Как перевести десятичную дробь в обыкновенную – правило и примеры

Как перевести десятичную дробь в обыкновенную

Вот, казалось бы, перевод десятичной дроби в обычную — элементарная тема, но многие ученики её не понимают! Поэтому сегодня мы подробно рассмотрим сразу несколько алгоритмов, с помощью которых вы разберётесь с любыми дробями буквально за секунду.

Напомню, что существует как минимум две формы записи одной и той же дроби: обыкновенная и десятичная. Десятичные дроби — это всевозможные конструкции вида 0,75; 1,33; и даже −7,41. А вот примеры обыкновенных дробей, которые выражают те же самые числа:

Сейчас разберёмся: как от десятичной записи перейти к обычной? И самое главное: как сделать это максимально быстро?

Основной алгоритм

На самом деле существует как минимум два алгоритма. И мы сейчас рассмотрим оба. Начнём с первого — самого простого и понятного.

Чтобы перевести десятичную дробь в обыкновенную, необходимо выполнить три шага:

    Переписать исходную дробь в виде новой дроби: в числителе останется исходная десятичная дробь, а в знаменателе нужно поставить единицу. При этом знак исходного числа также помещается в числитель. Например:

  • Умножаем числитель и знаменатель полученной дроби на 10 до тех пор, пока в числителе не исчезнет запятая. Напомню: при каждом умножении на 10 запятая сдвигается вправо на один знак. Разумеется, поскольку знаменатель тоже умножается, там вместо числа 1 будут появляться 10, 100 и т.д. Примеры: Алгоритм перехода к обычным дробям
  • Наконец, сокращаем полученную дробь по стандартной схеме: делим числитель и знаменатель на те числа, которым они кратны. Например, в первом примере 0,75=75/100, при этом и 75, и 100 делятся на 25. Поэтому получаем $0,75=frac<75><100>=frac<3cdot 25><4cdot 25>=frac<3><4>$ — вот и весь ответ.:)
  • Важное замечание по поводу отрицательных чисел. Если в исходном примере перед десятичной дробью стоит знак «минус», то и на выходе перед обыкновенной дробью тоже должен стоять «минус». Вот ещё несколько примеров:

    Примеры перехода от десятичной записи дробей к обычной

    Особое внимание хотелось бы обратить на последний пример. Как видим, в дроби 0,0025 присутствует много нулей после запятой. Из-за этого приходится аж целых четыре раза умножать числитель и знаменатель на 10. Можно ли как-то упростить алгоритм в этом случае?

    Конечно, можно. И сейчас мы рассмотрим альтернативный алгоритм — он чуть более сложен для восприятия, но после небольшой практики работает намного быстрее стандартного.

    Более быстрый способ

    В данном алгоритме также 3 шага. Чтобы получить обычную дробь из десятичной, нужно выполнить следующее:

    Вот и всё! На первый взгляд, эта схема сложнее предыдущей. Но на самом деле он и проще, и быстрее. Судите сами:

    Как видим, в дроби 0,64 после запятой стоит две цифры — 6 и 4. Поэтому $n=2$. Если убрать запятую и нули слева (в данном случае — всего один ноль), то получим число 64. Переходим ко второму шагу: $<<10>^>=<<10>^<2>>=100$, поэтому в знаменателе стоит именно сто. Ну а затем остаётся лишь сократить числитель и знаменатель.:)

    Ещё один пример:

    Здесь всё чуть сложнее. Во-первых, цифр после запятой уже 3 штуки, т.е. $n=3$, поэтому делить придётся на $<<10>^>=<<10>^<3>>=1000$. Во-вторых, если убрать из десятичной записи запятую, то мы получим вот это: 0,004 → 0004. Вспомним, что нули слева надо убрать, поэтому по факту у нас число 4. Дальше всё просто: делим, сокращаем и получаем ответ.

    Наконец, последний пример:

    Особенность этой дроби — наличие целой части. Поэтому на выходе у нас получается неправильная дробь 47/25. Можно, конечно, попытаться разделить 47 на 25 с остатком и таким образом вновь выделить целую часть. Но зачем усложнять себе жизнь, если это можно сделать ещё на этапе преобразований? Что ж, разберёмся.

    Что делать с целой частью

    На самом деле всё очень просто: если мы хотим получить правильную дробь, то необходимо убрать из неё целую часть на время преобразований, а затем, когда получим результат, вновь дописать её справа перед дробной чертой.

    Например, рассмотрим то же самое число: 1,88. Забьём на единицу (целую часть) и посмотрим на дробь 0,88. Она легко преобразуется:

    Затем вспоминаем про «утерянную» единицу и дописываем её спереди:

    Вот и всё! Ответ получился тем же самым, что и после выделения целой части в прошлый раз. Ещё парочка примеров:

    В этом и состоит прелесть математики: каким бы путём вы не пошли, если все вычисления выполнены правильно, ответ всегда будет одним и тем же.:)

    В заключение хотел бы рассмотреть ещё один приём, который многим помогает.

    Преобразования «на слух»

    Давайте задумаемся о том, что вообще такое десятичная дробь. Точнее, как мы её читаем. Например, число 0,64 — мы читаем его как «ноль целых, 64 сотых», правильно? Ну, или просто «64 сотых». Ключевое слово здесь — «сотых», т.е. число 100.

    Читайте также:
    Как провести перпендикуляр к прямой - примеры чертежей

    А что насчёт 0,004? Это же «ноль целых, 4 тысячных» или просто «четыре тысячных». Так или иначе, ключевое слово — «тысячных», т.е. 1000.

    Ну и что в этом такого? А то, что именно эти числа в итоге «всплывают» в знаменателях на втором этапе алгоритма. Т.е. 0,004 — это «четыре тысячных» или «4 разделить на 1000»:

    Попробуйте потренироваться сами — это очень просто. Главное — правильно прочесть исходную дробь. Например, 2,5 — это «2 целых, 5 десятых», поэтому

    А какое-нибудь 1,125 — это «1 целая, 125 тысячных», поэтому

    В последнем примере, конечно, кто-то возразит, мол, не всякому ученику очевидно, что 1000 делится на 125. Но здесь нужно помнить, что 1000 = 10 3 , а 10 = 2 ∙ 5, поэтому

    [begin& 1000=10cdot 10cdot 10=2cdot 5cdot 2cdot 5cdot 2cdot 5= \& =2cdot 2cdot 2cdot 5cdot 5cdot 5=8cdot 125end]

    Таким образом, любая степень десятки раскладывается лишь на множители 2 и 5 — именно эти множители нужно искать и в числителе, чтобы в итоге всё сократилось.

    На этом урок окончен. Переходим к более сложной обратной операции — см. «Переход от обыкновенной дроби к десятичной».

    Перевод десятичной дроби в обыкновенную и наоборот: правило, примеры

    Бывает, что для удобства расчетов нужно перевести обыкновенную дробь в десятичную и наоборот. О том, как это делать, мы поговорим в данной статье. Разберем правила перевода обыкновенных дробей в десятичные и обратно, а также приведем примеры.

    Перевод обыкновенных дробей в десятичные

    Мы будем рассматривать перевод обыкновенных дробей в десятичные, придерживаясь определенной последовательности. Во первых, рассмотрим, как в десятичные переводятся обыкновенные дроби со знаменателем, кратным 10: 10, 100, 1000 и т.д.Дроби с такими знаменателями, по сути, являются, более громоздкой записью десятичных дробей.

    Далее мы рассмотрим, как переводить в десятичные дроби обыкновенные дроби с любым, не только кратным 10, знаменателем. Отметим, что при обращении обыкновенных дробей в десятичные получаются не только конечные десятичные, но и бесконечные периодические десятичные дроби.

    Перевод обыкновенных дробей со знаменателями 10, 100, 1000 и т.д. в десятичные дроби

    Первым делом, скажем, что некоторые дроби нуждаются в определенной подготовке перед обращением в десятичный вид. В чем она заключается? Перед цифрой, стоящей в числителе, необходимо дописать столько нулей, чтобы количество цифр числителя стало равно числу нулей в знаменателе. Например, для дроби 3100 число 0 необходимо один раз дописать слева от 3 в числителе. Дробь 610, согласно изложенному выше правилу, не нуждается в доработке.

    Рассмотрим еще один пример, после чего сформулируем правило, которым особенно удобно пользоваться на первых порах, пока опыта в обращении дробей не так много. Так, дробь 1610000 после дописывания нулей в числителе будет иметь вид 001510000.

    Как перевести обыкновенную дробь со знаменателем 10, 100, 1000 и т.д. в десятичную?

    Правило перевода обыкновенных правильных дробей в десятичные

    1. Записываем 0 и ставим после него запятую.
    2. Записываем число из числителя, которое получилось после дописывания нулей.

    Теперь перейдем к примерам.

    Пример 1. Перевод обыкновенных дробей в десятичные

    Переведем обыкновенную дробь 39 100 в десятичную.

    Сначала смотрим на дробь и видим, что никаких подготовительных действий проводить не нужно – количество цифр в числителе совпадает с количеством нулей в знаменателе.

    Следуя правилу, записываем 0 , ставим после него десятичную запятую и записываем число из числителя. Получаем десятичную дробь 0 , 39 .

    Разберем решение еще одного примера по этой теме.

    Пример 2. Перевод обыкновенных дробей в десятичные

    Запишем дробь 105 10000000 в виде десятичной дроби.

    Количество нулей в знаменателе равно 7 , а в числителе только три цифры. Допишем перед числом в числителе еще 4 нуля:

    Теперь записываем 0 , ставим после него десятичную запятую и записываем число из числителя. Получаем десятичную дробь 0 , 0000105 .

    Рассмотренные во всех примерах дроби – обыкновенные правильные дроби. Но как перевести неправильную обыкновенную дробь в десятичную? Сразу скажем, что необходимость в подготовке с дописыванием нулей для таких дробей отпадает. Сформулируем правило.

    Правило перевода обыкновенных неправильных дробей в десятичные

    1. Записываем число, которое находится в числителе.
    2. Десятичной запятой отделяем столько цифр справа, сколько нулей есть в знаменателе исходной обыкновенной дроби.

    Ниже приведем пример на использование этого правила.

    Пример 3. Перевод обыкновенных дробей в десятичные

    Переведем дробь 56888038009 100000 из обыкновенной неправильной в десятичную.

    Читайте также:
    Точки пересечения графиков функций - понятие, как их найти

    Сначала запишем число из числителя:

    Теперь справа отделим десятичной запятой пять цифр (количество нулей в знаменателе – пять). Получим:

    Следующий вопрос, который закономерно возникает: как перевести в десятичную дробь смешанное число, если знаменателем его дробной части является число 10, 100, 1000 и т.д. Для обращения в десятичную дробь такого числа можно воспользоваться следующим правилом.

    Правило перевода смешанных чисел в десятичные дроби

    1. Выполняем подготовку дробной части числа, если это необходимо.
    2. Записываем целую часть исходного числа и ставим после него запятую.
    3. Записываем число из числителя дробной части вместе с дописанными нулями.

    Обратимся к примеру.

    Пример 4. Перевод смешанных чисел в десятичные дроби

    Переведем смешанное число 23 17 10000 в десятичную дробь.

    В дробной части имеем выражение 17 10000 . Выполним его подготовку и допишем слева от числителя еще два нуля. Получим: 0017 10000 .

    Теперь записываем целую часть числа и ставим после него запятую: 23 , . .

    После запятой записываем число из числителя вместе с нулями. Получаем результат:

    23 17 10000 = 23 , 0017

    Перевод обыкновенных дробей в конечные и бесконечные периодические дроби

    Конечно, можно переводить в десятичные дроби и обыкновенные дроби со знаменателем, не равным 10, 100, 1000 и т.д.

    Часто дробь можно легко привести к новому знаменателю, а затем уже воспользоваться правилом, изложенным в первом пункте данной статьи. Например, достаточно умножить числитель и знаменатель дроби 25 на 2, и мы получим дробь 410, которая легко приводится к десятичному виду 0,4.

    Однако такой способ перевода обыкновенной дроби в десятичную удается использовать не всегда. Ниже рассмотрим, как поступать, если применить рассмотренный способ невозможно.

    Принципиально новый способ обращения обыкновенной дроби в десятичную сводится к делению числителя на знаменатель столбиком. Эта операция очень похожа на деление натуральных чисел столбиком, но имеет свои особенности.

    Числитель при делении представляется в виде десятичной дроби – справа от последней цифры числителя ставится запятая и дописываются нули. В получившемся частном десятичная запятая ставится тогда, когда заканчивается деление целой части числителя. Как именно работает этот способ, станет понятно после рассмотрения примеров.

    Пример 5. Перевод обыкновенных дробей в десятичные

    Переведем обыкновенную дробь 621 4 в десятичный вид.

    Представим число 621 из числителя в виде десятичной дроби, добавив после запятой несколько нулей. 621 = 621 , 00

    Теперь разделим столбиком 621 , 00 на 4 . Первые три шага деления будут такими же, как при делении натуральных чисел, и мы получим.

    Когда мы добрались до десятичной запятой в делимом, а остаток отличен от нуля, ставим в частном десятичную запятую, и продолжаем делить, не обращая более внимания на запятую в делимом.

    В итоге мы получаем десятичную дробь 155 , 25 , которая и является результатом обращения обыкновенной дроби 621 4

    Рассмотрим решение еще одного примера, чтобы закрепить материал.

    Пример 6. Перевод обыкновенных дробей в десятичные

    Обратим обыкновенную дробь 21 800 .

    Для этого в столбик разделим дробь 21 , 000 на 800 . Деление целой части закончится на первом же шаге, поэтому сразу после него ставим в частном десятичную запятую и продолжаем деление, не обращая внимания на запятую в делимом до того момента, пока не получим остаток, равный нулю.

    В результате мы получили: 21 800 = 0 , 02625 .

    Но как быть, если при делении мы так и не получим в остатке 0. В таких случаях деление можно продолжать бесконечно долго. Однако, начиная с определенного шага, остатки будут периодически повторяться. Соответственно, будут повторяться и цифры в частном. Это значит, что обыкновенная дробь переводится в десятичную бесконечную периодическую дробь. Проиллюстрируем сказанное на примере.

    Пример 7. Перевод обыкновенных дробей в десятичные

    Обратим обыкновенную дробь 19 44 в десятичную. Для этого выполним деление столбиком.

    Мы видим, что при делении повторяются остатки 8 и 36 . При этом в частном повторяются цифры 1 и 8 . Это и есть период в десятичной дроби. При записи эти цифры берутся в скобки.

    Таким образом, исходная обыкновенная дробь переведена в бесконечную периодическую десятичную дробь.

    19 44 = 0 , 43 ( 18 ) .

    Пусть перед нами несократимая обыкновенная дробь. К какому виду она приведется? Какие обыкновенные дроби переводятся в конечные десятичные, а какие – в бесконечные периодические?

    Во первых, скажем, что если дробь удается привести к одному из знаменателей 10, 100, 1000. то она будет иметь вид конечной десятичной дроби. Чтобы дробь приводилась к одному из таких знаменателей, ее знаменатель должен быть делителем хотя бы одного из чисел 10, 100, 1000 и т.д. Из правил разложения чисел на простые множители следует, что делитель чисел 10, 100, 1000 и т.д. должен, при разложении на простые множители, содержать лишь числа 2 и 5.

    1. Обыкновенную дробь можно привести к виду конечной десятичной дроби, если ее знаменатель можно разложить на простые множители 2 и 5.
    2. Если кроме чисел 2 и 5 в разложении знаменателя присутствуют другие простые числа, дробь приводится к виду бесконечной периодической десятичной дроби.
    Читайте также:
    Алгебраические выражения - определение, виды, смысл значений

    Пример 8. Перевод обыкновенных дробей в десятичные

    Какая из данных дробей 47 20 , 7 12 , 21 56 , 31 17 переводится в конечную десятичную дробь, а какая – только в периодическую. Дадим ответ на этот вопрос, не выполняя непосредственно перевода обыкновенной дроби в десятичную.

    Дробь 47 20 , как легко заметить, умножением числителя и знаменателя на 5 приводится к новому знаменателю 100 .

    47 20 = 235 100 . Отсюда делаем вывод, что данная дробь переводится в конечную десятичную дробь.

    Разложение знаменателя дроби 7 12 на множители дает 12 = 2 · 2 · 3 . Так как простой множитель 3 отличен от 2 и от 5 , данная дробь не может быть представлена в виде конечной десятичной дроби, а будет иметь вид бесконечной периодической дроби.

    Дробь 21 56 , во-первых, нужно сократить. После сокращения на 7 получим несократимую дробь 3 8 , разложение знаменателя которой на множители дает 8 = 2 · 2 · 2 . Следовательно, это конечная десятичная дробь.

    В случае с дробью 31 17 разложение знаменателя на множители представляет собой само простое число 17 . Соответственно, эту дробь можно обратить в бесконечную периодическую десятичную дробь.

    Обыкновенную дробь нельзя перевести в бесконечную и непериодическую десятичную дробь

    Выше мы говорили только о конечных и бесконечных периодических дробях. Но может ли какая-либо обыкновенная дробь быть обращена в вид бесконечной непериодической дроби?

    При переводе бесконечной дроби в десятичную получается либо конечная десятичная дробь, либо бесконечная периодическая десятичная дробь.

    Остаток от деления всегда меньше делителя. Другими словами, согласно теореме о делимости, если мы делим какое-то натуральное число на число q, то остаток деления в любом случае не может быть больше, чем q-1. После окончания деления возможна одна из следующих ситуаций:

    1. Мы получаем в остатке 0, и на этом деление заканчивается.
    2. Мы получаем остаток, который при последующем делении повторяется, в результате мы имеем бесконечную периодическую дробь.

    Иных вариантов при обращении обыкновенной дроби в десятичную не может быть. Скажем также, что длина периода (количество цифр) в бесконечной периодической дроби всегда меньше, чем число цифр в знаменателе соответствующей обыкновенной дроби.

    Перевод десятичных дробей в обыкновенные дроби

    Теперь пришло время рассмотреть обратный процесс перевода десятичной дроби в обыкновенную. Сформулируем правило перевода, которое включает три этапа. Как перевести десятичную дробь в обыкновенную?

    Правило перевода десятичных дробей в обыкновенные дроби

    1. В числитель записываем число из исходной десятичной дроби, отбросив запятую и все нули слева, если они есть.
    2. В знаменатель записываем единицу и за ней столько нулей, сколько цифр есть в исходной десятичной дроби после запятой.
    3. При необходимости сокращаем полученную обыкновенную дробь.

    Рассмотрим применение данного правила на примерах.

    Пример 8. Перевод десятичных дробей в обыкновенные

    Представим число 3 , 025 в виде обыкновенной дроби.

    1. В числитель записываем саму десятичную дробь, отбросив запятую: 3025 .
    2. В знаменателе пишем единицу, а после нее три нуля – именно столько цифр содержится в исходной дроби после запятой: 3025 1000 .
    3. Полученную дробь 3025 1000 можно сократить на 25 , в результате чего мы получим: 3025 1000 = 121 40 .

    Переведем дробь 0 , 0017 из десятичных в обыкновенные.

    1. В числителе запишем дробь 0 , 0017 , отбросив запятую и нули слева. Получится 17 .
    2. В знаменатель записываем единицу, а после нее пишем четыре нуля: 17 10000 . Данная дробь несократима.

    Если в десятичной дроби есть целая часть, то такую дробь можно сразу перевести в смешанное число. Как это сделать?

    Сформулируем еще одно правило.

    Правило перевода десятичных дробей в смешанные числа.

    1. Число, стоящее в дроби до запятой, записываем как целая часть смешанного числа.
    2. В числителе записываем число, стоящее в дроби после запятой, отбросив нули слева, если они есть.
    3. В знаменателе дробной части дописываем единицу и столько нулей, сколько цифр есть в дробной части после запятой.

    Обратимся к примеру

    Пример 10. Перевод десятичной дроби в смешанное число

    Представим дробь 155 , 06005 в виде смешанного числа.

    1. Записываем число 155 , как целую часть.
    2. В числителе записываем цифры после запятой, отбросив нуль.
    3. В знаменателе записываем единицу и пять нулей

    Поучаем смешанное число: 155 6005 100000

    Дробную часть можно сократить на 5 . Сокращаем, и получаем финальный результат:

    155 , 06005 = 155 1201 20000

    Перевод бесконечных периодических десятичных дробей в обыкновенные дроби

    Разберем на примерах, как осуществлять перевод периодических десятичных дробей в обыкновенные. Прежде чем начать, уточним: любую периодическую десятичную дробь можно перевести в обыкновенную.

    Читайте также:
    Обыкновенные дроби - основное свойство, примеры, действия

    Самый простой случай – период дроби равен нулю. Периодическая дробь с нулевым периодом заменяется на конечную десятичную дробь, а процесс обращения такой дроби сводится к обращению конечной десятичной дроби.

    Пример 11. Перевод периодической десятичной дроби в обыкновенную

    Обратим периодическую дробь 3 , 75 ( 0 ) .

    Отбросив нули справа, получим конечную десятичную дробь 3 , 75 .

    Обращая данную дробь в обыкновенную по алгоритму, разобранному в предыдущих пунктах, получаем:

    3 , 75 ( 0 ) = 3 , 75 = 375 100 = 15 4 .

    Как быть, если период дроби отличен от нуля? Периодическую часть следует рассматривать как сумму членов геометрический прогрессии, которая убывает. Поясним это на примере:

    0 , ( 74 ) = 0 , 74 + 0 , 0074 + 0 , 000074 + 0 , 00000074 + . .

    Для суммы членов бесконечной убывающей геометрической прогрессии существует формула. Если первый член прогрессии равен b , а знаменатель q таков, что 0 q 1 , то сумма равна b 1 – q .

    Рассмотрим несколько примеров с применением данной формулы.

    Пример 12. Перевод периодической десятичной дроби в обыкновенную

    Пусть у нас есть периодическая дробь 0 , ( 8 ) и нам нужно перевести ее в обыкновенную.

    0 , ( 8 ) = 0 , 8 + 0 , 08 + 0 , 008 + . .

    Здесь мы имеем бесконечную убывающую геометрическую прогрессию с первым членом 0 , 8 и знаменателем 0 , 1 .

    0 , ( 8 ) = 0 , 8 + 0 , 08 + 0 , 008 + . . = 0 , 8 1 – 0 , 1 = 0 , 8 0 , 9 = 8 9

    Это и есть искомая обыкновенная дробь.

    Для закрепления материала рассмотрим еще один пример.

    Пример 13. Перевод периодической десятичной дроби в обыкновенную

    Обратим дробь 0 , 43 ( 18 ) .

    Сначала записываем дробь в виде бесконечной суммы:

    0 , 43 ( 18 ) = 0 , 43 + ( 0 , 0018 + 0 , 000018 + 0 , 00000018 . . )

    Рассмотрим слагаемые в скобках. Эту геометрическую прогрессию можно представить в следующем виде:

    0 , 0018 + 0 , 000018 + 0 , 00000018 . . = 0 , 0018 1 – 0 , 01 = 0 , 0018 0 , 99 = 18 9900 .

    Полученное прибавляем к конечной дроби 0 , 43 = 43 100 и получаем результат:

    0 , 43 ( 18 ) = 43 100 + 18 9900

    После сложения данных дробей и сокращения получим окончательный ответ:

    0 , 43 ( 18 ) = 19 44

    В завершение данной статьи скажем, что непериодические бесконечный десятичные дроби нельзя перевести в вид обыкновенных дробей.

    Как перевести дробь в десятичную и наоборот

    О чем эта статья:

    Что такое дробь: понятие

    Дробь — это запись числа в математика, в которой a и b — числа или выражения. По сути, это всего лишь одна из форм, в которой можно представить число. Есть два формата записи:

    • обыкновенный вид — ½ или a/b,
    • десятичный вид — 0,5.

    В обыкновенной дроби над чертой принято писать делимое, которое становится числителем, а под чертой всегда находится делитель, который называют знаменателем. Черта между числителем и знаменателем означает деление.

    Дроби бывают двух видов:

    1. Числовые — состоят из чисел. Например, 5/9 или (1,5 – 0,2)/15.
    2. Алгебраические — состоят из переменных. Например, (x + y)/(x – y). В этом случае значение дроби зависит от данных значений букв.

    Дробь называют правильной, когда ее числитель меньше знаменателя. Например, 3/7 и 31/45.

    Неправильной — ту, у которой числитель больше знаменателя или равен ему. Например, 21/4. Такое число является смешанным и читается, как «пять целых одна четвертая», а записывается — 5 14.

    Что такое десятичная дробь

    Прежде чем отвечать на вопрос, как найти десятичную дробь, разберемся в основных определениях, видах дробей и разницей между ними.

    В десятичной дроби знаменатель всегда равен 10, 100, 1000, 10000 и т.д. По сути, десятичная дробь — это то, что получается, если разделить числитель на знаменатель. Десятичную дробь записывают в строчку через запятую, чтобы отделить целую часть от дробной. Вот так:

    • 0,8
    • 7,42
    • 9,932

    Конечная десятичная дробь — это дробь, в которой количество цифр после запятой точно определено.

    Бесконечная десятичная дробь — это когда после запятой количество цифр бесконечно. Для удобства математики договорились округлять эти цифры до 1-3 после запятой.

    В краткой записи периодической дроби повторяющиеся цифры пишут в скобках и называют периодом дроби. Например, вместо 1,555… записывают 1,(5) и читают «одна целая и пять в периоде».

    Свойства десятичных дробей

    Главное свойство десятичной дроби звучит так: если к десятичной дроби справа приписать один или несколько нулей — ее величина не изменится. Это значит, что если в вашей дроби куча нулей — их можно просто отбросить. Например:

    Обыкновенная и десятичная дробь — давние друзья. Вот, как они связаны:

    • Целая часть десятичной дроби равна целой части смешанной дроби. Если числитель меньше знаменателя, то целая часть равна нулю.
    • Дробная часть десятичной дроби содержит те же цифры, что и числитель этой же дроби в обыкновенном виде.
    • Количество цифр после запятой зависит от количества нулей в знаменателе обыкновенной дроби. То есть 1 цифра — делитель 10, 4 цифры — делитель 10000.
    Читайте также:
    Внутренние односторонние углы - определение, свойство, правило

    Как перевести обычную дробь в десятичную

    Прежде чем узнать, как от обычной записи перейти к десятичной, вспомним различия двух видов дробей и сформулируем важное правило.

    Десятичные дроби — это конструкции вида 0,5; 2,16 и -7,42. А так выглядят эти же числа в форме обыкновенных дробей:

    Обыкновенную дробь можно перевести в конечную десятичную дробь только при условии, что её знаменатель можно разложить на простые множители 2 и 5 любое количество раз. Например:

    Дробь 11/40 можно преобразовать в конечную десятичную, потому что знаменатель раскладывается на множители 2 и 5.

    Дробь 17/60 нельзя преобразовать в конечную десятичную дробь, потому что в её знаменателе кроме множителей 2 и 5, есть 3.

    А теперь перейдем к самому главному вопросу: рассмотрим несколько алгоритмов перевода обыкновенной дроби в десятичную.

    Способ 1. Превращаем знаменатель в 10, 100 или 1000

    Чтобы превратить дробь в десятичную, нужно числитель и знаменатель умножить на одно и то же число так, чтобы в знаменателе получилось 10, 100, 1000 и т.д. Но прежде, чем приступать к вычислениям, нужно проверить, можно ли вообще превратить данную дробь в десятичную.

    Для примера возьмем дробь 3/20. Ее можно привести в конечную десятичную, потому что её знаменатель раскладывается на множители 2 и 5.

    Мы можем получить в нижней части 100: достаточно умножить 20 на 5. Про верхнюю часть тоже не забываем: получаем 15.

    Теперь запишем числитель отдельно. Отсчитываем справа столько же знаков, сколько нулей стоит в знаменателе, и ставим запятую. В нашем примере в знаменателе 100 (у него два нуля), значит ставим запятую после отсчета двух знаков и получаем 0,15. Преобразование готово.

    Способ 2. Делим числитель на знаменатель

    Чтобы перевести обыкновенную дробь в десятичную, достаточно разделить ее верхнюю часть на нижнюю. Проще всего это сделать, конечно же, на калькуляторе — но на контрольных им пользоваться не разрешают, поэтому учимся по-другому.

    Для примера возьмем дробь 78/100. Убедимся, что дробь можно привести в конечную десятичную.

    Делим столбиком числитель на знаменатель — преобразование готово:

    Если при делении уголком стало ясно, что процесс не заканчивается и после запятой выстраиваются повторяющиеся цифры — эту дробь нельзя перевести в конечную десятичную. Ответ можно записать в виде периодической дроби — для этого нужно записать повторяющееся число в скобки, вот так: 1/3 = 0,3333.. = 0,(3).

    Для удобства мы собрали табличку дробей со знаменателями, которые чаще всего встречаются в заданиях по математике. Скачайте ее на гаджет или распечатайте и храните в учебнике как закладку:

    Как перевести десятичную дробь в обыкновенную

    Не будем придумывать велосипед. По сути, алгоритм превращения десятичной дроби в обыкновенную противоположен тем, что мы разобрали в предыдущей части. Вот, как это выглядит в обратную сторону:

    1. Перепишем исходную дробь в новый вид: в числитель поставим исходную десятичную дробь, а в знаменатель — единицу:
      • 0,35 = 0,35/1
      • 2,34 = 2,34/1
    2. Умножим числитель и знаменатель на 10 столько раз, чтобы в числителе исчезла запятая. При этом после каждого умножения запятая в числителе сдвигается вправо на один знак, а у знаменателя соответственно добавляются нули. На примере легче:
      • 0,35 = 0,35/1 = 3,5/10 = 35/100
      • 2,34 = 2,34/1 = 23,4/10 = 234/100
    3. А теперь сокращаем — то есть делим числитель и знаменатель на кратные им числа:
      • 0,35 = 35/100, делим числитель и знаменатель на пять, получаем 6/20, еще раз делим на 2, получаем итоговый ответ 3/10.
      • 2,34 = 234/100 = 117/50 = 2 17/50.

    Не забывайте про минус в ответе, если пример был про отрицательное число. Очень обидная ошибка!

    Вот и всё! Эта схема значительно проще и быстрее. Проверим:

    Как видим, в дроби 0,55 после запятой стоит две цифры — 5 и 5. Поэтому n = 2. Если убрать запятую и нули слева, то получим число 55. Переходим ко второму шагу: 10n = 102 = 100, поэтому в знаменателе стоит 100. Остается сократить числитель и знаменатель. Вот и ответ: 11/20.

    Как перевести периодическую десятичную дробь в обыкновенную

    Любую бесконечную периодическую десятичную дробь можно перевести в обыкновенную. Разберем на примерах.

    Если период дроби равен нулю, значит решение будет быстрым. Периодическая дробь с нулевым периодом заменяется на конечную десятичную дробь, а процесс обращения такой дроби сводится к обращению конечной десятичной дроби.

    Преобразуем периодическую дробь 1,32(0) в обыкновенную.

    Для этого отбросим нули справа и получим конечную десятичную дробь 1,32. Далее следуем алгоритму из предыдущих пунктов:

    Если период дроби отличен от нуля — рассматриваем периодическую часть как сумму членов геометрический прогрессии, которая убывает. Поясним на примере:

    Читайте также:
    Объем цилиндра ℹ определение, формулы расчета через диаметр и площадь основания, примеры нахождения объема полого цилиндра, онлайн-калькулятор

    0,(98) = 0,98 + 0,0098 + 0,000098 + 0,00000098 + ..

    Для суммы членов бесконечной убывающей геометрической прогрессии есть формула. Если первый член прогрессии равен b, а знаменатель q таков, что 0

    Как перевести десятичную дробь в обыкновенную — правило с примерами

    Преобразование десятичных дробей в обыкновенные – навык нужный: в жизни нам приходится “переводить” проценты – в рубли, пропорции кулинарных рецептов – в граммы и миллилитры. Но прежде чем познакомиться с парой полезных алгоритмов по “превращению дробей”, вспомним, как сокращаются простые дроби. Нам это пригодится.

    Как сокращать дроби

    Сократить дробь – значит разделить числитель и знаменатель на одно и то же (максимально возможное!) число. Иногда это число очевидно, иногда – нет.

    Например: в дроби ​​ оба числа делятся на 5.

    Разделим: 5 : 5 = 1, 10 : 5 = 2, следовательно: ​​= ​ ( frac<1> <2>) ​.

    ​ ( frac<15> <50>) ​= ​ ( frac<3> <10>) ​(разделили все на 5)

    ​ ( frac<45> <81>) ​= ​ ( frac<5> <9>) ​(сократили на 9)

    Можно эту процедуру провести в несколько шагов: ​ ( frac<24> <108>) ​= ​ ( frac<8> <36>) ​= ​ ( frac<2> <9>) ​(сначала на 3, потом на 4, а всего на 12).

    Важно! Делить числитель и знаменатель надо до тех пор, пока общие делители не закончатся, то есть пока дробь не станет несократимой.

    В нашем случае знаменатель всегда будет кратен 10-и: 10, 100, 1000, 10000 и так далее. Значит, общие делители для обоих “этажей” будут те, на которые делятся эти круглые числа: 2, 4, чаще всего – 5, ну и 8, 10, 20, 25, 50 и далее. Если сразу не отыщете нужное, набирайте их постепенно.

    Например: как сократить дробь ​ ( frac<750> <1000>) ​?

  • Разделим 750 и 1000 на 10 – получим ​ ( frac<75><100>) ​.
  • Теперь, конечно же, на 5 – получится ​ ( frac<15><20>) ​.
  • Наконец, последний раз на 5 – вышло ​ ( frac<3><4>) ​. Больше делить не на что.

    Итого: ​ ( frac<750> <1000>) ​= ​ ( frac<75> <100>) ​ = ​ ( frac<15> <20>) ​ = ​ ( frac<3> <4>) ​. Можно было сразу сократить на 250 (10 × 5 × 5 = 250).

    Вот теперь можно переходить к главному.

    Как превратить десятичную дробь в обычную?

    Десятичные дроби (ДД) записываются в строчку: целая часть – до запятой, дробная – после запятой. Например, 3,45 или 0,299.

    Обыкновенные (ОД) пишут “в два этажа”: вверху – числитель, внизу – знаменатель. Целую часть – перед дробью. Например: ​ ( frac<4> <5>) ​, ​ ( frac<25> <70>) ​, 3​ ( frac<2> <7>) ​.

    Есть два основных пути перевода десятичной дроби в обычную и их варианты.

    Первый способ – механический

    Попробуем 0,05 превратить в ​ ( frac<1> <20>) ​:

  • Запишем в числитель значимые цифры ДД (без нулей слева и запятых), а в знаменатель – единицу: ​ ( frac<5><1>) ​.
  • Добавим к единице столько нулей, сколько знаков после запятой в исходном числе 0,05, то есть два: ​ ( frac<5><100>) ​.
  • Сократим получившуюся ОД на 5, получим ​ ( frac<1><20>) ​.

    Результат решения: 0,05 = ​ ( frac<5> <100>) ​ = ​ ( frac<1> <20>) ​.

    ДД с целой частью, например 3,075, преобразуем так:

  • Запишем в числитель все цифры без запятой: ​ ( frac<3075><> ) ​.
  • В знаменатель – “1” и столько “0”, сколько знаков после запятой в числе 3,075 – три: ​ ( frac<3075><1000>) ​.
  • Сократим на 25: ​ ( frac<3075><1000>) ​= ​ ( frac<123><40>) ​ (можно постепенно, два раза по 5).
  • Если далее следуют еще какие-то вычисления, можно оставить ее в таком виде. Если нет, превратим неправильную дробь в правильную, выделив целую часть, 123 : 40 = 3 (и 3 в остатке). Значит — ​ ( frac<123><40>) ​ = 3​ ( frac<3><40>) ​

    Ход преобразований: 3,075 = ​ ( frac<3075> <1000>) ​​ = ​ ( frac<123> <40>) ​ = 3​ ( frac<3> <40>) ​.

  • Оставляем целое ДД “за кадром” и займемся только дробным компонентом: 3,075 – это 3 + 0,075:
    • 3 пока не трогаем;
    • 0,075 переводим в ОД: ​ ( frac<75><1000>) ​.
  • Сокращаем полученную дробь на 25: ​ ( frac<75><1000>) ​ = ​ ( frac<3><40>) ​.
  • Возвращаем целую часть на свое место, соединяем: 3,075 = 3​ ( frac<3><40>) ​.

    Вся последовательность: 3,075 → 0,075 = ​ ( frac<75> <1000>) ​ = ​ ( frac<3> <40>) ​ → 3​ ( frac<3> <40>) ​.

    Второй способ – “на слух”

    Этот подход более естественный. Каждый легко запишет под диктовку:

    • восемь/девятых – ​ ( frac<8><9>) ​;
    • одиннадцать/тридцатых – ​ ( frac<11><30>) ​;
    • сто две/триста семнадцатых – ​ ( frac<102><317>) ​.

    Также можно выразить и десятичную дробь, например, 0,45:

    • 0, 45 – это (слушаем!) сорок пять/сотых – ​ ( frac<45><100>) ​;
    • Теперь сократим на 5: ​ ( frac<45><100>) ​ = ​ ( frac<9><20>) ​.

    В итоге получаем: 0,45 = ​ ( frac<45> <100>) ​ = ​ ( frac<9> <20>) ​.

    Целое, если оно есть, можно “отложить на потом” и вернуть в конце вычислений.

    Пусть требуется выразить 14,408 в виде ОД:

  • 14 целых не трогаем. Превращаем: 0,408 = ​ ( frac<408><1000>) ​.
  • Сокращаем на 8: ​ ( frac<408><1000>) ​ = ​ ( frac<51><125>) ​.
  • Соединяем целую и дробную части.

    Ход решения: 14, 408 = 14​ ( frac<408> <1000>) ​ = 14​ ( frac<51> <125>) ​.

    Важно! Если перед десятичной дробью был знак “минус”, то он сохраняется и перед обыкновенной дробью. Например: -2,25 = -2= -2.

    Еще несколько примеров:

    • 1, 08 – одна целая, восемь сотых – 1​ ( frac<8><100>) ​ = 1​ ( frac<2><25>) ​ (дробную составляющую уменьшили в 4 раза);
    • 5,0125 – пять целых, сто двадцать пять/десятитысячных – 5​ ( frac<125><1000>) ​ = 5​ ( frac<1><80>) ​ (сократили на 125);
    • 0,648 – шестьсот сорок восемь тысячных – ​ ( frac<648><1000>) ​ = ​ ( frac<81><125>) ​ (разделили все на 8).

    Самое трудное (для тех, кому не все равно)

    Что делать, если нужно преобразовать периодическую десятичную дробь? Не вдаваясь в дремучие подробности, познакомимся с надежным алгоритмом.

    Итак, требуется выразить 1,(6) в виде ОД.

    Пусть обычная дробь – это x, который должен получиться из 1,(6).

    x = 1,(6) — умножим обе части равенства на 10

    10 x = 16,(6) — вычтем из обеих частей x (или 1,(6) – ведь это одно и то же)

    10 x — x = 16,(6) — 1,(6)

    Таким образом, 1,(6) = ​ ( frac<15> <9>) ​.

    Попробуйте разделить 15 на 9, и убедитесь, что получится 1,66666 – и так до бесконечности.

    Если усложнить: 0,1(23) нужно представить в виде ​ ( frac ) ​.

    x = 0,1(23) — умножим обе части равенства на 1000

    1000 x = 123,(23) — вычтем из обеих частей 10 x, другими словами, 1,(23)

    Значит — 0,1(23) = ​ ( frac<61> <495>) ​.

    Важно! В этом примере пришлось умножить части уравнения не на 10, а на 1000, вычесть не х, а 10х. Это нужно для того, чтобы легче было искать разность периодов: из 123,(23) удобно вычитать 1,(23). Подходящие коэффициенты придется подбирать в каждом отдельном случае. Но общий ход решения остается постоянным.

    Конечно, для проведения подобных вычислений можно обратиться к онлайн-калькулятору. Но, согласитесь, иметь в арсенале знаний оригинальный эффектный прием – особое удовольствие.

    Еще больше примеров для полного понимания этой темы смотрите в предложенном видео.

    Перевод обыкновенной дроби в десятичную и наоборот

    теория по математике числа и вычисления

    При решении различных вычислительных заданий требуется произвести перевод десятичной дроби в обыкновенную или наоборот. В частности, в бланках ответов первой части ОГЭ (и ЕГЭ) нельзя записывать обыкновенную дробь, так как поле для этой дроби просто не существует.

    Чтобы перевести обыкновенную дробь в конечную десятичную дробь, необходимо разделить числитель дроби на ее знаменатель. Как перевести обыкновенную дробь в конечную десятичную дробь?

    Чтобы перевести обыкновенную дробь в конечную десятичную дробь, необходимо разделить числитель дроби на ее знаменатель (устно или в столбик ).

    Пример №1. ½ = 0,5 так как 1_2=0,5

    Пример №2. ¾ = 0,75 так как 3_4=0,75

    Пример №3. Так как 18_25=0,72, то

    Если дана смешанная дробь, то целая часть уже есть, делим числитель на знаменатель и добавляем в часть после запятой. Или переводим смешанное число в неправильную дробь и делим числитель на знаменатель. Строгого правила для способа выполнения данного действия нет.

    Пример №4.

    здесь целая часть 14 уже есть, пишем ее и ставим запятую. Затем делим 3 на 50 и получаем 0,06. Приписываем десятичную часть 06 после запятой к числу 14 и получаем 14,06.

    Пример №5.

    в данном случае сначала перевели смешанное число в неправильную дробь (знаменатель умножается на целую часть и прибавляется числитель — это число записывается в числитель неправильной дроби), а затем разделили числитель 703 на знаменатель 50 и получили 14,06.

    Как перевести десятичную дробь (конечную) в обыкновенную?

    Чтобы перевести десятичную дробь в обыкновенную, нужно в числитель записать цифры из десятичной части дроби (которые стоят после запятой), а в знаменателе написать столько нулей, сколько цифр получилось в числителе. Затем, по возможности сократить данную дробь.

    Пример №6.

    целая часть равна нулю, нуль перед обыкновенной дробью не пишется, 17 записали в числитель, а 100 в знаменатель, так как в числе 17 две цифры, как у сотни два нуля.

    Пример №7.

    целая часть равна 5, поэтому записали ее перед дробью, 34 пошло в числитель, а знаменатель соответственно равен 100 (по количеству цифр в числе 34). Здесь видно, что получилась сократимая дробь, так как числитель и знаменатель оба делятся на 2. Выполняем сокращение дробной части и получаем новую дробь

    Сначала выразим обыкновенную дробь десятичной, разделив 107 на 13, получаем приближенное число 8,23…. Теперь работаем с числовым лучом, на котором видно, что наше число 8,23.. будет располагаться между числами 8 и 9, но ближе к 8, так как оно меньше 8,5; следовательно, это точка А.

    pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

    Одно из чисел отмечено на прямой точкой.

    Какое это число?

    Точка, обозначенная на прямой, лежит между 2 и 3. Т.е. соответствующее ей число больше 1. Это значит, что дробь, которая соответствует этой точке, должна быть неправильной. Но все приведенные в условии дроби неправильные. Чтобы понять, какая из них находится именно на промежутке (2; 3), необходимо выделить их целые части. Та из дробей, у которой целая часть окажется равной 2, и есть искомый результат.

    Итак, выделяем целые части:

    Целую часть, равную 2, имеют две дроби – 1-я и 4-я. Но посмотрим внимательно на прямую. Обозначенная на ней точка находится близко к делению 3. Проанализируем в этом контексте подходящие нам дроби. У первой недостает всего 2/11, чтобы она стала равной 3, между тем как четвертая лишь на 2/11 удалена от деления 2. Следовательно, правильным ответом в данном случае является дробь 31/11. Она соответствует варианту ответа 2.

    pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

    На координатной прямой отмечена точка А:

    Известно, что она соответствует одному из четырёх указанных ниже чисел. Какому из чисел соответствует точка А?

    Подход к решению в данной задаче сводится к визуальной оценки имеющихся вариантов на координатной прямой, для этого необходимо предварительно перевести варианты ответов к примерному десятичному виду.

    Оцениваем 181/16 — можно поделить 181 на 16, тогда получим 11,3125. Это явно выходит за указанный диапазон, поэтому данный вариант нам не подходит.

    Оцениваем √37 — самое близкое значение, из которого вычисляется квадратный корень — это 36, значит √37 — это 6 и что-то еще, что вычислять нам не обязательно. Данное значение нам подходит, так как лежит чуть правее середины отрезка 0-10, как и точка А.

    Посмотрим на вариант 0,6 — это явно меньше единицы, а точка А, как мы уже выяснили, лежит в диапазоне 5-10. Данный вариант нам не подойдет.

    Вариант с ответом 4 также не подойдет по вышеуказанной причине.

    pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

    Какое из следующих чисел заключено между числами 8/3 и 11/4 ?

    В задании данного типа необходимо выполнить деление 8 на 3 и 11 на 4, то есть перевести дробь из обыкновенного вида в десятичный. Сами дроби могут не иметь представления в десятичном виде, однако в нашем случае достаточно выполнить деление но второго знака после запятой, так как в ответе приведены числа до первого знака после запятой. Итак, выполняем деление:

    Получаем значения 2,666.. или 2,(6) и 2,75. Смотрим на варианты ответов и выбираем, соответственно, первый, так как 2,7 находится между 2,(6) и 2,75.

    pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

    К данному заданию, как и к большинству заданий 1 модуля Алгебры, подход к решению заключается в переводе дроби от одного вида к другому. В нашем случае это переход от обыкновенной дроби к десятичной.

    Переводим ¼ из обыкновенной дроби в десятичную. Делим 1 на 4, получаем 0,25. Затем переписываем выражение с использованием только десятичных дробей и вычисляем:

    pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

    Задачу можно решать разными путями, а именно менять последовательность действий, но этот вариант решения рекомендуется для тех, кто уверен в своих возможностях и знает математику на отлично. Для остальных мы рекомендуем выполнить последовательно действия в числителе и знаменателе, а затем разделить числитель на знаменатель. Числитель вычислять в данном примере нет необходимости, это число 9.

    Вычислим значение знаменателя:

    Можно произвести вычисления в столбик , тогда получим:

    Либо перевести дробь к простому виду:

    4,5 • 2,5 = 4½ • 2 ½ = 9 / 2 • 5 / 2 = 45 / 4

    Последний случай предпочтительней, так как для дальнейшей операции — деления числителя на знаменатель задача упрощается. Делим числитель на знаменатель, умножая числитель на перевернутую дробь в знаменателе:

    9 / ( 45 / 4 ) = ( 9 / 1 ) • ( 4 / 45 ) = ( 9 • 4 ) / (1 • 45 )

    9 и 45 можно сократить на 9:

    ( 9 • 4 ) / (1 • 45 ) = ( 1 • 4 )/ (1 • 5 ) = 4 / 5 = 8 / 10 = 0,8

    pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

    Перевод десятичной дроби в обыкновенную

    Любую десятичную дробь можно представить в виде обыкновенной дроби. Для этого надо просто записать её со знаменателем.

    Главное правило в переводе десятичной дроби в обыкновенную — как читается десятичная дробь, так и пишется обыкновенная. Например:

    2,3 — две целых три десятых.

    Так как дробь имеет целую часть, то перевести её мы можем или в смешанное число или в неправильную дробь:

    2,3 = 2 3 = 23 .
    10 10

    Если у десятичной дроби нет целой части, например:

    0,75 — ноль целых семьдесят пять сотых,

    то её можно сразу перевести в правильную обыкновенную дробь и, если нужно (по необходимости), сократить:

    0,75 = 75 = 3 .
    100 4

    Перевод обыкновенной дроби в десятичную

    Не любую обыкновенную дробь можно перевести в десятичную, так как чтобы записать обыкновенную дробь в виде десятичной, надо привести её к знаменателю, представляющему собой единицу с одним или несколькими нулями, например: 10, 100, 1000 и т. д. Если разложить такой знаменатель на простые множители, то получится одинаковое количество двоек и пятёрок:

    100 = 10 · 10 = 2 · 5 · 2 · 5;

    1000 = 10 · 10 · 10 = 2 · 5 · 2 · 5 · 2 · 5.

    Никаких других простых множителей эти разложения не содержат, следовательно:

    Обыкновенную дробь можно представить в виде десятичной только в том случае, если её знаменатель не содержит никаких других множителей, кроме 2 и 5.

    При разложении её знаменателя на простые множители получается произведение 2 · 2:

    3 = 3 .
    4 2 · 2

    Если домножить его на две пятёрки, чтобы уравнять количество пятёрок с двойками, то получится один из нужных знаменателей — 100. Чтобы получить дробь равную данной, то числитель тоже надо будет умножить на произведение двух пятёрок:

    3 = 3 · 5 · 5 = 75 = 0,75.
    4 2 · 2 · 5 · 5 100

    Рассмотрим ещё одну дробь:

    5 .
    14

    При разложении её знаменателя на простые множители получается произведение 2 · 7, содержащее число 7:

    5 = 5 .
    14 2 · 7

    Множитель 7 будет присутствовать в знаменателе, на какие бы целые числа его ни умножали, поэтому произведение, содержащее только двойки и пятёрки никогда не получится. Значит данную дробь нельзя привести ни к одному из нужных знаменателей: 10, 100, 1000 и так далее. То есть её нельзя представить в виде десятичной.

    Обыкновенную несократимую дробь нельзя представить в виде десятичной, если её знаменатель содержит хотя бы один простой множитель, отличный от 2 и 5.

    Обратите внимание, что в правиле написано только о несократимых дробях, потому что некоторые дроби после сокращения, можно представить в виде десятичных. Рассмотрим две дроби:

    5 и 7 .
    14 14

    Первая дробь является несократимой и, как мы уже выяснили, её нельзя представить в виде десятичной. Во второй дроби числитель и знаменатель можно сократить на 7, то есть на тот простой множитель, который мешает в первой дроби:

    7 = 7 : 7 = 1 .
    14 14 : 7 2

    Теперь осталось только умножить оба члена дроби на 5, чтобы получить 10 в знаменателе, и можно будет переводить дробь в десятичную:

    Способ перевести десятичную дробь в обыкновенную: правила

    При изучении математики важно не только знать, как перевести десятичную дробь в обыкновенную, но и уметь применять полученные знания на практике. Обучают этой науке в четвертом классе средней школы. Преобразование выражений позволяет упрощать различные задачи, делая решение простым и понятным. Сама операция несложная, но требует понимания смысла использования дробных чисел. Лишь в этом случае действие можно будет довести до автоматизма и выполнять устно.

    Виды дробей

    Дробь — это число, в состав которого входит одна доля или несколько её частей, поделенных на равные части. По сути, это отношение двух значений. Обыкновенное дробное выражение записывают с помощью натуральных чисел, разделённых горизонтальной чертой. Называется она винкулумом. В литературе можно встретить и другой тип записи с наклонной чертой (солидус).

    Верхнее число, или стоящее слева от черты, называют числителем или делимым, а нижнее — знаменателем (делителем). Что такое дробь, удобнее всего объяснить на примере. Пусть на столе стоит тарелка, на которой лежит пирог. Он один и целый. Можно взять нож и разделить его на шесть равных частей.

    По сути, количество пирога не изменится, поэтому, с математической точки зрения, на тарелке будет всё так же находиться целый пирог. Если с неё взять два куска, то целостность нарушится. Записывают это действие с помощью дроби: 2/6. То есть внизу указывают число, обозначающее, на сколько поделили пирог, а сверху — сколько кусков забрали.

    Дробь — это число, обозначающее часть целого предмета. При этом дробное отношение всегда будет меньше единицы. Существующие отношения принято разделять на следующие виды:

    1. Правильные — отношения, в которых числитель меньше знаменателя.
    2. Неправильные — дроби, где делимое по величине превышает делитель.
    3. Смешанные — состоящие из суммы натурального и дробного числа.
    4. Десятичные — в знаменателе которых стоит натуральное число с размерностью кратной десяти.
    5. Составные — состоящие из нескольких черт дроби.

    С дробными отношениями можно выполнять любые математические действия. Их складывают, вычитают, умножают, возводят в степень. Замечательным свойством дробей есть возможность их преобразования из одного вида в другой. Например, можно перевести обычную дробь в десятичную, неправильную — в смешанную. При этом операции возможны как в одну, так и другую сторону.

    Проводимые операции, кроме получения периодической дроби, можно выполнять и в обратную сторону. Остаток при делении должен всегда быть меньше делителя. Поэтому, если при действии получается ноль, деление прекращается, а если остаток — бесконечная периодическое отношение.

    Чаще всего для того, чтобы преобразовать простую дробь в десятичную, необходимо выполнить три шага:

    1. Сократить выражение, требующее преобразования.
    2. Разделить удобным способом числитель на знаменатель. В зависимости от величины значений, стоящих в числителе и знаменателе, это можно сделать столбиком или в уме. Если при делении остаток выходит отличным от нуля, то поставить запятую и продолжить искать частное.
    3. Записать найденный результат с использованием запятой.

    Нужно отметить, что алгоритм, объясняющий правило того, как перевести обыкновенную дробь в десятичную, подходит лишь для случаев, когда знаменатель раскладывается на множители пять и два. В иных случая получится периодическое десятичное число.

    Решение примеров

    Порой теоретическая информация довольно трудно воспринимается без применения её на практике. Поэтому крайне важно не только посмотреть, как делает преобразование учитель, но и самостоятельно выполнить перевод. Обычно хватает трех-четырех примеров для каждого типа преобразований, чтобы закрепить материал и освоить практическое применение.

    Существуют определённые сборники заданий, предназначенные для самостоятельного решения учащимися. Вот некоторые наиболее интересные примеры из них:

    1. Преобразовать: 1/1000, 34/10, 78954/10, 186/100, 959/10000. Алгоритм действия определяется правилом отсчитывания запятой. В задании три нуля, но в числителе только один знак. Поэтому на недостающих местах следует поставить нули. Отсюда следует что 1/1000 = 0,001. По аналогии нужно решать и следующие примеры. В итоге должно получиться: 34/10 = 3,4, 78954/10 = 7895,4, 186/100 = 1,86, 959/10000 = 0,0959.
    2. Записать выражения в обыкновенном виде: 0,59, 34,78, 0,00078, 767,009. В соответствии с правилом в числителе записывают исходное число, а в знаменатель ставят единицу: 0,59 = 0,59/1. Для избавления от запятой делимое и делитель умножают на сто, так как по условию после запятой стоит два знака: (0,59 * 100) / (1 * 100) = 59/100. Аналогично решают и оставшиеся примеры: 34,78 = 34,78/1 = 34,78 * 100/ 100 = 3478/100, 0,00078 = 78/100000 = 39/50000, 767,009 = 767 + 0,009= 767 9/1000.
    3. Перевести выражения в десятичный вид: 5/2, ¼, 34/81, 456/1245, 1245/456. Преобразование таких примеров можно выполнить путём деления числителя на знаменатель для нахождения частного. В первом случае пять нужно разделить на два. Используя деление в столбик, можно опередить, что целым будет число два (2 * 2 = 4). Так как в остатке получается единица, то в частном ставят запятую, а к остатку дописывают ноль. То есть, 5/2 = 2,5. Таким же образом переводят и другие примеры: ¼ = 0,25, 34/81 = 0,420, 456/1245 = 0,366, 1245/456 = 2,73.

    Эти задания затрагивают преобразование как в одну, так и в другую сторону. После первичного перевода не стоит забывать об упрощении полученного результата. Его нужно делать всегда, чтобы в дальнейшем при решении сложных задач последующие действия становились проще.

    Использование онлайн-конвертера

    Десятичные дроби могут состоять из довольно больших чисел. Поэтому не всегда их можно быстро преобразовать. При этом любая невнимательность может привести к ошибке, что повлечёт неверный как промежуточный, так и итоговый результат. В таких случаях есть резон использовать так называемый конвертер дробей.

    Это интернет-сервис, предоставляющий услуги по автоматическому преобразованию дробей из одного вида в другой. Для того чтобы воспользоваться его возможностями, пользователю даже необязательно понимать принцип перевода выражений. От него требуется лишь ввести исходные данные в предлагаемую форму и нажать кнопку «Рассчитать».

    Таких математических сервисов в интернете довольно много. Русскоязычные конвертеры не требуют регистрации и указания каких-либо персональных данных. При этом свои услуги они предоставляют бесплатно. Согласно отзывам пользователей, можно выделить следующие онлайн-калькуляторы:

    • 0oq,
    • onlinemschool,
    • naobumium,
    • allcalc,
    • webmath.

    Нужно отметить, что приведенные сайты являются настоящими математическими комбайнами-решателями. Они умеют не только конвертировать дроби, но и выполнять с ними любые действия. Например, складывать, делить, умножать, извлекать корень и возводить в степень. Кроме этого, на их страницах содержится теоретический материал и подробное описание решений.

  • Рейтинг
    ( Пока оценок нет )
    Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
    Добавить комментарий

    ;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: