Подготовка школьников к ЕГЭ и ОГЭ (Справочник по математике - Планиметрия

Биссектриса треугольника

Напомним, что биссектрисой угла называют луч, делящий угол пополам.

Определение . Биссектрисой треугольника называют отрезок, являющийся частью биссектрисы угла треугольника и соединяющий вершину треугольника с точкой на противоположной стороне (рис 1).

Поскольку в каждом треугольнике имеются три угла, то в каждом треугольнике можно провести три биссектрисы.

На рисунке 1 биссектрисой является отрезок AD .

Теорема 1 . Биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника.

Доказательство . Продолжим сторону AC треугольника ABC , изображенного на рисунке 1, за точку A . Проведем через точку B прямую, параллельную биссектрисе AD . Обозначим точку пересечения построенных прямых буквой E (рис. 2).

Докажем, что отрезки AB и AE равны. Для этого заметим, что угол EBA равен углу BAD , поскольку эти углы являются внутренними накрест лежащими при параллельных прямых EB и AD . Заметим также, что угол BEA равен углу DAC , поскольку эти углы являются соответственными при параллельных прямых EB и AD . Таким образом, угол EBA равен углу BEA , откуда вытекает, что треугольник EAB является равнобедренным, и отрезки AB и AE равны.

Отсюда, воспользовавшись теоремой Фалеса, получаем:

что и требовалось доказать.

Следствие 1 . Рассмотрим рисунок 3, на котором изображен тот же треугольник, как и на рисунке 1, но для длин отрезков использованы обозначения

b = |AC|, a = |BC|, c = |AB|, p = |BD|, q = |DC|.

что и требовалось доказать.

Следствие 2 . Рассмотрим рисунок 4, на котором изображены две биссектрисы треугольника, пересекающиеся в точке O .

Тогда справедлива формула:

что и требовалось доказать.

Теорема 2 . Рассмотрим рисунок 5, который практически совпадает с рисунком 2.

Тогда для длины биссектрисы справедлива формула:

Доказательство . Из рисунка 5 следует формула

Если воспользоваться этой формулой, то из подобия треугольников ADC и EBC , получаем:

что и требовалось доказать.

Теорема 3 . Длину биссектрисы треугольника (рис.6) можно найти по формуле:

Доказательство . Рассмотрим рисунок 6

откуда с помощью Теоремы 2 получаем:

что и требовалось доказать.

Задача . Из вершины C треугольника ABC (рис.7) проведена биссектриса CD и высота CE .

Доказать, что выполнено равенство:

Решение . Поскольку CD – биссектриса угла ACB , то

Поскольку CE – высота, то

что и требовалось доказать.

Из решения этой задачи вытекает простое следствие.

Следствие . Длины биссектрисы CD и высоты CE связаны следующей формулой:

Биссектриса треугольника онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора можно найти биссектрису треугольника. Для нахождения длины биссектрисы треугольника введите длины сторон треугольника, выберите сторону, к которой проведена биссектриса и нажмите на кнопку “Вычислить”. Теоретическую часть смотрите ниже.

Длина биссектрисы треугольника

Рассмотрим треугольник на Рис.5.

Длина биссектрисы треугольника можно вычислить следующими формулами:

где p − полупериметр треугольника ABC, ( small gamma -) угол между биссектрисой ( small l_c) и вершиной ( small h_c:)

Доказательство. 1) Из теоремы Стюарта следует:

(1)

А из теоремы о биссектрисе треугольника следует, что если l_c является биссектрисей треугольника ABC (Рис.5), то имеет место следующее соотношение:

(2)

Поскольку то (2) можно переписать так:

(3)

Найдем x из (3):

(4)

(5)

Подставим (4) и (5) в (1):

(6)

Доказательство. 2) Подставим (4) и (5) в (6):

(7)

(8)

Доказательство. 3) Сделаем следующее обозначение:

(9)

Сделаем преобразования формулы (7), учитывая (9):

(10)

Доказательство. 4) Для доказательства четвертой формулы, снова обратимся к рисунке Рис.5. Запишем формулы площадей треугольников ABC, ADC и BDC:

Учитывая, что , получим:

(11)

Для ( small sin C ) применим формулу синуса двойного угла:

(12)

Подставляя (12) в (11) получим:

(13)

Доказательство. 5) Докажем пятую формулу. Из вершины C проведена вершина CH. Имеем прямоугольный треугольник CHD, для которого имеет место следующее равенство:

Решаем типовую задачу по аналитической геометрии. Прямая линия на плоскости.

Рассмотрим принцип решения задач по теме : “Прямая линия на плоскости, нахождение уравнения прямой, проходящей через заданную точку, нахождение точек пересечения, углов биссектрис и т.д.”.

В качестве примера рассмотрим следующую задачу

Пример: Даны координаты вершин треугольника (ABC) (A(3; -3); B(-1;-6); C(-6;0))

Составьте уравнение сторон треугольника.
Найдите уравнение
1. высоты (AD),
2. медианы (BM),
3. биссектрисы (CF).
Составьте систему неравенств, областью решения которой является множество всех точек треугольника (ABC).
Найдите угол (B) в радианах с точностью до двух знаков.
Сделайте чертеж.

Составьте уравнение сторон треугольника. Для составления уравнения сторон треугольника обратимся к условию задачи. В условии даны координаты трех вершин треугольника, т.е. для составления уравнения прямых (AB,BC,CD) даны по 2 точки, через которые эти прямые проходят. Для решения воспользуемся уравнением прямой, проходящей через две заданные точки $$frac=frac$$ где ((x_1;y_1)) – координаты первой известной точки, ((x_2;y_2)) – координаты второй известной точки. Подставим координаты и получим уравнение прямых
прямая (AB) , проходит через точки (A(3; -3); B(-1;-6)), составим уравнение $$frac<(-6)-(-3)>=frac<-1-3>=>frac<-3>=frac<-4>=>y=frac<3><4>x-frac<21><4>$$ получили уравнение прямой (AB). В уравнении прямой отметим угловой коэффициент (k_ = frac<3><4>), который понадобится в следующих задачах.
прямая (BC), проходит через точки (B(-1;-6);C(-6;0)), составим уравнение $$frac<0-(-6)>=frac<-6-(-1)>=>frac<6>=frac<-5>=>y=-frac<6><5>x-frac<36><5>$$ получили уравнение прямой (BC). В уравнении прямой отметим угловой коэффициент (k_ = -frac<6><5>), который понадобится в следующих задачах.
прямая (AC), проходит через точки (A(3; -3);C(-6;0)), составим уравнение $$frac<0-(-3)>=frac<-6-3>=>frac<3>=frac<-9>=>y=-frac<1><3>x-2$$ получили уравнение прямой (AC). В уравнении прямой отметим угловой коэффициент (k_ = -frac<1><3>), который понадобится в следующих задачах.
Найдите уравнение
1. высоты (AD), в уравнении высоты у нас известна координата только одной точки – (A(3; -3)), поэтому воспользуемся уравнением прямой, проходящей через заданную точку в данном направлении. $$y-y_0=k_(x-x_0)$$ , где ((x_0;y_0)) – координаты известной точки, а (k_) – угловой коэффициент. В данном уравнении нам неизвестен только угловой коэффициент. Найдем его, для этого воспользуемся свойство перпендикулярных прямых. Прямая (AD bot BC). Запишем свойство (k_*k_ = -1 =>k_*( -frac<6><5>)= -1 =>k_=frac<5><6>). Составим уравнение прямой (AD) $$y-(-3)=frac<5><6>(x-3)=>y = frac<5><6>x-frac<11><2>$$
2. медианы (BM), для нахождения уравнения медианы в задаче даны координаты одной точки (B(-1;-6)), а также известно, что медиана делит противоположную сторону пополам. Найдем координаты точки (M). Для этого воспользуемся формулой координаты точки, которая делит отрезок (AC) в заданном отношении (lambda), где (lambda = frac=frac<1><1>=1), а координаты ((x_1;y_1),(x_2;y_2)) – координаты концов отрезка, который делит точка (M) т.е.точек (A(3; -3); C(-6;0)), подставим и получим $$x = frac<1+lambda>=frac<3+1*(-6)><1+1>=-frac<3><2>$$$$y = frac<1+lambda>=frac<-3+1*0><1+1>=-frac<3><2>$$получили координаты точки (M(-frac<3><2>;-frac<3><2>)). Получили две точки, через которые проходит прямая, для получения уравнения прямой воспользуемся уравнением прямой, проходящей через заданные две точки (frac=frac), подставим координаты точек ( B(-1;-6),M(-frac<3><2>;-frac<3><2>) ) и получим $$frac<-frac<3><2>+6>=frac<-frac<3><2>+1> =>y=-9x-15$$
3. биссектрисы (CF), для нахождения уравнения биссектрисы воспользуемся свойством биссектрисы угла треугольника: биссектриса внутреннего угла треугольника делит противоположную углу сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам (frac=frac), т.е. таким образом мы найдем коэффициент (lambda), затем воспользуемся формулой координаты точки, которая делит отрезок (AB) в заданном отношении (lambda) и найдем координаты точки (F) и последнее, подставим полученные координаты в уравнение прямой, проходящей через две заданные точки.
Приступим: найдем длины отрезков (AC), (BC). $$AC = sqrt<(x_c-x_a)^2+(y_b-y_a)^2>=sqrt <(-6-3)^2+(0-(-3))^2>=sqrt<9^2+3^2>=sqrt<90>$$$$BC = sqrt<(x_c-x_b)^2+(y_c-y_b)^2>=sqrt <(-6-(-1))^2+(0-(-6))^2>=sqrt<5^2+6^2>=sqrt<61>$$ теперь найдем коэффициент (lambda=frac=frac=sqrt<61>>). Найдем координаты точки (F) при известных координатах концов отрезка (AB) (A(3; -3); B(-1;-6)) $$x = frac<1+lambda>=frac<3-sqrt<61>>><1+sqrt<61>>>$$$$y = frac<1+lambda>=frac<-3-6*sqrt<61>>><1+sqrt<61>>>$$Получили две точки, через которые проходит прямая (CF), для получения уравнения прямой (CF) воспользуемся уравнением прямой, проходящей через заданные две точки (frac=frac), подставим координаты точек ( C(-6;0); F(frac<3-sqrt<61>>><1+sqrt<61>>>;frac<-3-6*sqrt<61>>><1+sqrt<61>>>) ) и получим $$frac<61>>><1+sqrt<61>>>-0>=frac<61>>><1+sqrt<61>>>+6> =>frac<61>>><1+sqrt<61>>>>=frac<61>>+6+6*sqrt<61>>><1+sqrt<61>>>> =>$$$$frac<-3-6*sqrt<61>>>=frac<9+5sqrt<61>>>=>$$$$y=frac<9+5sqrt<61>>>*(-3-6*sqrt<61>>)=>$$$$y=-frac<3+6*sqrt<61>>><9+5sqrt<61>>>*x-18frac<1+2*sqrt<61>>><9+5sqrt<61>>>$$

Составьте систему неравенств, областью решения которой является множество всех точек треугольника (ABC). Это множество точек, которые лежат ниже прямой (AC), т.е. (y leq -frac<1><3>x-2), выше прямых (BC) (y geq -frac<6><5>x-frac<36><5>) и (AB) (y geq frac<3><4>x-frac<21><4>), запишем это $$beginy leq -frac<1><3>x-2 \ y geq -frac<6><5>x-frac<36><5>\ y geq frac<3><4>x-frac<21><4>end$$

Найдите угол (B) в радианах с точностью до двух знаков. Угол между прямыми рассчитывается по формуле $$mboxa = |frac<1+k_1*k_2>|$$где (k_1=k_=-frac<6><5>), (k_2=k_=frac<3><4>) подставим в формулу $$mboxa = |frac<4>+frac<6><5>><1-frac<3><4>*frac<6><5>>|=19frac<1><2>=> a = 87.06^0$$Данная формула позволяет вычислить острый угол между прямыми. Из рисунка видно, что искомый угол (B) треугольника – тупой угол (ΔADB) – прямоугольный, угол (D=90), остальные два угла в сумме меньше (90^0), т.е. (B = 180^0-a=180^0-87.06^0=92,94^0). В задаче необходимо в ответе указать угол в радианах (B=92,94^0*frac<180^0>=1,62)

Сделайте чертеж.

Определение и свойства биссектрисы угла треугольника

В данной публикации мы рассмотрим определение и основные свойства биссектрисы угла треугольника, а также приведем пример решения задачи, чтобы закрепить представленный материал.

Определение биссектрисы угла треугольника
Свойства биссектрисы треугольника
- Свойство 1 (теорема о биссектрисе)
- Свойство 2
- Свойство 3
- Свойство 4
- Свойство 5
Пример задачи

Определение биссектрисы угла треугольника

Биссектриса угла – это луч, который берет начала в вершине угла и делит данный угол пополам.

Биссектриса треугольника – это отрезок, соединяющий вершину угла треугольника с противоположной стороной и делящий этот угол на две равные части. Такая биссектриса, также, называется внутренней.

BD – биссектриса угла ABC;
α = β.

Основание биссектрисы – точка на стороне треугольника, которую пересекает биссектриса. Т.е. в нашем случае – это точка D.

Внешней называется биссектриса угла, смежного с внутренним углом треугольника.

СD – внешняя биссектриса угла, смежного с ∠ACB;
α = β.

Свойства биссектрисы треугольника

Свойство 1 (теорема о биссектрисе)

Биссектриса угла треугольника делит его противоположную сторону в пропорции, равной отношению прилежащих к данному углу сторон. Т.е. для нашего треугольника (см. самый верхний рисунок):

Свойство 2

Точка пересечения трех внутренних биссектрис любого треугольника (называется инцентром) является центром вписанной в фигуру окружности.

Свойство 3

Все биссектрисы треугольника в точке пересечения делятся в отношении, равном сумме прилежащих к углу сторон, деленной на противолежащую сторону (считая от вершины).

Свойство 4

Если известны длины отрезков, образованных на стороне, которую пересекает биссектриса, а также две другие стороны треугольника, найти длину биссектрисы можно по формуле ниже (следует из теоремы Стюарта):

BD 2 = AB ⋅ BC – AD ⋅ DC

Свойство 5

Внешняя и внутренняя биссектрисы одного и того же угла треугольника перпендикулярны друг к другу.

CD – внутренняя биссектриса ∠ACB;
CE – биссектриса угла, смежного с ∠ACB;
∠DCE равен 90°, т.е. биссектрисы CD и CE перпендикулярны.

Пример задачи

Дан прямоугольный треугольник с катетами 6 см и 8 см. Найдите длину биссектрисы, проведенной к гипотенузе.

Решение
Нарисуем чертеж согласно условиям задачи.

Применив теорему Пифагора мы можем найти длину гипотенузы (ее квадрат равен сумме квадратов двух катетов).
BC 2 = AB 2 + AC 2 = 6 2 + 8 2 = 100.
Следовательно, BC = 10 см.

Далее составляем пропорцию согласно Свойству 1, условно приняв отрезок BD на гипотенузе за “a” (тогда DC = “10-a”):

Избавляемся от дробей и решаем получившееся уравнение:
8a = 60 – 6a
14a = 60
a ≈ 4,29

Таким образом, BD ≈ 4,29 см, CD ≈ 10 – 4,29 ≈ 5,71 см.

Теперь мы можем вычислить длину биссектрисы, использую формулу, приведенную в Свойстве 4:
AD 2 = AB ⋅ AC – BD ⋅ DC = 6 ⋅ 8 – 4,29 ⋅ 5,71 ≈ 23,5.

Уравнение биссектрисы треугольника по координатам вершин – формула

Учебный курс

Решаем задачи по геометрии

БИССЕКТРИСА УГЛА ТРЕУГОЛЬНИКА

Биссектриса треугольника – отрезок биссектрисы угла, соединяющий вершину этого угла с точкой на противолежащей стороне.

У биссектрис угла треугольника есть масса свойств, которые описываются через свойства треугольника. Это поможет в решении задач.

Свойства биссектрис треугольника

Биссектриса треугольника, проведенная из данной вершины, тождественна биссектрисе соответствующего угла. Биссектриса угла треугольника, выходящая из его вершины, делит этот угол треугольника пополам

Все три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, которая расположена всегда в плоскости треугольника и является центром вписанной окружности. Примечание. Имеются ввиду биссектрисы внутренних углов треугольника.

Каждая биссектриса треугольника делится точкой пересечения биссектрис в отношении суммы прилежащих сторон к противолежащей, считая от вершины
Биссектриса любого внутреннего угла треугольника делит противоположную сторону на части, пропорциональные сторонам треугольника
Биссектрисы одного внутреннего и двух внешних углов треугольника пересекаются в одной точке. Эта точка — центр одной из трёх вневписанных окружностей этого треугольника.
Угол между биссектрисами двух смежных углов (между внутренними и внешними биссектрисами углов треугольника при одной вершине) равен 90 градусам

Свойства биссектрис равнобедренного треугольника

У равнобедренного треугольника медиана, биссектриса и высота, проведенные к основанию треугольника, совпадают

Если в треугольнике две биссектрисы равны, то треугольник — равнобедренный (теорема Штейнера — Лемуса), и третья биссектриса одновременно является медианой и высотой того угла, из которого она выходит.

В равнобедренном треугольнике две биссектрисы равны, а третья биссектриса является его медианой и высотой

Одна и только одна биссектриса внешнего угла неравностороннего треугольника может быть параллельна противоположной стороне — основанию, если треугольник равнобедренный

Свойства биссектрис равностороннего треугольника

У равностороннего треугольника все три биссектрисы внешних углов параллельны противоположным сторонам

У равностороннего треугольника все три внутренние биссектрисы равны

У равностороннего треугольника все три «замечательные» линии (высота, биссектриса и медиана) совпадают и три «замечательных» точки (точки ортоцентра, центра тяжести и центра вписанной и описанной окружностей) находятся в одной точке пересечения «замечательных» линий, т.е. тоже совпадают.

Формулы нахождения биссектрисы угла

a, b, c – стороны треугольника, при этом биссектриса проведена из угла, находящегося между сторонами a, b
α,β,γ – углы треугольника, противолежащие сторонам a,b,c соответственно
p – полупериметр треугольника (половина суммы всех его сторон)
c_a, c_b – отрезки, на которые биссектрисой, проведенной из угла c разбита сторона c

l_c – длина биссектрисы, проведенной к стороне c из угла γ.

Длина биссектрис треугольника может быть выражена через равенство с квадратом суммы всех его сторон.

Формулы нахождения расстояния от угла до точки пересечения биссектрис

l_co – длина отрезка, лежащего на биссектрисе от вершины угла до центра пересечения биссектрис
r – радиус окружности, вписанной в треугольник
R – радиус описанной окружности
a, b, c – стороны треугольника, при этом биссектриса проведена из угла, находящегося между сторонами a, b
γ – угол треугольника, противолежащий стороне c
p – полупериметр треугольника (половина суммы всех его сторон)

Примеры решения задач

Примечание. В данном уроке изложены задачи по геометрии о биссектрисе. Если Вам необходимо решить задачу по геометрии, которой здесь нет – пишите об этом в форуме. Почти наверняка курс будет дополнен.

Луч AD является биссектрисой угла A. На сторонах угла A отмечены точки B,C так что угол ADC равен углу ADB. Доказать, что AB=AC.

Решение.
Рассмотрим треугольники ADB и ADC. Сторона AD у них общая, углы DAC и DAB равны, так как биссектриса AD делит угол А пополам, а углы ADC и ADB равны по условию задачи. Таким образом, треугольники ADB и ADC равны по стороне и двум углам.

Уравнение биссектрисы треугольника по координатам вершин – формула

Задача 1. Дан треугольник АВС: А(2,1), В(-1,3), С(-4,1). Найти:

уравнение и длину высоты А D ; уравнение и длину медианы СЕ; внутренний угол В; систему линейных неравенств, определяющую треугольник. Сделать чертеж.

Решение . Сделаем чертеж.

C 1 A

1. Составим уравнения всех сторон треугольника, используя уравнение прямой, проходящей через две данные точки.

Так как точки А и С имеют одинаковую ординату, используем данное уравнение в преобразованном виде:

2. Найдем длину высоты А D . Используем формулу расстояния от точки до прямой:

Приведем уравнение ВС к общему уравнению прямой.

3. Составим уравнение высоты А D . Она проходит через точку А(2,1) и перпендикулярна прямой ВС, k _BC =2/3. Из условия перпендикулярности k _AD =-1/ k _BC =-3/2. Воспользуемся уравнением прямой, проходящей через данную точку в данном направлении:

4. Для нахождения длины и уравнения медианы СЕ найдем координаты точки Е как середины отрезка АВ.

Точка Е (1 /2,2).

5. Найдем внутренний угол В. Он отсчитывается в положительном направлении от прямой ВС к прямой АВ. k _BC =2/3, k _AB =-2/3.

6. Составим систему линейных неравенств, определяющую треугольник. Запишем уравнения сторон в виде

AB : 2 x + 3 y = 7 ,

BC : 2 x – 3 y =- 11 ,

Подставим точку с координатами (-1, 2), лежащую внутри треугольника, в левые части равенств.

2 x – 3 y =- 2-6=-8>-11,

Следовательно, система неравенств, описывающая треугольник, имеет вид

Задача 2. Составить каноническое уравнение гиперболы, если известно, что ее эксцентриситет равен 1,25 и гипербола проходит через точку .

Решение . Каноническое уравнение гиперболы имеет вид . Так как гипербола проходит через точку А (8; ), то ее координаты удовлетворяют уравнению гиперболы, т.е. . Так, как = 1,25, то = 1,25, но , тогда = 1,5625 или .

Итак, получаем систему двух уравнений с двумя неизвестными а и b .

Решая эту систему, находим = 16 и = 9, следовательно, каноническое уравнение гиперболы имеет вид .

Задача 3. Составить уравнение прямой, проходящей через вершину параболы и центр окружности .

Решение . Найдем координаты вершины параболы и координаты центра окружности. Для этого выделим полные квадраты по каждой переменной.

Уравнение параболы: ;

уравнение окружности: .

Следовательно, вершина параболы имеет координаты В (2;3), а центр окружности имеет координаты С (-2; 1).

Тогда уравнение искомой прямой составим по формуле

Получим , или .

ГДЗ по Математике 5 класс Виленкин Жохов Чесноков. Учебник Мнемозина ФГОС (ответы к новому и старому учебнику)

Авторы: Н.Я. Виленкин , В.И. Жохов , А.С. Чесноков , С.И. Шварцбурд .

Издательство: Мнемозина

Тип: Учебник

Изучая математику, многие дети не могут обойтись без ГДЗ по математике 5 класс Виленкин. Такая мера полностью оправдана, ведь сам по себе этот предмет очень непростой. К тому же и учителя порой не достаточно четко и ясно разъясняют материал своим подопечным. А большинство родителей слишком заняты, чтобы уделять учебному процессу достаточно внимания. Да многие из них уже и подзабыли все необходимые навыки. Поэтому осваивать такие темы, как:

натуральные числа и шкалы;
арифметические действия с натуральными числами;
площади и объемы;
обыкновенные и десятичные дроби;
инструменты для вычисления и измерения.

Но не все ребята могут это сделать, поэтому помочь им может решебник, где собрана обширная информация по всему текущему курсу. Используя этот сборник, ребята могут добиться значительного прогресса в освоении данной дисциплины. Он будет полезен для всех школьников, от отличников до двоечников.

Когда стоит пользоваться онлайн-помощником по математике за 5 класс Виленкина

В данное пособие вошли две главы, разделенные на восемь параграфов. Авторы приводят разъяснение по сорока четырем темам, которые в них содержаться. Всего в ГДЗ имеется одна тысяча восемьсот сорок девять заданий, на которые даны доскональные ответы. Ученики при помощи их могут проработать каждое решение, найти и исправить любые неточности, повторить ранее пройденный материал.

При этом решебник помогает не только в проверке домашних заданий, но и в подготовке к разноплановым проверочным работам. Благодаря доступно изложенной и подробной информации, школьники могут восполнить недостающие познания.

Лишь немногие ребята с удовольствием ходят на уроки математики. Остальные же просто не понимают этот предмет, поэтому все время дергаются в классе, боясь, что учитель их о чем-то спросит. Больше всего проблем возникает с выполнением д/з, ведь если в школе еще можно что-то спросить, то дома приходится рассчитывать только на себя. Поэтому очень большим подспорьем для учащихся является пособие по математике 5 класс Виленкина, в котором они могут найти много полезной и актуальной информации. Правильно используя этот сборник, можно получать очень хорошие результаты в плане оценок, да и знания в полной мере осядут в памяти.

Глава 1. Натуральные числа

§ 1. Натуральные числа и шкалы

§ 2. Сложение и вычитание натуральных чисел

§ 3. Умножение и деление натуральных чисел

§ 4. Площади и объёмы

Глава 2. Дробные числа

§ 5. Обыкновенные дроби

§ 6. Десятичные дроби. Сложение и вычитание десятичных дробей

§ 7. Умножение и деление десятичных дробей

§ 8. Инструменты для вычисления и измерений

В 5 классе вся школьная программа усложняется, ведь ученики переходят из начальной школы в среднее звено. И, конечно, нельзя не отметить математику, которая приносит больше всего сложностей. Трудно поспорить с тем, что именно ее множество школьников недолюбливает и не понимает, для чего она вообще нужна. Хотя, если задуматься, на ум придет достаточно много простых и житейских примеров: банальная оплата товаров и подсчет процентов со скидки или кредита. Вообще эта дисциплина является языком всех естественных наук, ее формулы и методы нужно для всего: от составления прогнозов погоды и построения новых зданий до глубинного познания космоса. А сколько престижных и высокооплачиваемых профессий связаны с ней! Это и архитектор, и инженер, и строитель, и дизайнер, и многие другие. Конечно, в большинстве своем он только технические, но это не значит, что не интересные, так как и в них есть место творчеству и самовыражению. К тому же, этот предмет способствует развитию логического мышления, тренирует память, формирует вычислительные способности и вообще очень тренирует мозг.

Для того чтобы дети действительно вдумчиво изучали этот предмет, необходимо создать им комфортные условия. То есть, чтобы дома они могли заниматься самостоятельно в удобное для них время, тогда домашняя работа не будет таким испытанием ни для детей, ни для их родителей. Поможет в самообучении решебник, составленный командой опытных методистов и выпущенный издательством «Мнемозина».

Как именно ГДЗ по математике за 5 класс (авторы: Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд) сможет помочь школьникам

Предложенный справочник будет верным другом для вашего ребенка, так как решение каждой задачки объяснено максимально понятно и доходчиво. Ученик не будет просто сидеть и бездумно списывать, ведь детальное пояснение и комментарии авторов помогут ему по-настоящему вникнуть в материал. Так же мамы и папы смогут с помощью задачника проверять д/з и не тратить на это слишком много времени после работы. Другие достоинства: