое количество элементов, или же существуют бесконечные множества с большим и меньшим количеством элементов? Если верно второе, то каким способом можно сравнивать между собой количество элементов в бесконечных множествах? Этими вопросами мы теперь и займемся.

Взаимно однозначное соответствие множеств

Пусть снова и — два конечных множества. Как узнать, какое из этих множеств содержит больше элементов, не считая числа элементов в каждом множестве? Для этого будем составлять пары, объединяя в пару один элемент из и один элемент из . Тогда, если какому-нибудь элементу из не найдется парного к нему элемента из , то в больше элементов, чем в . Поясним это рассуждение примером.

Пусть в зале находится некоторое число людей и некоторое число стульев. Чтобы узнать, чего больше, достаточно попросить людей занять места. Если кто-нибудь остался без места, значит, людей больше, а если, скажем, все сидят и заняты все места, то людей столько же, сколько стульев. Описанный способ сравнения количества элементов во множествах имеет то преимущество перед непосредственным счетом элементов, что он без особых изменений применяется не только к конечным, но и к бесконечным множествам.

Рассмотрим множество всех натуральных чисел и множество всех четных чисел . Какое множество содержит больше элементов? На первый взгляд кажется, что первое. Однако мы можем образовать из элементов этих множеств пары, как указано ниже.

Ни один элемент и ни один элемент не остается без пары. Правда, мы могли бы также образовать пары и так:

Тогда многие элементы из остаются без пар. С другой стороны, мы могли бы составить пары и так:

Теперь многие элементы из остаются без пар.

Таким образом, если множества и бесконечны, то различным способам образования пар соответствуют разные результаты. Если существует такой способ образования пар, при котором у каждого элемента и каждого элемента имеется парный к нему элемент, то говорят, что между множествами и можно установить взаимно однозначное соответствие . Например, между рассмотренными выше множествами и можно установить взаимно однозначное соответствие, как это видно из табл. 1.

Если между множествами и можно установить взаимно однозначное соответствие, то говорят, что они имеют одинаковое количество элементов или равномощны . Если же при любом способе образования пар некоторые элементы из всегда остаются без пар, то говорят, что множество содержит больше элементов, чем , или что множество имеет большую мощность, чем .

Таким образом, мы получили ответ на один из поставленных выше вопросов: как сравнивать между собой количество элементов в бесконечных множествах. Однако это нисколько не приблизило нас к ответу на другой вопрос: существуют ли вообще бесконечные множества. имеющие различные мощности? Чтобы получить ответ на этот вопрос, исследуем некоторые простейшие типы бесконечных множеств.

Счетные множества. Если можно установить взаимно однозначное соответствие между элементами множества и элементами множества всех натуральных чисел , то говорят, что множество счетно . Иными словами, множество счетно, если все его элементы можно занумеровать посредством натуральных чисел, т. е. записать в виде последовательности .

Таблица 1 показывает, что множество всех четных чисел счетно (верхнее число рассматривается теперь как номер соответствующего нижнего числа).

Счетные множества это, так сказать, самые маленькие из бесконечных множеств: во всяком бесконечном множестве содержится счетное подмножество.

Если два непустых конечных множества не пересекаются, то их сумма содержит больше элементов, чем каждое из слагаемых. Для бесконечных множеств это правило может и не выполняться. В самом деле, пусть есть множество всех четных чисел, — множество всех нечетных чисел и — множество всех натуральных чисел. Как показывает таблица 4, множества и счетны. Однако множество вновь счетно.

Нарушение правила “целое больше части” для бесконечных множеств показывает, что свойства бесконечных множеств качественно отличны от свойств конечных множеств. Переход от конечного к бесконечному сопровождается в полном согласии с известным положением диалектики — качественным изменением свойств.

Докажем, что множество всех рациональных чисел счетно . Для этого расположим все рациональные числа в такую таблицу:

Здесь в первой строке помещены все натуральные числа в порядке их возрастания, во второй строке 0 и целые отрицательные числа в порядке их убывания, в третьей строке — положительные несократимые дроби со знаменателем 2 в порядке их возрастания, в четвертой строке — отрицательные несократимые дроби со знаменателем 2 в порядке их убывания и т. д. Ясно, что каждое рациональное число один и только один раз находится в этой таблице. Перенумеруем теперь
все числа этой таблицы в том порядке, как это указано стрелками. Тогда все рациональные числа разместятся в порядке одной последовательности (табл.6).

Этим установлено взаимно однозначное соответствие между всеми рациональными числами и всеми натуральными числами. Поэтому множество всех рациональных чисел счетно.

Множества мощности континуума

Если можно установить взаимно однозначное соответствие между элементами множества и точками отрезка , то говорят, что множество имеет мощность континуума . В частности, согласно этому определению, само множество точек отрезка имеет мощность континуума.

Из рис. 1 видно, что множество точек любого отрезка имеет мощность континуума. Здесь взаимно однозначное соответствие устанавливается геометрически, посредством проектирования.

Нетрудно показать, что множества точек любого интервала и всей числовой прямой — имеют мощность континуума.

Значительно более интересен такой факт: множество точек квадрата имеет мощность континуума. Таким образом, грубо говоря, в квадрате «столько же» точек, сколько и в отрезке.

Пересечение и объединение множеств — свойства, операции и примеры решения

Математика часто оперирует абстрактными объектами, для задания связи между которыми существуют различные операции, такие как пересечение и объединение множеств.

Понятие множества является интуитивным, не определяемым. Оно обычно ассоциируется с набором чего-либо, группой каких-то предметов или живых объектов, совокупностью некоторых условий, рассматривается как класс, семейство в некоторой классификации, промежуток числовой прямой. Например, в геометрии рассматриваются линии как множества точек.

То, из чего состоит множество, называется его элементами.

Графическим изображением, служащим для наглядности рассматриваемых объектов, является круг Эйлера.

Что такое пересечение множеств

Для любого набора множеств их пересечением называется множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих одновременно каждому из заданных. Другими словами, это совокупность всех общих элементов.

С помощью кругов Эйлера-Венна пересечение можно изобразить так:

Часто применяется для определения решений систем уравнений и неравенств.

Ассоциируется с обычным умножением двух числовых объектов.

Что такое объединение множеств

Для любого набора множеств, их объединением называется множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из заданных.

Изображение кругами Эйлера выглядит следующим образом:

Часто используется при решении уравнений и неравенств, подчёркивая наличие серий корней и решений, нескольких используемых промежутков числовой прямой.

В обычной математике близко по смыслу с операцией, называемой «сложение».

Свойства пересечения и объединения множеств

Для решения задач нужно знать о следующих свойствах:

1. Коммутативность (перестановочность):

Эти свойства распространяются на любое количество компонентов. Следуют из определения операций.

2. Ассоциативность (расстановка скобок):

(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C);

(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C).

Данные свойства также применимы к большому количеству компонентов. Позволяют опускать скобки и упрощать запись.

3. Дистрибутивность (раскрытие скобок):

(A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C);

(A ∩ B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C).

4. Закон идемпотентности (идентичности):

Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым. Обозначается перечёркнутым нулём: Ø

Выполнение операций с Ø:

Прослеживается аналог со сложением и умножением на ноль.

Операции над множествами

Помимо объединения и пересечения существуют другие операции:

Для двух множеств A и B можно определить их разность как набор элементов, входящих в A и не содержащихся в B:

Рассматривая некоторое множество в качестве содержащего все остальные, можно прийти к понятию «дополнение», как к совокупности всех элементов, не входящих в A:

Благодаря этой операции свойства объединения и пересечения можно расширить/

Закон де Моргана:

Примеры решения задач

Задача №1

Выписать все элементы множества

При поиске M операции выполняются последовательно.

B A состоит из всех элементов B, которые не принадлежат A, поэтому:

B ∪ A включает в себя все элементы, принадлежащие хотя бы одному из множеств A или B. Таким образом:

M = (B A) (B ∪ A) состоит из всех элементов B A, которые не принадлежат B ∪ A, следовательно, M = Ø.

Задача №2

Доказать методом включений тождество:

Необходимо доказать выполнение включений:

Выбирается произвольный x из (A ∩ B) ∪ C. По определению операции объединения x ∈ B ∩ A или x ∈ C.

Если x ∈ B ∩ A, то по определению пересечения x ∈ B и x ∈ A.

Так как x ∈ A, то x ∈ C ∪ A; так как x ∈ B, то x ∈ C ∪ B, следовательно, x ∈ (A ∪ C) ∩ (B ∪ C).

Если x ∈ C, то x ∈ C ∪ A и x ∈ C ∪ B, а значит: x ∈ (A ∪ C) ∩ (B ∪ C).

Поскольку x ∈ (A ∩ B) ∪ C был выбран произвольно, утверждается, что любой элемент этого множества содержится в (A ∪ C) ∩ (B ∪ C), то есть:

Выбирается произвольный y из (A ∪ C) ∩ (B ∪ C).

По определению операции пересечения y ∈ C ∪ A и y ∈ C ∪ B.

Так как y ∈ C ∪ A, то y ∈ A или y ∈ C; так как y ∈ C ∪ B, то y ∈ C или y ∈ B. Таким образом, y ∈ C или y ∈ A и y ∈ B.

Если y ∈ A и y ∈ B, то y ∈ B ∩ A, а, следовательно, y ∈ (A ∩ B) ∪ C; если y ∈ C, то также y ∈ (A ∩ B) ∪ C.

Поскольку y из (A ∪ C) ∩ (B ∪ C) выбирался произвольно, утверждается, что любой элемент этого множества содержится в (A ∩ B) ∪ C, то есть

Из пунктов 1 и 2 вытекает, что

Пересечение и объединение множеств

Урок 30. Алгебра 8 класс ФГОС

В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам

Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобрев в каталоге.

Получите невероятные возможности

Конспект урока “Пересечение и объединение множеств”

Понятие множества является одним из основных понятий математики. Оно не определяется через другие, уже известные понятия. Его смысл раскрывается лишь путём описания.

Например, множество знаков зодиака, множество животных, множество деревьев, множество точек на прямой, множество треугольников на плоскости и т.д. .

Т.е. под понятием «множества» мы понимаем совокупность некоторых объектов, объединённых по какому-нибудь общему признаку, свойству.

Определение:

Предметы, которые составляют определённое множество, называют его элементами.

Например, множество времён года состоит из элементов: зима, весна, лето и осень. А множество дней недели из элементов: понедельник, вторник, среда, четверг, пятница, суббота и воскресенье.

Так, в алгебре выделяют следующие множества, которые вам уже знакомы: это множество натуральных чисел, множество целых чисел, множество рациональных чисел, множество действительных чисел.

Множества обозначают заглавными буквами латинского алфавита:

А его элементы – строчными:

Если – элемент множества А, то записывают так: .

Если не является элементом множества А, то записывают так: .

Множество, не имеющее ни одного элемента, называют пустым множеством.

Примером, пустого множества может служить множество всех точек пересечения двух параллельных прямых. Понятно, что две параллельные прямые никогда не пересекутся и, следовательно, точек пересечения они не имеют вовсе.

Существует два типа множеств – конечные и бесконечные.

Пусть есть некоторые два множества А и В.

Пусть два множества А и В.

И пусть каждый элемент множества В является элементом множества А.

Тогда множество В является подмножеством множества А.

Пусть А – множество натуральных делителей числа 24.

В – множество натуральных делителей числа 36.

Говорят, что множество С является пересечением множеств А и В.

Сделаем вывод: пересечением двух множеств называют множество, состоящее из всех общих элементов этих множеств.

Соотношение между множествами А, В и С можно изобразить с помощью специальных схем, которые называются кругами Эйлера. Смотрите, фигура, получившаяся при пересечении кругов (множества А и множества В), изображает множество С.

Пересечение множеств можно использовать тогда, когда надо найти элементы, которые удовлетворяют нескольким условиям.

Замечание: если два множества не имеют общих элементов, то пересечением этих множеств является пустое множество.

Напомним, что пустое множество принято обозначать таким знаком

Например:

Теперь рассмотрим объединение множеств.

Пусть А – множество натуральных делителей числа 24.

В – множество натуральных делителей числа 36.

Говорят, что множество D является объединением множеств А и В.

Сделаем вывод: объединением двух множеств называют множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из этих множеств.

Замечание: если элемент входит в оба множества, то в объединённое он входит один раз.

Задание: даны множества А и В, причём А – множество чётных чисел не превосходящих 15, а В – множество двузначных чисел не превосходящих 20. Задайте множества А и В перечислением элементов и найдите их пересечение и объединение.

Решение:

Задание: на экране изображены два отрезка АВ и CD. Какая фигура является: пересечением этих отрезков, объединением этих отрезков?

Решение:

Множество это совокупность некоторых объектов, объединённых по какому-нибудь общему признаку, свойству.

Предметы, которые составляют определённое множество, называют его элементами.

Пересечением двух множеств называют множество, состоящее из всех общих элементов этих множеств.

Объединением двух множеств называют множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из этих множеств.

Рейтинг
( Пока оценок нет )
Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Добавить комментарий

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: